反證法證明題

1、反證法證明題例1已知 A , B , C為ABC內(nèi)角.求證： A, B , C中至少有一個(gè)不小于 60°.證明：假設(shè) ABC的三個(gè)內(nèi)角A， B， C都小于60°，即 A 60°，B 60°，C 60°，所以 ABC 180°，與三角形內(nèi)角和等于 180°矛盾， 所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立例2.已知a 0 ,證明x的方程ax b有且只有一個(gè)根.證明：由于a 0,因此方程ax b至少有一個(gè)根x .a假設(shè)方程ax 至少存在兩個(gè)根，不妨設(shè)兩根分別為 x, x2且X! x2，貝 U a/ ,ax2，所以ax2,所以x2) 0.因?yàn)?/p>

2、捲 x2，所以X! x2 0 ,所以a 0，與已知a 0矛盾， 所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.33例3.已知a 2,求證a 2.證明：假設(shè)a 2，則有a 2,所以 a3(2)3 即 a3812623,3232所以 a8 1266(1)2.因?yàn)?6(1)222所以a332，與已知a332矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例4.設(shè)an是公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.求證：Sn不是等比數(shù)列.證明：假設(shè)是 Sn等比數(shù)列，則S； S1 S3,2 2 2即 ai (1 q) ai ai(1 q q ).因?yàn)榈缺葦?shù)列ai 0 ,所以(1 q)21 q q2即q 0，與等比數(shù)列q 0矛盾,所以假

3、設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例5.證明、2是無理數(shù).證明：假設(shè).2是有理數(shù)，則存在互為質(zhì)數(shù)的整數(shù)m，n使得,2 m.所以m '邁n即m2 2n2，所以m2為偶數(shù)，所以m為偶數(shù).所以設(shè)m 2k(k N*)，2 2 2 2從而有4k 2n即n 2k .2所以n也為偶數(shù)，所以n為偶數(shù).與m, n互為質(zhì)數(shù)矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證 、2是無理數(shù)成立例6.已知直線a,b和平面，如果a ,b ，且a/b，求證a/因?yàn)閍，而a證明：因?yàn)閍/b,所以經(jīng)過直線a , b確定一個(gè)平面。 匸所以 與是兩個(gè)不同的平面.因?yàn)閎 ，且b,所以I b.下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點(diǎn)假設(shè)直線a與平面 有公共點(diǎn)

4、P，則P I b,即點(diǎn)P是直線a與b的公共點(diǎn)，這與a/b矛盾所以 a/.例7.已知0 < a, b, c < 2,求證：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b不可能同時(shí)大于 1 證明：假設(shè)(2 a)c,(2 b)a, (2 c)b都大于1,即(2a)c>1 , (2b)a>1 , (2c)b>1 ,則(2a)c(2b)a(2c)b>1又因?yàn)樵O(shè) 0 < a, b, c < 2, (2 a) a一a)一a1,2同理(2 b) b<!(2 c) c w,l所以(2a)c(2 b)a (2c)bW1此與矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立例&

5、amp;若x, y > 0 ,且x + y >2，則1一y和1一X中至少有一個(gè)小于2x y證明：假設(shè)1y >2 J >2x y因?yàn)?x, y > 0,所以 1 y 2x,1 x 2y , 可得x + y w 2與x + y >2矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立1 例9.設(shè)0 < a, b, c < 1,求證：(1 a)b, (1 b)c, (1c)a,不可能同時(shí)大于 一41證明：假設(shè)設(shè)(1 a)b >1,(1 b)c >1,(11 c)a >,444則三式相乘：ab < (1a)b?(1b)c?(1、 1c)a < -642又T 0 < a, b, c < 1 0 (1a)a(1 a) a12411同理：(1 b)b ,(1 c)c -441以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c w與矛盾64例10.設(shè)二次函數(shù)f (x) x2所以原式成立px q，求證：f(1), f(2), f(3)中至少有一個(gè)不小于1證明：假設(shè)f (1), f (2), f (3)都小于1 ,則 f(1)2 f(2)f(3)2.(1) 另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有f(