第一節(jié)線性系統(tǒng)的輸入輸出時間函數(shù)表示

1、為了便于分析，人們常將描述系統(tǒng)為了便于分析，人們常將描述系統(tǒng)工作的各物理量隨時間變化的規(guī)律工作的各物理量隨時間變化的規(guī)律用數(shù)學表達式或圖形表示出來，這用數(shù)學表達式或圖形表示出來，這種描述系統(tǒng)各個物理量之間關系的種描述系統(tǒng)各個物理量之間關系的數(shù)學表達式或圖形稱為數(shù)學表達式或圖形稱為數(shù)學模型。數(shù)學模型。研究一個自動控制系統(tǒng)，除了對系研究一個自動控制系統(tǒng)，除了對系統(tǒng)進行定性分析外，還必須進行定統(tǒng)進行定性分析外，還必須進行定量分析，進而探討改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和量分析，進而探討改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的具體方法。動態(tài)性能的具體方法。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法 通過理論推倒得出，根據(jù)通過

2、理論推倒得出，根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律（力學、運動學、電磁學（力學、運動學、電磁學、熱學等）來編寫、熱學等）來編寫分析法分析法根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其它實驗數(shù)信號的響應或其它實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型。即人為據(jù)建立數(shù)學模型。即人為施加某種測試信號，記錄施加某種測試信號，記錄基本輸出響應。基本輸出響應。 （ ）實驗法實驗法1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元

3、件）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。所謂標準方程包含三方面的內(nèi)容：所謂標準方程包含三方面的內(nèi)容：將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊；與輸出量有關的各項放在方程的左邊；

4、各導數(shù)項按降冪排列；各導數(shù)項按降冪排列； 機械系統(tǒng)微分方程的列寫機械系統(tǒng)微分方程的列寫 機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和物理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素。列寫其微分方程通常阻尼三個要素。列寫其微分方程通常用用達朗貝爾原理。即：作用于每一個達朗貝爾原理。即：作用于每一個質點上的合力，同質點慣性力形成平質點上的合力，同質點慣性力形成平衡力系。衡力系。 電網(wǎng)絡系統(tǒng)微分方程的列寫電網(wǎng)絡系統(tǒng)微分方程的列寫 電網(wǎng)絡系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電網(wǎng)絡系統(tǒng)分析主要根

5、據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律寫出微分方程式，進而建立系統(tǒng)的數(shù)電壓定律寫出微分方程式，進而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。學模型。1 1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數(shù)和應等于流之代數(shù)和應等于0 0（即流出節(jié)點的電流之和等（即流出節(jié)點的電流之和等于所有流進節(jié)點的電流之和）。于所有流進節(jié)點的電流之和）。2 2）基爾霍夫電壓定律）基爾霍夫電壓定律電網(wǎng)絡的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路電網(wǎng)絡的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。的電壓降的代數(shù)和。1 確定輸入量和輸出量 ： 電路的 為輸入量， 為輸出量。iu0u2 列出原始微分方程 根據(jù)電路理

6、論得：00iuRiuduiCdt3 消去中間變量 聯(lián)立上述兩個方程，消去中間變量 可得電路微分方程：i00iduRCuudtRC電路1 確定系統(tǒng)的輸入輸出量：系統(tǒng)外力F 為輸入量，位移 y 為輸出量。2 根據(jù)力學、運動學列出原理方程。 根據(jù)牛頓定律可得3 消去中間變量，可得sfmaFFF22d ydymfkyFdtdt根據(jù)基爾霍夫回路定律，可列出電壓平衡方程式：根據(jù)電容兩端電壓與流過電容的電流之間的關系可得消去中間變量i，可得cdiLRiuudtcduiCdt22cccd uduLCRCuudtdt例例 4、 如圖為兩個形式相同的如圖為兩個形式相同的RC電路串聯(lián)組成的濾波電路，電路串聯(lián)組成的濾

7、波電路，建立輸入電壓為建立輸入電壓為u,求電容求電容C2兩端電壓兩端電壓uc為輸出的微分方程。為輸出的微分方程。解： （1）分析電路的工作原理，假設電阻是理想電阻器，電容也是理想的電容器；（2）輸入量為u，輸出量為uc;（3）根據(jù)基爾霍夫定理列寫方程11211112222ccd uiicd tui Ruui Rud uicd t節(jié)點方程：回路方程：（4）消去中間變量求出描述系統(tǒng)輸入輸出關系的微分方程。211221122122()cccd uduRC R CRCR CRCuudtdt三種不同的物理系統(tǒng)，他們的數(shù)學模型的形式是相同的。我們把三種不同的物理系統(tǒng)，他們的數(shù)學模型的形式是相同的。我們把具

8、有相同數(shù)學模型的不同物理模型稱為相似系統(tǒng)。具有相同數(shù)學模型的不同物理模型稱為相似系統(tǒng)。物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究。統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究。 211221122122()cccd uduRC R CRCR CRCuudtdt22d ydymfkyFdtdt22cccd uduLCRCuudtdt111110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c td td td

9、 tdddbr tbr tbr tb r td td td t( )c t( )r t,(1,2, ;0,1,)ija bin jm211221122122()cccd uduRC R CRCR CRCuudtdt22d ydymfkyFdtdt22cccd uduLCRCuudtdt111110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c td td td tdddbr tbr tbr tb r td td td t1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待

10、研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。所謂標準方程包含三方面的內(nèi)容：所謂標準方程包含三方面的內(nèi)容：將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，將與輸入量有關的各項放在方程的