二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一.二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a, b, c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù) .這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2 .二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表達(dá)式（a，0）a值圖像開口 方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐 標(biāo)增減性最值y-ax 2a> 0J向上y軸(0, 0)當(dāng)x>0時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x<

2、0時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，即y最小值=0a< 0向下y軸(0, 0)當(dāng)x>0時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x<0時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即y最大值=0y=ax 2+ka> 0yFk>o /k/ o向上y軸(0, k)當(dāng)x>0時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x<0時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，即y最小值=ka< 0y 巾 /©/k>o* Xk< 向下y軸(0, k)當(dāng)x>0時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x<0時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即y最大

3、值=ky=a(x-h) 2a> 01XL. 工工r:bxllx-h3向上直線x=h(h , 0)當(dāng)x>h時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x<0時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x=h時(shí)，y有最小值，即y最小值=0a< 0x=hh木島向下直線x=h(h , 0)當(dāng)x>h時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x<0時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x=h時(shí)，y有最大值，即y最大值=0y=a(x-h) 2 +ka> 0K-htoo；*=h向上直線x=h(h , k)當(dāng)x>h時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x<h時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x=h時(shí)，y有最小值，即y最小值=ka< 0

4、7W?Kh<o - 1 : M 口ho向下直線x=h(h , k)當(dāng)x>h時(shí)，y隨 x的增大而減小當(dāng)x<h時(shí)，y隨 x的增大而增大當(dāng)x=h時(shí)，y有最大值，即y最大值=ky=ax 2+bx +c可化為：y=a(x+基)2+辛;千十4百.a> 0i x=hb<Q N c=oz1向上直線bx=-西/ b(-五，4ac b2、4a )當(dāng)x>-白時(shí)，y 隨x的增大而增大 當(dāng)x< - 2時(shí)，y 隨x的增大而減小當(dāng) x=- -2a 時(shí)，y有最小值，y最小值=4ac b2 4aa< 0?><hi J 一向下直線bx=-酉(- b，,.24ac b 、

5、4a )當(dāng)x>一在時(shí)，y 隨x的增大而減小 當(dāng)x< -我時(shí)，y 隨x的增大而增大當(dāng)x=-3a時(shí)，y有最大值，即y最大值4ac b2= 4aJ£=OC<0;八 Kz, 1、11CMQ三.二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟: 2將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h, k ； 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下:_ 2 y=ax2* y=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）或下（k<0）

6、】 平移|k|個(gè)單位>向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0）、平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項(xiàng)）溫馨提示二次函數(shù)圖像間的平移可看作是頂點(diǎn)間的平移，因此只要掌握了頂點(diǎn)是如何平移的，就掌握了二次函數(shù)圖像間的平移.四.二次函數(shù)y ax h 2 k與y ax2 bx c的比較22從解析式上看，y a x h k與y ax bx c

7、是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者,222b 4ac bb , 4ac b即 y a x -,其中 h 一, k .2a 4a2a 4a五.二次函數(shù)解析式的三種表示方法名稱解析式使用范圍一般式2y ax bx c(a 0)已知任意三個(gè)點(diǎn)頂點(diǎn)式2y a(x h) k(a 0)已知頂點(diǎn)（h, k）及另,點(diǎn)交點(diǎn)式y(tǒng) a(x x1)(x x2)(a 0)已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及另一個(gè)點(diǎn)溫馨提示任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 。時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化，將

8、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式去括號(hào)、合并同類項(xiàng)就可轉(zhuǎn)化為一般式，把一般式配方、因式分解就可轉(zhuǎn) 化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式.六.二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a【a決定拋物線的開口方向,|a|決定拋物線開口的大小】當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上,a的值越大，開口越小，a的值越小，開口越大;當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下,a的值越大，開口越大,a的值越大，開口越大.注：|a|越大，拋物線的開口越小,|a|越小，拋物線開口越大拋物線的形狀相同，即|a|相同.2.一次項(xiàng)系數(shù)b1由a和對(duì)稱軸共同決定】對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a, b同號(hào)；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a, b異號(hào).（ 左同右異b 為 0 時(shí)，對(duì)稱軸為y 軸 ）3

9、. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置七二次函數(shù)圖象（拋物線）與x 軸交點(diǎn)情況的判斷：y = ax2+bx+c（aw。，a、b、c 都是常數(shù)）1 .占b 2-4ac >0 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)2 . =b 2-4ac=0 拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)3 .占b 2-4ac <0 拋物線與x軸沒有交點(diǎn) 當(dāng) a 0 時(shí)，圖象落在x

10、 軸的上方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y 0 ；當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0.八 .二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解之間的關(guān)系：1 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.因此利用二次函數(shù)圖象可求以x為未知數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c =0的解（從圖象上進(jìn)行判斷）.2 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c 在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c >0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c < 0的解.九 .二次函數(shù)的應(yīng)用剎車距離二次函

11、數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)最大面積是多少二次函數(shù)拋物線簡(jiǎn)單的圖形變換翁2(1)頂點(diǎn)式【y a(x h) k (aw°)名稱a頂點(diǎn)(h, k)平移a(h ,k)JJ左加右減上加下減對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱-a(h，-k)關(guān)于y軸對(duì)稱a(-h , k)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱-a(-h，-k)旋轉(zhuǎn)(繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 ° )-a(h, k)2(2) 一般式【y ax bx c (aw°)2平移：如將二次函數(shù) y ax bx c向右平移 m(m >0)個(gè)單位，再向下平移 n (n>0)個(gè)單位，得到222,y a(x m) b(x m) c n ax (2am b)x am bm c

12、n對(duì)稱名稱a、b、c的變化解析式變化關(guān)于x軸對(duì)稱a-a; b-b; c 一-cy=ax 2+bx+c f y=-ax 2-bx-c關(guān)于y軸對(duì)稱a不變； b -b ; c不變y=ax 2+bx+c f y=ax 2-bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱a-a; bM、變；c-cy=ax 2+bx+c f y=-ax 2+bx-c注：無論是平移、軸對(duì)稱還是旋轉(zhuǎn)，最好先把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，然后再根據(jù)需要進(jìn)行求解二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題.選擇題21 .二次函數(shù)y x 4x 7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2, 11)B. (2, 7)C. (2 , 11 )D. (2, 3)2A. y 2( x 1)22x 1一. 一 2一

13、一 k .3.函數(shù)y kxk和y （k0）在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的（）x2,4.已知二次函數(shù) y ax bx c(a0）的圖象如圖所示 則下列結(jié)論：a,b同號(hào)當(dāng)x 1和x 3時(shí),函數(shù)值相等；4a b 0當(dāng)y2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè)D. 4個(gè)22 .把拋物線y2x向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（）2225 .已知二次函數(shù)y ax bx c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1 , -3.2 ）及部分圖象（如圖），由圖象可知關(guān)于x的一2兀一次方程ax bx c0的兩個(gè)根分別是 x11.3和x2（ ） A.-1.3C.-0.3D.-3.3，一一26 .已

14、知二次函數(shù)y ax bx c的圖象如圖所不，則點(diǎn) （ac,bc）在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限7 .方程2x x22的正根的個(gè)數(shù)為（）xA.0個(gè)B.1個(gè)C.2 個(gè).B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y8.已知拋物線過點(diǎn) A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為(2 2A. yxx2B. yxx22八_2c2_32cC. y x x2 或 y x x 2 D. y x x2 或 yx x 2二.填空題29 .二次函數(shù)y x bx 3的對(duì)稱軸是x 2,則b .10 .已知拋物線y=-2 (x+3 ) 2+5 ,如果y隨x

15、的增大而減小，那么 x的取值范圍是 .11 . 一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)(一 1,2),當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 (只寫一個(gè)即可).一一 _ _ 212 .拋物線y 2(x 2)6的頂點(diǎn)為C,已知直線y kx 3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.2213 .二次函數(shù)y 2x 4x 1的圖象是由y 2x bx c的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位 得到的，貝U b= ,c=.14 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的 地方，橋的高度是(兀取3.14).三

16、.解答題：515 .已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x 3 0,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,-).2(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為 0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而增大？口第15題圖12，一16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升圖度h (米)和時(shí)間t (秒)符合關(guān)系式h v0t -gt (0<t W2),其中重2力加速度g以10米/秒2計(jì)算.這種爆竹點(diǎn)燃后以 vo=20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？(2)在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，

17、并說明理由 17.如圖，拋物線y2，,x bx c經(jīng)過直線y x3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線頂點(diǎn)為 D.(1 )求此拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使 S APC :坐標(biāo)。點(diǎn)M為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，寫出使點(diǎn)M、行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo).S ACD18 .紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加 7. 5噸.綜合考

18、慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為 x (元)，該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y (元).(1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出 x的取值范圍)；(3)該建材店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？(4)小靜說：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由.19 .某商場(chǎng)試銷一種成本為60元/件的T恤，規(guī)定試銷期間單價(jià)不低于成本單價(jià)，又獲利不得高于40% ,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量 y (件)與銷售單價(jià) x (元/件)符合一次函數(shù) y=kx+b ,且x=70時(shí)，y=50 ; x=80 時(shí)，y=40 ;

19、(1)求出一次函數(shù) y=kx+b 的解析式(2)若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為 w元，試寫出利潤(rùn) w與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷售單價(jià)定為多少時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少?二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1 .心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x (分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1 x2 +2.6 x + 43 (0 <x<30).(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步減弱？(2)第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少?(3)第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?2 .如圖，已知4ABC是一等腰三角形鐵板余料 淇中AB=AC=20cm

20、,BC=24cm.若在4ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上，點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少？3 .已知銳角 ABC中，邊BC長(zhǎng)為12 ,高AD長(zhǎng)為8(1)如圖，矩形 EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn) E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K求生的值A(chǔ)K設(shè)EH = x,矩形EFGH的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最大值(2)若ABAC,正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在 ABC 一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長(zhǎng)4 .如圖，MBC中,/B=90 °,AB=6cm,BC=12cm. 點(diǎn)P從點(diǎn)A

21、開始，沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm 的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿著BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng).如果P.Q同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘 PBQ的面積最大？最大面積是多少？5 .如圖，隧道的截面由拋物線 AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)BC為8m,寬AB為2m,以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.y軸是拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為6m.(1)求拋物線的解析式；(2) 一輛貨運(yùn)卡車高 4.5m,寬2.4m,它能通過該隧道嗎？如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，為了安全起見，在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶，則該輛貨運(yùn)卡車還能通過隧道嗎？【舉一反三】如圖，隧道的截面

22、由圓弧 AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)BC為12m,寬AB為3m,隧道的頂端E(圓弧AED的中點(diǎn))高出道路(BC)7m.求圓弧AED所在圓的半徑如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛超高貨運(yùn)卡車高6.5m,寬2.3m,問這輛貨運(yùn)卡車能否通過該隧道6.如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為 2.5米時(shí),達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少.50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞7.如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠