第9章模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸

1、第9章模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)對(duì)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握以下要點(diǎn)：（1）抽樣定理；（2）自然抽樣和平頂抽樣；（3）均勻量化和非均勻量化；（4）PCM原理，A律13折線編、譯碼；（5）M原理，不過(guò)載條件和編碼范圍；（6）PCM、M系統(tǒng)的抗噪聲性能（7）時(shí)分復(fù)用和多路數(shù)字電話系統(tǒng)原理9.1 引言數(shù)字化3步驟：抽樣、量化和編碼圖9-1 抽樣、量化和編碼圖9.2 模擬信號(hào)的抽樣9.2.1 低通模擬信號(hào)的抽樣定理抽樣定理：設(shè)一個(gè)連續(xù)模擬信號(hào)m(t)中的最高頻率 < fH，則以間隔時(shí)間為T(mén) £ 1/2fH的周期性沖激脈沖對(duì)它抽樣時(shí)，m(t)將被這些抽樣值所完全確定。【證】設(shè)有一個(gè)最高頻率

2、小于fH的信號(hào)m(t) 。將這個(gè)信號(hào)和周期性單位沖激脈沖dT(t)相乘，其重復(fù)周期為T(mén)，重復(fù)頻率為fs = 1/T。乘積就是抽樣信號(hào)，它是一系列間隔為T(mén) 秒的強(qiáng)度不等的沖激脈沖。這些沖激脈沖的強(qiáng)度等于相應(yīng)時(shí)刻上信號(hào)的抽樣值?，F(xiàn)用ms(t) = Sm(kT)表示此抽樣信號(hào)序列。故有用波形圖示出如下：圖9-2抽樣定理波形圖令M(f)、DW(f)和Ms(f)分別表示m(t)、dT(t)和ms(t)的頻譜。按照頻率卷積定理，m(t)dT(t)的傅里葉變換等于M(f)和DW(f)的卷積。因此，ms(t)的傅里葉變換Ms(f)可以寫(xiě)為： （9-1）而DW(f)是周期性單位沖激脈沖的頻譜，它可以求出等于：（

3、9-2）式中，將上式代入 Ms(f)的卷積式，得到 （9-3）上式中的卷積，可以利用卷積公式： （9-4）進(jìn)行計(jì)算，得到（9-5）上式表明，由于M(f - nfs)是信號(hào)頻譜M(f)在頻率軸上平移了nfs的結(jié)果，所以抽樣信號(hào)的頻譜Ms(f)是無(wú)數(shù)間隔頻率為fs的原信號(hào)頻譜M(f)相疊加而成。 用頻譜圖示出如下圖9-3抽樣定理頻譜圖因?yàn)橐呀?jīng)假設(shè)信號(hào)m(t)的最高頻率小于fH，所以若頻率間隔fs ³ 2fH，則Ms(f)中包含的每個(gè)原信號(hào)頻譜M(f)之間互不重疊，如上圖所示。這樣就能夠從Ms(f)中用一個(gè)低通濾波器分離出信號(hào)m(t)的頻譜M(f)，也就是能從抽樣信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)。這里，恢

4、復(fù)原信號(hào)的條件是：即抽樣頻率fs應(yīng)不小于的兩倍。這一最低抽樣速率2fH稱(chēng)為奈奎斯特速率。與此相應(yīng)的最小抽樣時(shí)間間隔稱(chēng)為奈奎斯特間隔?；謴?fù)原信號(hào)的方法：從上圖可以看出，當(dāng)fs ³ 2fH時(shí)，用一個(gè)截止頻率為fH的理想低通濾波器就能夠從抽樣信號(hào)中分離出原信號(hào)。從時(shí)域中看，當(dāng)用抽樣脈沖序列沖激此理想低通濾波器時(shí)，濾波器的輸出就是一系列沖激響應(yīng)之和，如下圖所示。這些沖激響應(yīng)之和就構(gòu)成了原信號(hào)。圖9-4濾波器輸出沖激響應(yīng)理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的。實(shí)用濾波器的截止邊緣不可能做到如此陡峭。所以，實(shí)用的抽樣頻率fs必須比2fH 大一些。例如，典型電話信號(hào)的最高頻率通常限制在3400 Hz，而抽樣頻率通

5、常采用8000 Hz。9.2.2 帶通模擬信號(hào)的抽樣定理設(shè)帶通模擬信號(hào)的頻帶限制在fL和fH之間。即其頻譜最低頻率大于fL，最高頻率小于fH，信號(hào)帶寬B = fH fL?？梢宰C明，此帶通模擬信號(hào)所需最小抽樣頻率fs等于 （9-6）式中，B 信號(hào)帶寬； n 商(fH / B)的整數(shù)部分，n =1，2，； k 商(fH / B)的小數(shù)部分，0 < k < 1。按照上式畫(huà)出的fs和fL關(guān)系曲線示于下圖： 圖9-5帶通模擬信號(hào)的抽樣定理圖由于原信號(hào)頻譜的最低頻率fL和最高頻率fH之差永遠(yuǎn)等于信號(hào)帶寬B，所以當(dāng)0 £ fL < B時(shí)，有B £ fH < 2B。

6、這時(shí)n = 1，而上式變成了fs = 2B(1 + k)。故當(dāng)k從0變到1時(shí)，fs從2B變到4B，即圖中左邊第一段曲線。當(dāng)fLB時(shí)，fH2B，這時(shí)n = 2。故當(dāng)k0時(shí)，上式變成了fs = 2B，即fs從4B跳回2B。當(dāng)B £ fL < 2B時(shí)，有2B £ fH < 3B。這時(shí)，n = 2，上式變成了fs = 2B(1 + k/2)，故若k從0變到1，則fs從2B變到3B，即圖中左邊第二段曲線。當(dāng)fL2B時(shí)，fH3B，這時(shí)n = 3。當(dāng)k0時(shí)，上式又變成了fs = 2B，即fs從3B又跳回2B。依此類(lèi)推。由上圖可見(jiàn)，當(dāng)fL = 0時(shí)，fs 2B，就是低通模擬信號(hào)

7、的抽樣情況；當(dāng)fL很大時(shí)，fs趨近于2B。fL很大意味著這個(gè)信號(hào)是一個(gè)窄帶信號(hào)。許多無(wú)線電信號(hào)，例如在無(wú)線電接收機(jī)的高頻和中頻系統(tǒng)中的信號(hào)，都是這種窄帶信號(hào)。所以對(duì)于這種信號(hào)抽樣，無(wú)論fH是否為B的整數(shù)倍，在理論上，都可以近似地將fs取為略大于2B。 圖中的曲線表示要求的最小抽樣頻率fs，但是這并不意味著用任何大于該值的頻率抽樣都能保證頻譜不混疊。9.3 模擬脈沖調(diào)制模擬脈沖調(diào)制的種類(lèi)周期性脈沖序列有4個(gè)參量：脈沖重復(fù)周期、脈沖振幅、脈沖寬度和脈沖相位（位置）。 其中脈沖重復(fù)周期（抽樣周期）一般由抽樣定理決定，故只有其他3個(gè)參量可以受調(diào)制。3種脈沖調(diào)制：脈沖振幅調(diào)制(PAM)脈沖寬度調(diào)制(PD

8、M)脈沖位置調(diào)制(PPM)仍然是模擬調(diào)制，因?yàn)槠浯硇畔⒌膮⒘咳匀皇强梢赃B續(xù)變化的。 模擬脈沖調(diào)制波形圖9-6幾種模擬脈沖調(diào)制PAM調(diào)制PAM調(diào)制信號(hào)的頻譜設(shè)：基帶模擬信號(hào)的波形為m(t)，其頻譜為M(f)；用這個(gè)信號(hào)對(duì)一個(gè)脈沖載波s(t)調(diào)幅，s(t)的周期為T(mén)，其頻譜為S(f)；脈沖寬度為t，幅度為A；并設(shè)抽樣信號(hào)ms(t)是m(t)和s(t)的乘積。則抽樣信號(hào)ms(t)的頻譜就是兩者頻譜的卷積：（9-7）式中 sinc(ntfH) = sin(ntfH) / (ntfH)PAM調(diào)制過(guò)程的波形和頻譜圖 圖9-7 PAM調(diào)制過(guò)程的波形和頻譜圖由上圖看出，若s(t)的周期T £ (1

9、/2fH)，或其重復(fù)頻率fs ³ 2fH，則采用一個(gè)截止頻率為fH的低通濾波器仍可以分離出原模擬信號(hào)。自然抽樣和平頂抽樣在上述PAM調(diào)制中，得到的已調(diào)信號(hào)ms(t)的脈沖頂部和原模擬信號(hào)波形相同。這種PAM常稱(chēng)為自然抽樣。在實(shí)際應(yīng)用中，則常用“抽樣保持電路”產(chǎn)生PAM信號(hào)。這種電路的原理方框圖如右： 圖9-8 PAM自然抽樣原理圖平頂抽樣輸出波形圖9-9平頂抽樣輸出波形平頂抽樣輸出頻譜設(shè)保持電路的傳輸函數(shù)為H(f)，則其輸出信號(hào)的頻譜MH(f)為：上式中的Ms(f)用（9-8）代入，得到（9-9）比較上面的MH(f)表示式和Ms(f)表示式可見(jiàn)，其區(qū)別在于和式中的每一項(xiàng)都被H(f)加

10、權(quán)。因此，不能用低通濾波器恢復(fù)（解調(diào)）原始模擬信號(hào)了。但是從原理上看，若在低通濾波器之前加一個(gè)傳輸函數(shù)為1/H(f)的修正濾波器，就能無(wú)失真地恢復(fù)原模擬信號(hào)了。9.4 抽樣信號(hào)的量化9.4.1 量化原理設(shè)模擬信號(hào)的抽樣值為m(kT)，其中T是抽樣周期，k是整數(shù)。此抽樣值仍然是一個(gè)取值連續(xù)的變量。若僅用N個(gè)不同的二進(jìn)制數(shù)字碼元來(lái)代表此抽樣值的大小，則N個(gè)不同的二進(jìn)制碼元只能代表M = 2N個(gè)不同的抽樣值。因此，必須將抽樣值的范圍劃分成M個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間用一個(gè)電平表示。這樣，共有M個(gè)離散電平，它們稱(chēng)為量化電平。用這M個(gè)量化電平表示連續(xù)抽樣值的方法稱(chēng)為量化。 量化器在原理上，量化過(guò)程可以認(rèn)為是在一個(gè)

11、量化器中完成的。量化器的輸入信號(hào)為m(kT)，輸出信號(hào)為mq(kT) ，如下圖所示。圖9-10 量化原理圖 在實(shí)際中，量化過(guò)程常是和后續(xù)的編碼過(guò)程結(jié)合在一起完成的，不一定存在獨(dú)立的量化器。9.4.2 均勻量化均勻量化的表示式設(shè)模擬抽樣信號(hào)的取值范圍在a和b之間，量化電平數(shù)為M，則在均勻量化時(shí)的量化間隔為（9-10）且量化區(qū)間的端點(diǎn)為 i = 0, 1, , M（9-11）若量化輸出電平qi取為量化間隔的中點(diǎn)，則顯然，量化輸出電平和量化前信號(hào)的抽樣值一般不同，即量化輸出電平有誤差。這個(gè)誤差常稱(chēng)為量化噪聲，并用信號(hào)功率與量化噪聲之比衡量其對(duì)信號(hào)影響的大小。9.4.3 非均勻量化 非均勻量化的目的：

12、在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于給定的量化器，量化電平數(shù)M和量化間隔Dv都是確定的，量化噪聲Nq也是確定的。但是，信號(hào)的強(qiáng)度可能隨時(shí)間變化（例如，語(yǔ)音信號(hào)）。當(dāng)信號(hào)小時(shí)，信號(hào)量噪比也小。所以，這種均勻量化器對(duì)于小輸入信號(hào)很不利。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，改善小信號(hào)時(shí)的信號(hào)量噪比，在實(shí)際應(yīng)用中常采用非均勻量化。非均勻量化的數(shù)學(xué)分析當(dāng)量化區(qū)間劃分很多時(shí)，在每一量化區(qū)間內(nèi)壓縮特性曲線可以近似看作為一段直線。因此，這段直線的斜率可以寫(xiě)為：（9-12）并有設(shè)此壓縮器的輸入和輸出電壓范圍都限制在0和1之間，即作歸一化，且縱坐標(biāo)y 在0和1之間均勻劃分成N個(gè)量化區(qū)間，則每個(gè)量化區(qū)間的間隔應(yīng)該等于（9-13）將其代入上式，得到 （

13、9-14）為了對(duì)不同的信號(hào)強(qiáng)度保持信號(hào)量噪比恒定，當(dāng)輸入電壓x減小時(shí)，應(yīng)當(dāng)使量化間隔Dx 按比例地減小，即要求Dx µ x因此上式可以寫(xiě)成或式中，k 比例常數(shù)。上式是一個(gè)線性微分方程，其解為為了求出常數(shù)c，將邊界條件 (當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1)，代入上式，得到k + c =0故求出c = -k將c 的值代入上式，得到（9-15）即要求y f(x)具有如下形式：由上式看出，為了對(duì)不同的信號(hào)強(qiáng)度保持信號(hào)量噪比恒定，在理論上要求壓縮特性具有對(duì)數(shù)特性。但是，該式不符合因果律，不能物理實(shí)現(xiàn)，因?yàn)楫?dāng)輸入x 0時(shí)，輸出y - ¥，其曲線和上圖中的曲線不同。所以，在實(shí)用中這個(gè)理想壓縮特

14、性的具體形式，按照不同情況，還要作適當(dāng)修正，使當(dāng)x0時(shí)，y0。關(guān)于電話信號(hào)的壓縮特性，國(guó)際電信聯(lián)盟(ITU)制定了兩種建議，即A壓縮律和m壓縮律，以及相應(yīng)的近似算法 13折線法和15折線法。我國(guó)大陸、歐洲各國(guó)以及國(guó)際間互連時(shí)采用A律及相應(yīng)的13折線法，北美、日本和韓國(guó)等少數(shù)國(guó)家和地區(qū)采用m律及15折線法。下面將分別討論這兩種壓縮律及其近似實(shí)現(xiàn)方法。A壓縮律A壓縮律是指符合下式的對(duì)數(shù)壓縮規(guī)律：（9-16）式中，x 壓縮器歸一化輸入電壓； y 壓縮器歸一化輸出電壓； A 常數(shù)，它決定壓縮程度。A 律是從前式修正而來(lái)的。它由兩個(gè)表示式組成。第一個(gè)表示式中的y和x成正比，是一條直線方程；第二個(gè)表示式中

15、的y和x是對(duì)數(shù)關(guān)系，類(lèi)似理論上為保持信號(hào)量噪比恒定所需的理想特性的關(guān)系。A律的導(dǎo)出由式畫(huà)出的曲線示于下圖中。為了使此曲線通過(guò)原點(diǎn)，修正的辦法是通過(guò)原點(diǎn)對(duì)此曲線作切線ob，用直線段ob代替原曲線段，就得到A律。此切點(diǎn)b的坐標(biāo)(x1, y1)為或（1/A, Ax1/(1+lnA)）A律是物理可實(shí)現(xiàn)的。其中的常數(shù)A不同，則壓縮曲線的形狀不同，這將特別影響小電壓時(shí)的信號(hào)量噪比的大小。在實(shí)用中，選擇A等于87.6。圖9-11 A壓縮律13折線壓縮特性 A律的近似 A律表示式是一條平滑曲線，用電子線路很難準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)。這種特性很容易用數(shù)字電路來(lái)近似實(shí)現(xiàn)。13折線特性就是近似于A律的特性。在下圖中示出了這種特

16、性曲線：圖9-12 13折線特性圖中橫坐標(biāo)x在0至1區(qū)間中分為不均勻的8段。1/2至1間的線段稱(chēng)為第8段；1/4至1/2間的線段稱(chēng)為第7段；1/8至1/4間的線段稱(chēng)為第6段；依此類(lèi)推，直到0至1/128間的線段稱(chēng)為第1段。圖中縱坐標(biāo)y 則均勻地劃分作8段。將與這8段相應(yīng)的座標(biāo)點(diǎn)(x, y)相連，就得到了一條折線。由圖可見(jiàn)，除第1和2段外，其他各段折線的斜率都不相同。在下表中列出了這些斜率因?yàn)檎Z(yǔ)音信號(hào)為交流信號(hào)，所以，上述的壓縮特性只是實(shí)用的壓縮特性曲線的一半。在第3象限還有對(duì)原點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)的另一半曲線，如下圖所示：在此圖中，第1象限中的第1和第2段折線斜率相同，所以構(gòu)成一條直線。同樣，在第3象限中

17、的第1和第2段折線斜率也相同，并且和第1象限中的斜率相同。所以，這4段折線構(gòu)成了一條直線。因此，共有13段折線，故稱(chēng)13折線壓縮特性。圖9-13 13折線壓縮特性13折線特性和A律特性之間的誤差為了方便起見(jiàn)，僅在折線的各轉(zhuǎn)折點(diǎn)和端點(diǎn)上比較這兩條曲線的座標(biāo)值。各轉(zhuǎn)折點(diǎn)的縱坐標(biāo)y值是已知的，即分別為0, 1/8, 2/8, 3/8, , 1。對(duì)于A律壓縮曲線，當(dāng)采用的A值等于87.6時(shí)，其切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1等于： （9-17）將此x1值代入y1的表示式，就可以求出此切點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1：（9-18）這表明，A律曲線的直線段在座標(biāo)原點(diǎn)和此切點(diǎn)之間，即(0, 0)和(0.0114, 0.183)之間。所以，

18、此直線的方程可以寫(xiě)為：（9-19）13折線的第1個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)縱坐標(biāo)y = 1/8 = 0.125，它小于y1，故此點(diǎn)位于A律的直線段，按上式即可求出相應(yīng)的x值為1/128。當(dāng)y > 0.183時(shí)，應(yīng)按A律對(duì)數(shù)曲線段的公式計(jì)算x值。此時(shí)，由下式可以推出x的表示式： （9-20） 按照上式可以求出在此曲線段中對(duì)應(yīng)各轉(zhuǎn)折點(diǎn)縱坐標(biāo)y的橫坐標(biāo)值。當(dāng)用A = 87.6代入上式時(shí)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表 從表中看出，13折線法和A = 87.6時(shí)的A律壓縮法十分接近。m壓縮律和15折線壓縮特性在A律中，選用A等于87.6有兩個(gè)目的： 1）使曲線在原點(diǎn)附近的斜率等于16，使16段折線簡(jiǎn)化成僅有13段； 2）使在13

19、折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)上A律曲線的橫坐標(biāo)x值接近1/2i (i = 0, 1, 2, , 7)，如上表所示。若僅為滿足第二個(gè)目的，則可以選用更恰當(dāng)?shù)腁值。由上表可見(jiàn)，當(dāng)僅要求滿足x = 1/2i時(shí)，y = 1 i/8，則將此條件代入式（9-21）得到： 因此，求出將此A值代入下式，得到：（9-22）若按上式計(jì)算，當(dāng)x = 0時(shí)，y ® - ¥；當(dāng)y = 0時(shí)，x = 1/28。而我們的要求是當(dāng)x = 0時(shí)，y = 0，以及當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1。為此，需要對(duì)上式作一些修正。在m律中，修正后的表示式如下： （9-23）由上式可以看出，它滿足當(dāng)x = 0時(shí)，y = 0；當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1。但是，在其他點(diǎn)上自然存在一些誤差。不過(guò)，只在小電壓(x < 1/128)時(shí)，才有稍大誤差。通常用參數(shù)m表示上式中的常數(shù)255。這樣，上式變成： （9-24）這就是美國(guó)等地采用的m壓縮律的特性。由于m律同樣不易用電子線路準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)，所以目前實(shí)用中是采用特性近似的1