圖解剛體力學——歐拉運動學方程

1、本 科 生 畢 業(yè) 論 文 論文題目：圖解剛體力學歐拉運動學方程學生姓名： 羅加寬 學 號： 2008021152 專業(yè)名稱： 物理學 論文提交日期： 2012年05月17日 申請學位級別： 理學學士 論文評審等級： 指導教師姓名： 陳洛恩 職 稱： 教授 工 作 單 位： 玉溪師范學院 學位授予單位： 玉溪師范學院 玉溪師范學院理學院物理系 2012年05月圖解剛體力學歐拉運動學方程羅加寬（玉溪師范學院理學院物理系 08級物理1班 云南 玉溪 653100）指導教師 ：陳洛恩、楊春艷摘要：本文闡述了描述剛體定點轉動的歐拉角及歐拉運動學方程的圖解，以期讓復雜的問題轉化得簡單清晰而易于學習者的理

2、解，抽象的概念變得直觀具體而易于學習者的掌握；并能在一定程度上對提高學習者的空間思維能力、引導和培養(yǎng)學習者的創(chuàng)新思維能力有一定的幫助。關鍵字：圖解；剛體；歐拉角；歐拉運動學方程1. 引言 理論力學是研究物體機械運動一般規(guī)律的科學；依照牛頓的說法，理論力學“是關于力產(chǎn)生的運動和產(chǎn)生任何運動的力的理論，是精確的論述和證明” 1。理論力學作為使用數(shù)學方法的自然知識的一部分，不僅研究實際物體，而且研究其模型質點、質點系、剛體和連續(xù)介質。從研究次序來看，通常先研究描述機械運動現(xiàn)象的運動學，然后再進一步研究機械運動應當遵循哪些規(guī)律的動力學。至于研究平衡問題的靜力學，對理科來講可以作為動力學的一部分來處理，

3、但在工程技術上，靜力學卻是十分的重要，因此，常把它和動力學分開，自成一個系統(tǒng)2。本文圖解的內(nèi)容為剛體力學運動學問題之一的剛體的繞定點的轉動?！皥D解”的方法,較早見于上?？茖W技術出版社1988年翻譯出版的圖解量子力學，原書名為The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag出版；類似的書還有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特點是通過將理論物理與數(shù)值計算相結合實現(xiàn)可視化來講解物理知識。國外對物理的可視化教學十分重視，早在1995-1996年間Wiley出版社出版了9本有關物理多媒體教

4、學的叢書,是由大學高等物理軟件聯(lián)盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)編寫該叢書及其所用的教學軟件3。如今，圖解法已經(jīng)廣泛應用于力學、電磁學、模擬電子技術等方面，理論力學方面同樣也有不少人已經(jīng)采用了圖解法。如趙宗杰使用3dsmax建立質點外彈道運動規(guī)律的虛擬模型和場景4；樂山師范學院王峰等利用Matlab分別對質點受力僅為位置、速度或時間的函數(shù)進行了圖解，并說明了Matlab在理論力學中的應用5；阜陽師范學院孫美娟、韓修林利用Mathematica進行編程作出了落體的位移時間圖像6。通過圖解，使很多抽象繁難的物理問題在解析

5、時達到空間立體直觀，概念形成清晰，邏輯鏈路曉暢明朗，數(shù)式轉換準確易見。 理論力學因理論性較強，與高等數(shù)學聯(lián)系密切，一些概念的形成、公式的推導、邏輯推理等較抽象、繁難、復雜，往往使教授者感到教學很難達到預期的效果，學習者在學習過程中感覺不但學起來困難吃力，而且學習的效率很低，以致容易產(chǎn)生怕學、厭學的心理?；谏鲜龇治?，本文試圖通過以圖解的形式講解描述剛體運動的三個歐拉角的獲得及用其描述的剛體定點轉動運動學方程的建立過程，來呈現(xiàn)歐拉運動學方程的圖解形式。本文第二部分為對剛體的定點轉動的表述；第三部分為以圖解的形式呈現(xiàn)歐拉角；第四部分為歐拉運動學方程；第五部分為圖解過程的縮影。2. 剛體的定點轉動表

6、述 剛體可以視為質點組，但卻有著區(qū)別于一般質點組的特殊性：其內(nèi)的所有質點的相對位置不論在何種情況下都保持不動，即任意兩個質點之間的距離始終保持不變。通常在三維空間中，若一個質點組包含有N個質點，那么就需要3N個坐標變量才能確定整個質點組的位形。然而，因剛體具有上述特殊性，所以無論構成剛體質點組的質點數(shù)為多少，可以獨立變化的坐標變量只有6個，即與其內(nèi)包含有的質點數(shù)的多少無關。換句話說，也就是若我們把描述物體運動時獨立變化的坐標變量的數(shù)目稱為自由度，那么一般情況（沒有任何約束）下剛體運動的自由度為6。若受到某些約束，自由度就將更少。當剛體運動時，若剛體內(nèi)只有一點始終固定不動，整個剛體圍繞該點轉動，

7、則稱為剛體的定點轉動。圖1 定點轉動的剛體譬如，陀螺（圖1-a），安裝在萬向支架上的陀螺儀轉子（圖1-b），和錐形行星齒輪（圖1-c）等。由于一點始終固定不動（即我們說剛體受到約束），所以6個可獨立變化的坐標中有3個是給定不變了，因而此時剛體可以獨立變化的坐標變量只剩下3個，亦即剛體定點轉動的自由度為3。圖1b中，陀螺儀中轉子可以繞自身對稱軸轉動，軸又可隨同內(nèi)環(huán)一起繞軸轉動，而軸又可隨同外環(huán)一起繞固定軸轉動。這樣三個彼此獨立的繞相交軸的轉動使轉子可以繞點轉動到任何空間位置，而三軸交點始終固定不動。圖1-a和圖1-c中的陀螺、錐形行星齒輪的運動都可以做同樣的理解。由此可知，定點轉動的剛體在某瞬時

8、的運動，可視為是繞通過定點的某一轉動軸的轉動7；但與定軸轉動不同，這一轉動軸是瞬時轉動軸，簡稱瞬軸，它在空間的取向是隨著時間的改變而改變的8。3. 歐拉角 由以上可知，為了確定定點轉動剛體在某一時刻的位置，可選定點作為坐標原點，用兩個獨立變化的坐標變量來確定轉動軸在空間的取向，再用另一個獨立變化的坐標變量來確定整個剛體繞該軸線所轉過的角度。通常這三個獨立變化的坐標變量取為歐拉角較為方便，下面將闡明如何來定義選取三個獨立變化的歐拉角。取兩套右手正交坐標系，其坐標原點均選在固定點，一組是定坐標系，固定在空間不動；而另一組是動坐標系，固連于剛體本身,隨著剛體一起轉動(圖2）。則剛體的空間位置可以由動

9、坐標系相對于定坐標系的位置來確定9，如圖3所示。圖2.坐標系設某瞬時，剛體處于圖3所示的位置。動坐標平面與定坐標平面的交線，用表示，稱為節(jié)線。節(jié)線與定軸的夾角稱為進動角，動軸與定軸的夾角稱為章動角，節(jié)線與動軸的夾角稱為自轉角，這三個角合稱為歐拉角（歐勒角）。規(guī)定從軸、正端看來，由軸、按逆鐘向量得的角度為正，反之為負10。從圖2中可以看出：節(jié)線既在平面上也在平面上，所以它既垂直于軸也垂直于軸，是兩軸所構成的平面的法線。因此，節(jié)線與定軸的夾角這一進動角可以用來確定平面的位置。當進動角和動軸與定軸的夾角這一章動角共同確定之后，軸連同平面的位置便確定。而動軸和在平面的位置則可用節(jié)線與動軸的夾角這一自轉

10、角來確定。這樣，通過圖3.歐拉角圖4. 初始位置歐拉角（、）就能唯一確定動坐標系相對于定坐標系的位置，又因為動坐標系和剛體固連，所以也就確定了剛體的位置。進動角、章動角和自轉角是彼此獨立的，當剛體運動時，、一般都隨著時間改變而改變，是時間的單值連續(xù)函數(shù)，可寫為 ， （1-1） 這一組方程就是剛體定點運動的運動學方程11。假定在初瞬時動坐標系與定坐標系重合（圖4），則可通過如下三次轉動而達到圖3的任意位置。31進動角令動坐標系（剛體與之一起）繞著軸沿逆時針方向（下同）轉過一個圖5.進動角圖6.章動角角度。于是軸同軸分開，到達另一個位置（即位置）；軸同軸分開，到達另一個位置；但因是繞與軸重合的軸轉

11、動，所以軸同軸仍舊重合在一起，如圖5所示。32章動角在上面進動角的基礎上，令動坐標系繞著（即)轉過一個角度。于是軸同軸分開，到達另一個位置；軸再轉動到另一個位置，如圖6所示。這時軸與軸的夾角是，動坐標系與定坐標系的夾角亦是。33自轉角在圖6的基礎上，再令動坐標系繞著自身z軸轉過一個角度。于是同（原來位置）分開，再轉動到另一位置。這時，剛體便轉動到我們所需要的位置，如圖3中的位置。 若要得到剛體可能具有的其他各種位形，只需要在下列區(qū)間內(nèi)改變、的數(shù)值： ， 歐拉角的這種取法并不是唯一的，在陀螺儀實用理論中，可根據(jù)具體結構和裝置情況，選取不同的歐拉角度系統(tǒng)，這里的取法是古典的或稱古典歐拉角11。4.

12、 歐拉運動學方程因為角速度是一個矢量，所以它符合一般的矢量的運算法則，如合成和分解等。 圖8. 角速度方向的確定圖9. 角速度的分解（一）現(xiàn)在來求剛體作定點轉動的角速度。為便于更好地理解接下來所要作的分析推理，首先在圖3中依次標出剛體在進動角度后動軸和所到達的位置為（亦即的位置）和，在章動角度后動軸所到達的位置為，如圖8所示；并分別設定沿動坐標系、軸的單位矢量為、，沿定坐標系、軸的單位矢量為、；而沿軸、和的單位矢量則分別為、和。圖中剛體的角速度分解為各個歐拉角速度的矢量和表為 （1-2）若把向動坐標系各軸分解，則可表為 （1-3）而由幾何關系可知：可沿、三個軸分解，但在這里，由于與和之間的夾角

13、不容易確定，所以我們先將其分解到軸和軸上（因為、同在一平面，且與垂直），如圖9。則有然后再把軸上的分量分解到和上，即最終得： 由于與垂直，因此只能沿軸和軸分解，而在軸上沒有分量，即而沿著軸，故在軸和軸上沒有分量。 集合、在、軸上的各個分量，并聯(lián)立式（1-3），得 (1-4)由此我們便得到用歐拉角及其對時間的微商來表示角速度沿動坐標系的、各軸的投影的歐拉運動學方程：(1-5)或以矩陣式表示為：剛體的角速度同樣也可以向定坐標系的、各軸進行分解：沿著軸，故在軸和上沒有分量。由于與垂直，因此只能沿軸和軸分解，即而則可沿、各軸分解，但是與和之間的夾角不容易確定，所以我們先將其分解到軸和軸上（因為、在同一

14、平面內(nèi)，且與垂直），如圖10。便有圖10. 角速度分解（二）然后把在軸上的分量沿軸和軸分解，即最后便得到在各個軸的矢量和：至此便得到用歐拉角及其對時間的微商來表示角速度沿定坐標系的、各軸的投影的表示式：(1-6) (1-7)或5. 圖解縮影 至此，可以把總的過程簡縮為一個圖解流程鏈路，如下所示。 定義:(ON， ) 定義域:可確定對象：自轉軸進動角進動軸 的方向：章動角節(jié)線ON可確定對象：自轉軸的方向：定義:(Z， ) 定義域: 定義:(X，ON ) 自轉角可確定對象：自轉角度定義域:的方向：自轉軸Z 或或角速度投影在定坐標系角速度 在動坐標系投影6.結論 本文以圖解的形式呈現(xiàn)了描述定點轉動剛

15、體的三個獨立變量（歐拉角）及用其表示的歐拉運動學方程；并對陳洛恩老師的課件作一定的修改。在一定程度上使復雜的問題得到簡化分步，空間描述達到立體直觀，大大地削弱了間接抽象感。把直觀的圖解應用于教學中，對提高學習者的空間思維能力，激發(fā)學習者的創(chuàng)新能力有一定的幫助。致謝 論文寫作過程中很是得到楊春艷老師的關心、指導和幫助，在此表示衷心的感謝！ 參考文獻：1A馬爾契夫李俊峰譯理論力學M高等教育出版社，20062周衍柏理論力學教程M高等教育出版社,20093彭芳麟“圖解”數(shù)學物理方法的教學實踐J物理，2007，（02）4趙宗杰. 質點外彈道運動規(guī)律的虛擬實驗的研究J.中北大學，2008.5王峰、李秀芬、

16、王小容等.Matlab在求解質點動力學問題中的應用J.江內(nèi)科技（高校論壇），2008，（6）6孫美娟，韓修林.空氣阻力與地球自轉影響下自由落體的運動J.宿州學院學報，2010，25（8）7同濟大學理論力學教研室理論力學（上冊）M同濟大學出版社8周衍柏.理論力學教程M.高等教育出版社,2009.9周衍柏.理論力學教程M.高等教育出版社,2009.10郭應征，周志紅理論力學M清華大學出版社11同濟大學理論力學教研室理論力學（上冊）M同濟大學出版社12肖尚斌，董秋泉陀螺力學M人民教育出版社Graphic rigid body mechanicsEuler kinematic equationsJia

17、-kuan Luo(Department of physics, Yuxi normal university, Yuxi 653100)Directed by Dr.Luo-en Chen and Chun-yan YangAbstract: This paper describes the diagram of the Euler angles and Euler kinematic equations describe the rigid body point rotation in order to make the complex transformation of simple and clear and easy understanding of the learner, abstract concepts become i