清華大學(xué)微積分定積分ppt課件

1、P166 習(xí)題習(xí)題6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：P158166 作業(yè)作業(yè)預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：P168174P168174第十六講第十六講 定積分一）定積分一） 二、定積分的概念二、定積分的概念三、可積性條件與可積類三、可積性條件與可積類一、兩個典型例子一、兩個典型例子四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì)例例1 曲邊形的面積問題曲邊形的面積問題adxyo)(xfy i ix1 ix一、兩個典型例子一、兩個典型例子曲邊梯形曲邊梯形), 2, 1(,1nkxxnbakk 個子區(qū)間個子區(qū)間分成分成將將bxxxxxanii 11011:,

2、kkkkkkxxxxx 記記任任取取(1) 細(xì)分細(xì)分:,區(qū)區(qū)間間任任意意插插入入分分點點在在ba形形面面積積近近似似個個曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積用用矩矩將將第第kkkkxfA )(個個小小曲曲邊邊梯梯形形將將曲曲邊邊梯梯形形分分成成 n(2) (2) 取近似：取近似：(4) 取極限取極限: 0max,1 knkx 即即無限細(xì)分無限細(xì)分存存在在如如果果極極限限 nkkkxf10)(lim 的的面面積積越越接接近近曲曲邊邊梯梯形形分分點點越越“密密” nkkkxf1)(, Axfnkkk 10)(lim 則則 nkkknkkxfAA11)( (3)求和求和:.,),(sbatvv所所走走過過的

3、的路路程程內(nèi)內(nèi)求求在在時時間間間間隔隔已已知知速速度度 btttttankk 110例例2 變速直線運動的路程問題變速直線運動的路程問題), 1()(nitvskkk nkkknkktvss11)( nkkktvs10)(lim 細(xì)分：細(xì)分： :,區(qū)區(qū)間間任任意意插插入入分分點點在在ba), 2, 1(,1nkttnbakk 個個子子區(qū)區(qū)間間分分成成將將(4) 取極限取極限:以勻速近似變速以勻速近似變速,1kkktt 任任取取(2)取近似：取近似：(3)求和：求和：二、定積分的概念二、定積分的概念（一黎曼積分定義：（一黎曼積分定義： ,max,)(:,;), 1(,:, :11111110kn

4、knkkkkkkkkkkknkkxxfxxxxxnkxxkbxxxxxababaRbaf 記記構(gòu)構(gòu)造造和和式式任任取取長長度度為為的的個個小小區(qū)區(qū)間間記記第第中中插插入入一一組組分分點點即即在在作作任任意意劃劃分分對對區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).,)(;,)(lim10上上的的定定積積分分在在稱稱此此極極限限值值為為并并且且記記上上可可積積在在稱稱則則存存在在如如果果和和式式極極限限baxfbaRfbafxfnkkk knkkbaxfdxxf )(lim)(10記作記作:積分上限積分上限積分下限積分下限,ba稱為積分區(qū)間稱為積分區(qū)間定積分是定積分是 : 積分和式的極限積分和式的極限 badxxfA)

5、( badttvs)( 例例11曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 例例22變速直線運動的路程變速直線運動的路程面面積積定定積積分分表表示示曲曲邊邊梯梯形形的的即即則則若若,)(,0)()1(Adxxfxfba 面面積積的的負(fù)負(fù)值值定定積積分分表表示示曲曲邊邊梯梯形形的的即即則則若若,)(,0)()2(Adxxfxfba （二定積分的幾何意義（二定積分的幾何意義xyab1 ixixi )(if )(xfy oiiixfA )(上上可可積積在在證證明明例例,)(1baCxf 證證 ), 1(,10nkxxxbakkknkk 任任取取的的一一個個劃劃分分任任給給 nkknkkkxCxf11)( )(1a

6、bCxCnkk )()(abCdxCdxxfbaba 即即)()(lim10abCxfnkkk 上上不不可可積積在在為為無無理理數(shù)數(shù)為為有有理理數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)證證明明例例1, 001)(2 xxxDDirichlet證證 nkkx01, 0 的的一一個個劃劃分分任任給給), 1(,1nkxxkkk 是是有有理理數(shù)數(shù)任任取取 ), 1(,1nkxxkkk 是是無無理理數(shù)數(shù)另另取取 1)(11 nkknkkkxxD 0)(1 nkkkxD 1)(lim10 nkkkxD 0)(lim10 nkkkxD 上上不不可可積積函函數(shù)數(shù)在在故故1, 0Dirichlet定理定理1：三、可積性條件與可積函數(shù)類三

7、、可積性條件與可積函數(shù)類.,)(,)(上上有有界界在在上上可可積積，則則在在若若baxfbaxf證明思路：反證法。假設(shè)證明思路：反證法。假設(shè) f(x) 在在a,b上無界，上無界， 則至少在一個子區(qū)間上無界，所以黎曼則至少在一個子區(qū)間上無界，所以黎曼 和式無界，與和式極限存在相矛盾和式無界，與和式極限存在相矛盾. 定積分作為黎曼和式的極限，其構(gòu)造十定積分作為黎曼和式的極限，其構(gòu)造十分復(fù)雜，因此想通過計算這個和式的極限來分復(fù)雜，因此想通過計算這個和式的極限來研究定積分，實際上是不可行的研究定積分，實際上是不可行的. . 另一途徑另一途徑是先研究其存在性，得到有關(guān)可積性的理論。是先研究其存在性，得到

8、有關(guān)可積性的理論。定理定理3：.,)(,)(上上可可積積在在則則有有限限個個間間斷斷點點上上只只有有在在若若有有界界函函數(shù)數(shù)baxfbaxf.,)(,)(上上可可積積在在則則上上單單調(diào)調(diào)在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf定理定理4：定理定理2：.,)(,)(上上可可積積在在則則上上連連續(xù)續(xù)在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì) 定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限性質(zhì)密切相關(guān)性質(zhì)密切相關(guān)性質(zhì)一：性質(zhì)一： 線性性質(zhì)線性性質(zhì)有有則對任意常數(shù)則對任意常數(shù)若若, baRgf bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性質(zhì)二

9、：關(guān)于區(qū)間的可加性性質(zhì)二：關(guān)于區(qū)間的可加性 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(并并且且有有則則若若,),(,bcRfcaRfbacbaRf bababaduufdttfdxxf)()()( 注意注意1 1 定積分的值只依賴于被積函數(shù)和積分的上、定積分的值只依賴于被積函數(shù)和積分的上、 下限，而與積分變量用什麼字母表示無關(guān)。即下限，而與積分變量用什麼字母表示無關(guān)。即 注意注意2 2 定積分的定義中，下限定積分的定義中，下限a a小于上限小于上限b b，否則，否則， 做如下規(guī)定做如下規(guī)定: : abbadxxfdxxfba)()(:,規(guī)規(guī)定定時時當(dāng)當(dāng)關(guān)于區(qū)間可加性的推廣關(guān)于區(qū)間可加性的

10、推廣有有則則若若,babaRf dxxfdxxfdxxf)()()(性質(zhì)三：積分的不等式性質(zhì)性質(zhì)三：積分的不等式性質(zhì)則則有有且且若若函函數(shù)數(shù)),()(,)(,)(xgxfbaxbaRxgbaRxf babadxxgdxxf)()(（證明：利用極限的保序性質(zhì)）（證明：利用極限的保序性質(zhì)）性質(zhì)四：積分的保號性性質(zhì)四：積分的保號性則則有有且且若若函函數(shù)數(shù), 0)(,)( xfbaxbaRxf0)( badxxf性質(zhì)五：積分的不等式性質(zhì)性質(zhì)五：積分的不等式性質(zhì)且且則則若若函函數(shù)數(shù),)(,)(baRxfbaRxf babadxxfdxxf)()(注意注意,)(,)(baRxfbaRxf 得得不不出出由由

11、 是是無無理理數(shù)數(shù)是是有有理理數(shù)數(shù)例例xxxf, 1, 1)(性質(zhì)六：積分的估值性質(zhì)性質(zhì)六：積分的估值性質(zhì)則則且且若若函函數(shù)數(shù),)(,)(MxfmbaRxf )()()(abMdxxfabmba 性質(zhì)七：積分中值定理性質(zhì)七：積分中值定理使使存存在在一一點點上上至至少少則則在在若若函函數(shù)數(shù),)( babaCxf )()(abfdxxfba 性質(zhì)八：廣義積分中值定理性質(zhì)八：廣義積分中值定理使使上上至至少少存存在在一一點點則則在在不不變變號號且且若若函函數(shù)數(shù), ,)(,)( babaRxgbaCxf babadxxgfdxxgxf)()()()( xyo)( f)(xfy ab badxxfabf)

12、(1)( 平均高度平均高度函數(shù)平均值函數(shù)平均值)(0)(bxaxg 不不妨妨設(shè)設(shè))()()()(, 0)(xMgxgxfxmgxg 由由于于證證)(,)(,xfMinmxfMaxMbaxbax ,)(baCxf Mxfmbax )(, bababadxxgMdxxgxfdxxgm)()()()(由假設(shè)條件，可以證明由假設(shè)條件，可以證明,)()(baRxgxf . 0)(, 0)( badxxgxg所所以以因因為為0)()(0)( babadxxgxfdxxg性性質(zhì)質(zhì)成成立立,ba 0)(badxxgMdxxgdxxgxfmbaba )()()(.)(,),(),(,)(:, fbaMmxfMi

13、nmxfMaxMbaCxfbaxbax使使存存在在一一點點至至少少則則在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)介介值值性性定定理理使使上上至至少少存存在在一一點點在在, ba babadxxgdxxgxff)()()()( babadxxgfdxxgxf)()()()( 即即為為面面積積軸軸所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的及及直直線線證證明明由由曲曲線線xbxaxxfy,)( badxxfA)(1S2S3Sxyoab1c2c例例1321SSSA 線線性性可可加加性性 bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( bccccadxxfdxxfdxxf2211)()()( badxxf)( b

14、ccccadxxfdxxfdxxf2211)()()(1S2S3Sxyoab1c2c證證的的值值估估計計定定積積分分例例dxxx 24sin2 xxxfsin)( 設(shè)設(shè)Mmxf和和最最大大值值上上的的最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間首首先先求求出出 2,4)( 22cos)tan(sincos)(xxxxxxxxxf 故故時時當(dāng)當(dāng),tan,2,4xxx 解解 2,40)( xxf上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減在在 2,4)( xf 2)2( fm 22)4( fM)42(22)42(224 dxxSinx222124 dxxSinx即即)20(0sinlim30 adxxann證明證明例例證證 利用估值定理利用估值定理上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在, 0sinaxnaxnnsinsin0 aaxdxnansinsin00 1sin0,20 aa 0sinlim ann0sinlim0 annxdx故故根根據(jù)據(jù)夾夾逼逼定定理理得得到到