抽象函數(shù)基本類型及基本解題策略

1、精品資料抽象函數(shù)基本類型及基本解題策略由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對解有關(guān)函數(shù)記號f(x) 的問題感到困難，學(xué)好這部分知識，能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如 下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出 f(x),這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。f，)例1:已知 x 12x：求 f(x).x u x 解：設(shè)x 1，則>.f(u) 2之 1f(x)2.湊合法:在已知f(g(x)h(x)的條件下,把h(x)并湊成以g(u) 表示的代數(shù)式，再

2、利用代換即可求f(x).此解法可編輯修改簡潔，還能進一步復(fù)習(xí)代換法。f (x例2 :已知1) x13,求 f(x)1 f(x -) 解：:x(x1 一)( x1 2-)(x -)3)11|x | |x|又 x|x|.f (x)x(x23)x3 3x(I xl >1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3.已知f(x)二次實函數(shù),且 f(x 1) f(x21) x +2 x+4，求 f (x)解：設(shè),3=2*2 bx c,則 f(x 1) f(x 1)a(x 1)2 b(x1) ca(x1)2b(x1) c22=2ax 2bx 2(a c

3、) x 2x 4 比較系數(shù)得2(a c) 42a 12b 21 一,b21,cf(x)4.利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.例4.已知y= f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x) lg(x 1),求f(x)解：: f (x)為奇函數(shù)，f (x)的定義域關(guān)于原點對稱，故先求x <0時的表達式。x >0,f ( x) lg( x 1) lg(1 x)f(x)為奇函數(shù)，lg(1 x) f( x)f (x).當(dāng) x <0 時 f (x)lg(1x).f(x)lg(1 x),x 0lg(1 x),x 0例5 .已知f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且

4、有f(x)+ g(x)1二，求f(x),g(x)f (x)顯見+即可消去g(x)，求出函數(shù)5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達式xx2 1例6：設(shè)f(x)的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件f(x 1) f(x) f(y) xy,及 f (1)4，求 f(x)解： f(x)為偶函數(shù)，g為奇函數(shù)，f( x) f(x),g( x)g(x),1不妨用-x代換 f(x)+g(x)= x 1.中的x, 1,、1f( x) g( x)g(x)-x 1即f (x) x 11T：g(x)x1再代入求出解：f(x)的定義域為 N, Wy=1,則有 f(x 1) f(x) x 1f(1)=1,

5、f(2) = f(1)+2, f(3)f(2) 3f(n) f(n 1) n.1f (x) x(x 1), x N 2n(n 1)以上各式相加，有 f(n) =1+2+3+ n=2二、利用函數(shù)性質(zhì)，解 f(x)的有關(guān)問題y都成立，且f(0)0，求證 f(x)為偶函數(shù)。1.判斷函數(shù)的奇偶性：例 7 已知 f(x y) f(x y) 2 f(x) f(y),對一切實數(shù) x、證明：令x=0,則已知等式變?yōu)閒(y)f( y) 2f(0)f(y)在中令 y =0 則 2 f (0) =2 f (0)f(0)0., f(0)=1f(y) f( y) 2f(y)., f( y) f(y), f(x)為偶函數(shù)

6、。2.確定參數(shù)的取值范圍例8 :奇函數(shù)f (x)在定義域(-1,1內(nèi)遞減，求滿足f(1 m)2、f(1 m) 0的實數(shù)m的取值范圍。2、解：由 f(1 m) f(1 m )。得 f(1 m)22f(1 m L f(x)為函數(shù)，f(1 m) f(m 1)又 f(x)在 (-1 , 1)內(nèi)遞減, 3.解不定式的有關(guān)題目1 1 m 1/21 m 1 10 m 11 m m2 1f2 t),比較f(1卜”2卜f(4)的大小2例9:如果f(x) = ax bx c對任意的 f(2 t)解：對任意t有f(2 t)-2<1,滿足條件：存在 V),使得"網(wǎng)產(chǎn)'O ,對任何x和V，f2

7、t) x =2為拋物線y = ax2 bx c的對稱軸又.其開口向上，f(2)最小，f=f (3)二.在2 , +8)上，f(x)為增函數(shù) f (3)< f (4), f (2)< f (1)< f (4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f (x)對任意實數(shù) x, y,均有f (x + y) =f (x) + f (y),且當(dāng)x>0時，f(x) >0, f(1)=2,求f (x)在區(qū)間 2, 1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù) f (x)是上見(上H °)的抽象函數(shù)，因此求函數(shù) f (x

8、)的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)趣,則啊-丸0, .當(dāng)匯>0時/。，/出一馬)0,X。=力出-馬)+打=八覆修)+/C勺)/%)-/(均)=，3-/)0,即“打)"S),，f(x)為增函數(shù)。在條件中，令 y = - x,則= /"人一力，再令 x=y = o,則 f (0) = 2 f (0), f (0) = 0,故 f ( x) =f (x), f (x)為奇函數(shù)，f (1) = f(1) = 2,又 f(2) = 2 f(1) =- 4, f (x)的值域為4,2。例 2、已知函數(shù) f (x)對任意二，丁 * A ,滿足條件 f (x) + f (y)

9、= 2 + f (x + y),且當(dāng) x>0 時，f (x) >2, f (3)=5 ,求不等式-2« - 2) < 3的解。分析：由題設(shè)條件可猜測：f (x)是y = x+2的抽象函數(shù)，且f (x)為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。解：設(shè)/卬 則出 網(wǎng)> ° , .當(dāng)xQ時)2 ,x ) 為 單 調(diào) 增 函又,f (3) = 5, - f (1) =3。用 7(2 +1) -/ + 阿-2 - UO) +/-小 /(D -2 - 3川)-4即 - 25-3< 0,解得不等式的解為一1<

10、 a <3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)f (x)的定義域是+OO)八"")成立。求:(1) f (0);(2)對任意值x,判斷f (x)值的正負。分析：由題設(shè)可猜測f(X)是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f(0)= i且f(X)> 0。解：令y=0代入弓則八工卜一J， /(/)'(.)。若 f (x) = 0,則對任意0fL有/01) 心).0 ,這與題設(shè)矛盾，f (x)豐0, f(0 ) = 1 O(2)令丫 = *W0,則/口)二 /3了二2 0 ,又由(1)知 f (x) W 0, f (2x) >0 ,即 f (x) >0,故對

11、任意x, f (x) >0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f (x),使下列三個條件：f(x)>0,xCN;八。")1/(*),/(")，；f (2) =4。同時成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在 /(幻=&* ,又由f (2) = 4可得a = 2.故猜測存在函數(shù),=丁 ,用數(shù)學(xué)歸納法證明 如下：(1) x=i 時，=/=ID =*),/0)=。=4 ,又.x e n 時，f (x) >0, .= 2 = 2，結(jié)論正確。(2)假設(shè)一之。21且林麗時有了而二可則x = k+i時,/-1)=/出口)=涔2二邛

12、，x =k + 1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時產(chǎn)=L3、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f (x)是定義在(0, +8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足/(=/(用+/CA /=1 ,求:(1) f (1)；(2)若f (x) +f (x 8) w 2,求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測 f (x)是對數(shù)函數(shù)A -"gm”的抽象函數(shù)，f(1)=0, f(9)=2。解： ”m”.f =0。(2) 7 2 2有 f(x) +f (x-8Xf(9),即力武工一明上八9, . f (x)是(0, +8)上的增函數(shù)，故-S) < 9M >

13、 0，,解之得:例6、設(shè)函數(shù)y = f (x) 否正確，試說明理由。分析：由題設(shè)條件可猜測-3>0- 一8 <x< 9。的反函數(shù)是 y=g (x)。如果 f (ab) = f (a) + f (b),那么 g (a+b) = g (a) - g (b)是y = f (x)是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又= y = f (x)的反函數(shù)是 y = g (x), -y=g (x)必 為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g (a + b) = g (a)g (b)正確。解：設(shè) f (a) = m , f ( b) = n ,由于 g ( x)是 f (x)的反函數(shù)， g(m) = a,g(n)=b

14、,從而/十，(口方)/由然)且,，g(m)g (n) = g (m + n),以a、b分別代替上式中的m、n 即得 g (a + b) = g (a) - g (b)。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f (x)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件:/(為一叫)當(dāng)修，的是定義域中的數(shù)時，有f (a) = 1 (a>0, a是定義域中的一個數(shù))；當(dāng) 0vxv2a 時，f (x) <0。試問：(1) f (x)的奇偶性如何？說明理由。(2)在(0, 4a)上,f (x)的單調(diào)性如何？說明理由。分析：由題設(shè)知f (x)是¥&#

15、39;一''但二的抽象函數(shù)，從而由¥及題設(shè)條件猜想：f (x)是奇函數(shù)且在(0, 4a)上是增函數(shù)(這里把 a看成4進行猜想)。解：(1) -.-f (x)的定義域關(guān)于原點對稱，且 Kl此3是定義域中的數(shù)時有.心,一(為-工，在定義域中。:-勺力, 7(3-叫)-宣/)火砧+1 八%+1 .f (x)是奇函數(shù)。(2)設(shè) 0vxivx22a,貝U 0vx2 xi2a, ,在(0, 2a)上 f (x) <0,g 十1 f (xi), f (x2), f (x2 xi)均小于零,進而知 .(時)7(町)中的/口1)(心)< ° ,于是 f (xi)

16、V f (x2), ，在(0, 2a)上f (x)是增函數(shù)。f(a) = f(2a -a)=41- 1 = "24)_" -又J2)-(2G,.f(a)=i,./2m,1. f (2a) = 0,設(shè) 2a<x<4a,則 0<x-2a<2a,八一加絲衛(wèi)不,(璋，于是 f 汽)>0 ,即在(2a, 4a)上 f (x) >0。設(shè) 2avxivx24a,一飆】則 0 v x2 xi v 2a ,從而知 f (xi) , f (x2)均大于零。f (x2 xi) < 0 ,D ,f (xi) v f (x2),即f (x)在(2a, 4a)

17、上也是增函數(shù)。綜上所述， f (x)在(0, 4a)上是增函數(shù)。5、哥函數(shù)型抽象函數(shù)哥函數(shù)型抽象函數(shù)，即由募函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例8、已知函數(shù)f (x)對任意實數(shù)x、y都有f (xy) =f (x) f (y),且f ( 1) = 1 , f (27 ) =9 ,當(dāng)口 W工1時,(1 )判斷f (x)的奇偶性；(2)判斷f (x)在0, +8)上的單調(diào)性，并給出證明；若*上。且+ D追.而，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f (x)是募函數(shù)/三的抽象函數(shù)，從而可猜想 f (x)是偶函數(shù)，且在0, +8)上是增函數(shù)。 解：(1)令 y = 1 ,則 f ( x) = f (x) f ( 1),

18、 = f ( 1) = 1 ,， f(x) = f(x), f (x)為偶函數(shù)。一 ,0«受1/(迎，町)=(至)1/(心)(2)設(shè)° &網(wǎng) ( 七，. F ,勺勺，八斗1。匕*1時，/三電1),，/，f (x1)V f (x2),故f (x)在0, +8)上是增函數(shù)。f (27)=9,又"=/叮7JOM/0 =U(利恥訊利| .)司=我 d)洞“g+i)"|.CQ&+l/M0,+8), ,I*1£3卻口 ,2,又口，故口為交。抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)

19、。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式 的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下： 一、定義域問題例1.已知函數(shù) 八"-的定義域是1 , 2,求f(x)的定義域。解：/次)的定義域是1,2,是指14工所以中的/滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1,4評析：一般地，已知函數(shù) ,(6")的定義域是A,求f(x)的定義域問題，相當(dāng)于已知 ,(河工”中x的取值范圍為A, 據(jù)此求磔的值域問題。_刈叫。-叨例2.已知函數(shù)J的定義域是L ”,求函數(shù) 1 的定義域。解：了的定義域是T' "，意思是凡被f作用的對象都在f 0中，由此可得/儂 1（3-劃

20、1, H所以函數(shù)丁 的定義域是 4評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f（x）的定義域是 A,求函數(shù),（伊（/公的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當(dāng)于已知孤方的值域B ,且E工總 ,據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。 二、求值問題例3.已知定義域為 止十的函數(shù)f（x）,同時滿足下列條件:f（9）的值。解：取k=Z 得/=，（2） +/=1，心= :”（、） = /（工）+了（刈,求 f（3）因為又取齊7=3Q得5評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取,這樣便把已知條件與欲求的f（3）溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值

21、域問題例4.設(shè)函數(shù)f（x）定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、 y,總成立，且存在/ S,羊了（心）,求函數(shù)$8的值域。解:小r叫得/山;即有，（°"?；蚓W(wǎng)°）= 1。若丁=°，則*x）=a + O = /八0）= ° ,對任意式e尺均成立，這與存在實數(shù)走戶看，使得小H）成立矛盾，故/必有，二1。由于f（+y） =，/8）對任意心J JR均成立，因此，對任意芯E勺有/W =抬 +=> 0b-i£_'£-i1-a£-1下面來證明，對任意 工七五丁 °設(shè)存在而.使得外則/ = /（而-而"

22、八而）六-而"°這與上面已證的戶；0）噌°矛盾，因此，對任意耳評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題常一 1）=1+7例5.設(shè)對滿足彳工羊1的所有實數(shù)x,函數(shù)J（不滿足工，求f（x）的解析式。/W + /()=1 +工解：在工中以工代換其中X,得:/()+/(-X工一1K_ 1再在(1)中以1-1代換X,得1. ?/(-)+/«=-x-Ix- 1一（2）+化簡得：八'一 2弄0-1）z- 1評析：如果把X和 K 分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通

23、常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6.設(shè)f（x）定義于實數(shù)集上，當(dāng)犬口時,1/>1，且對于任意實數(shù)x、y,有（工,求證：,在R上為增函數(shù)。證明：在/（工+，）=/5）/0）1中取1 =尸=0,得/（。）=【/（°）廣若,=。，令二口，則/叫與小”1矛盾所以八0）工。") = 1當(dāng) 時，/ >10；當(dāng)一口時，一工">0而=所1/M =所以又當(dāng)卜口時,7（0）=2>0 所以對任意式總尺，恒有了門>。設(shè)一0工修工均則馬-勺0,（心一片）口1所以/d）=力時+缶-瓦

24、）上，（句6-川 /（勺）所以y = /（乃在r上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7.已知函數(shù)/ a）E 6見及芭Q）對任意不等于零的實數(shù) 和 心都有/（亢1 &）=（心），試判斷函數(shù)嶇） 的奇偶性。解：取修三t勺則得：-m）+川），所以八i）二 °又取修=冷=-1得：*1）=十1）+/（7 ,所以7 = 口再取修二M七三一 1則/（-用=/（-D +/（K）,即=因為 人工）為非零函數(shù)，所以 ,6為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8.已知函數(shù) ¥=/（工）滿足/+'-加2。2 ,求尸斗廣112。2-可的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式/苗+不）+ /缶-2=28中取厘=口，= 2002，所以函數(shù)尸= /（*）的圖象關(guān)于點（0,2002 ）對稱。