【教育資料】第三章(2.2)學(xué)習(xí)精品

1、教育資源2.2建立概率模型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)需要會(huì)建立合理的概率模型，解決一些實(shí)際問題(重點(diǎn)).2.理解 概率模型的特點(diǎn)及應(yīng)用(重、難點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P134 137完成下列問題：知識(shí)點(diǎn)古典概率模型1 .在建立概率模型時(shí)，把什么看作是一個(gè)基本事件(即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果)是人為規(guī)定 的，如果每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn) ，只要基本事件的個(gè)數(shù)是化_ 限的,并且它們的發(fā)生是等可能的，就是一個(gè)古典概型.2 .從不同的角度去考慮一個(gè)實(shí)際問題 ,可以將問題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來解 決，而所得到的古典概型的所有可能結(jié)果越少,問題的解決就變得越簡單.3 .在求古典概型的概率時(shí),我們往往要列舉基本事件,樹狀圖法

2、是講行列舉的一 種常用方法.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打，錯(cuò)誤的打X) (1) “在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，具基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”&正一反“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能 事件()從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于古典概型()(4)在古典概型中，如果事件 A中基本事件構(gòu)成集合 A,且集合A中的元素個(gè)數(shù)所有的基本事件構(gòu)成集合I,且集合I中元素個(gè)數(shù)為m,則事件A的概率)(1)X (2)X (3)X (4)，題型一 用樹狀圖求概率【例11甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成一排，試求下列事件的

3、概率：（1）甲在邊上；甲和乙都在邊上；（3）甲和乙都不在邊上.解 利用樹狀圖來列舉基本事件，如圖所示.由樹狀圖可看出共有24個(gè)基本事件.（1）甲在邊上有12種情形：（甲，乙，丙，?。?，（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，?。?，（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲）. 12 1故甲在邊上的概率為p=24= 2.（2）甲和乙都在邊上有4種情形：（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，4 1丁，甲），（乙，丁，丙，甲）,故甲和乙都在邊上的概率為 P =

4、24 = 6.（3）甲和乙都不在邊上，有4種情形：（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，?。?，（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），4 1故甲和乙都不在邊上的概率為 p= 24=q-規(guī)律方法 對(duì)于一些比較復(fù)雜的古典概型問題， 一般可以通過分類，有序地把事件包含的情況分別羅列出來，從而清晰地找出滿足條件的情況，在列舉時(shí)一定要注意合理分類，才能做到不重不漏，結(jié)果明了，而樹狀圖則是解決此類問題的較好方法.【訓(xùn)練11 甲、乙兩同學(xué)下棋，勝一盤得2分，和一盤各得1分，負(fù)一盤得0 分.連下三盤，得分多者為勝，求甲獲勝的概率.解 每盤棋都有勝、和、負(fù)三種情況，三盤棋共有 27種情況.設(shè)“甲獲勝”為事 件A,甲

5、獲勝的情況有：三盤都勝，得6分有1種情況，兩勝一和得5分有3種 情況，兩勝一負(fù)得4分有3種情況，一勝兩和得4分有3種情況，共10種情況. ,10故甲獲勝的概率為P(A) = 27.題型二由列表法求概率【例2】 某乒乓球隊(duì)有男乒乓球運(yùn)動(dòng)員 4名、女乒乓球運(yùn)動(dòng)員3名，現(xiàn)要選一 男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成混合雙打組合參加某項(xiàng)比賽，試列出全部可能的結(jié)果；若 某女乒乓球運(yùn)動(dòng)員為國家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員，則她參賽的概率是多少？解由于男運(yùn)動(dòng)員從4人中任意選取，女運(yùn)動(dòng)員從3人中任意選取，為了得到試驗(yàn)的全部結(jié)果，我們?cè)O(shè)男運(yùn)動(dòng)員為A, B, C, D,女運(yùn)動(dòng)員為1,2,3,我們可以用一個(gè)“有序數(shù)對(duì)”來表示隨機(jī)選取的結(jié)果.如(A,

6、1)表示：第一次隨機(jī)選取從男 運(yùn)動(dòng)員中選取的是男運(yùn)動(dòng)員 A,從女運(yùn)動(dòng)員中選取的是女運(yùn)動(dòng)員 1,可用列表法 列出所有可能的結(jié)果.如下表所示，設(shè)“國家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員參賽”為事件E.由上表可知，可能的結(jié)果總數(shù)是12個(gè).設(shè)女運(yùn)動(dòng)員1為國家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員，她參賽4 1的可能事件有4個(gè)，故她參賽的概率為P(E) = =".12 3規(guī)律方法 列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易漏掉，對(duì)于試驗(yàn)的結(jié)果不是太多的 情況，都可以采用此方法.【訓(xùn)練2】在一次數(shù)學(xué)研究性實(shí)踐活動(dòng)中，興趣小組做了兩個(gè)均勻的正方體玩具，組長同時(shí)拋擲2個(gè)均勻的正方體玩具(各個(gè)面上分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、 5、6)后,讓小組成員求：(1)兩個(gè)正

7、方體朝上一面數(shù)字相同的概率是多少？(2)兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是多少？解 兩個(gè)玩具正面向上的情況如下表：i23456i(i,i)(121(i,3)(U)(i,5)(i6)2(2,i)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,i)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4i)(42)(4J)(4,5)(4,6)5(5,i)(5J)(5,3)(5J)(5,5)(56)6(6i)(6J)(6J)(6J)(65)(66)事件“兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字相同的情況”只有6種，故它的概率是36=1.36 6事件“兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的情況 ”有27種，

8、如表中有下劃 27 3線的情況，即兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為27=3.36 4【探究11 從含有兩件正品ai,a2和一件次品bi的三件產(chǎn)品中，每次任取一件， 每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.解 每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 6 個(gè)，即(ai, a2), (ai, bi), (a2, ai), (a2, bi), (bi, ai), (bi, a2).其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第i次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.總的事件個(gè)數(shù)為6,而且可以認(rèn)為這些基本事件是等可能的.用A表示“取出的兩件中恰有

9、一件次品”這一事件，所以A=(ai, bi), (a2, bi),(bi, ai), (bi, a2).因?yàn)槭录嗀由4個(gè)基本事件組成，所以 P(A) = 6 = 2. 6 3【探究2】一個(gè)盒子里裝有完全相同的四個(gè)小球，分別標(biāo)上i,2,3,4這4個(gè)數(shù)字, 今隨機(jī)地抽取兩個(gè)小球，如果：(i)小球是不放回的；(2)小球是有放回的.求兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.解 設(shè)事件A:兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù) 則事件A包括的基本事件有(1,2), (2,3), (3,4), (4,3), (3,2), (2,1)共6個(gè).不放回取球時(shí)，基本事件有(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2

10、,3), (2,4), (3,1), (3,2),(3,4), (4,1), (4,2), (4,3)共 12 種.故 p(a)=12=2.有放回取球時(shí)，基本事件有(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)共 16種.故00=16=3.【探究3】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為 m,將

11、球放回袋中，然后再從袋中隨 機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為 n,求n<m+2的概率.解(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和 3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè).從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2個(gè)，因此 2 1所求事件的概率為P = 6=3.(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為 m,放回后，再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球， 記下編號(hào)為 n,其一切可能的結(jié)果(m, n)有(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)

12、, (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),共 16 個(gè).又滿足條件n>m+2的事件有(1,3), (1,4), (2,4),共3個(gè). 3所以滿足條件n>m+2的事件的概率為P1 = 16.故滿足條件n<m+2的事件的概率為1 P1=1 = 13.規(guī)律方法“有放回”與“不放回”問題的區(qū)別在于：對(duì)于某一試驗(yàn)，若采用“有放回”抽樣，則同一個(gè)個(gè)體可能被重復(fù)抽取，而采用“不放回”抽樣，則同 一個(gè)個(gè)體不可能被重復(fù)抽取.課堂達(dá)標(biāo)1 .從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，其中甲不被選中的概率 為()1B.3D.41A.4C.2解析 基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁

13、，乙丙丁共4個(gè).甲不被選中的事件教育資源1為乙丙丁，.p=4.答案 a2 .一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲,讓孩子把分別寫有“1” “3”的四張“4” 卡片隨機(jī)排成一行,若卡片按從左到右的順序排成 “1314；則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為()B會(huì)B.121A.125D.6解析 由題意知，基本事件個(gè)數(shù)有12個(gè)，滿足條件的基本事件就一個(gè)，故所求、，1概率為P=12.答案 A3 .甲乙兩人隨意入住兩間空房,則兩人各住一間房的概率是 .解析設(shè)兩間房分別為 A, B,則基本事件有(A, A), (A, B), (B, A), (B, B)共計(jì)4種，則兩人各住一間房包含(A, B),

14、 (B, A)兩個(gè)基本事件，故兩人各住一、一,一，1間房的概率為2.1答案24.三張卡片上分別寫上字母E, E, B.將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為.解析 三張卡片的排列方法有 EEB, EBE, BEE共3種，則恰好排成英文單詞BEE的概率為1.31答案135.從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a 的概率為.解析 設(shè)Q= (a, b)|ae1,2,3,4,5 , bqi,2,3,包含的基本事件總數(shù)n=15,事件b>a”為(1,2), (1,3), (2,3),包含的基本事件數(shù)m=3.其概率P=L15 5課堂

15、小結(jié)1 .建立概率模型的要求：把什么看作是一個(gè)基本事件(即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果)是人為規(guī) 定的，它要求每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn) .2 .建立概率模型的作用：一方面，對(duì)于同一個(gè)實(shí)際問題，我們有時(shí)可以通過建立 不同的“模型”來解決，即“一題多解”，在這“多解”的方法中，再尋求較為“簡捷”的解法；另一方面，我們又可以用同一種“模型”去解決很多“不同” 的問題，即“多題一解”.3 .建立概率模型的一般原則：建立概率模型時(shí)，注意選擇恰當(dāng)?shù)挠^察角度，把問 題轉(zhuǎn)化為易于解決的古典概型.基礎(chǔ)過關(guān)1 .在6瓶飲料中，有2瓶已過了保質(zhì)期，從中任取2瓶，取到的全是已過保質(zhì)期 的飲料的概率為()1D.30A.1

16、31 C.15 解析 設(shè)過保質(zhì)期的2瓶記為a、b,沒過保質(zhì)期的4瓶用1、2、3、4表示，試 驗(yàn)的結(jié)果為1由圖可知試驗(yàn)可能的結(jié)果數(shù)是15,2瓶都過保質(zhì)期的結(jié)果只有1個(gè)，.甲=卷.答案 C，則摸出的兩個(gè)小球中恰2 .從裝有兩個(gè)白球和一個(gè)紅球的袋中不放回地摸兩個(gè)球有一個(gè)紅球的概率為（）A.13解析 不放回地摸出兩球共有3種情況，即（白1,紅），（白2,紅），（白1,白 2）,而恰有一個(gè)紅球的結(jié)果有2種.所以P=2.答案 B3 .從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是（）1 1A"B"2 3D.解析基本事件的總數(shù)為6,構(gòu)成”取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)

17、值為2”這個(gè)事件的基本事件的個(gè)數(shù)為 2, 一 一 2 1 一，所以所求概率P=2=1,故選B. 6 3答案 B4 .在五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下的兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的 概率是.解析 在五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下的兩個(gè)數(shù)字有10種可能的結(jié)果：1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5, 4,5,其中兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)包含3個(gè)結(jié)果：1,3 , 1,5 , 3,5,故所求的概 率為4.3答案1305 .已知x, yC0,1,2,3,4,5 , P(x, y)是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),則點(diǎn)P在x

18、軸上方的概 率為.解析 方法一 把點(diǎn)P的所有情況列舉出來(0,0),，(0,5),，(5,0), ,(5,5),共可構(gòu)成36個(gè)點(diǎn)，其中在x軸上方的點(diǎn)有30個(gè). 305所以點(diǎn)p在x軸上萬的概率為36=g.方法二 由于點(diǎn)P與x軸的位置關(guān)系只與縱坐標(biāo)y有關(guān)，因此，只考慮縱坐標(biāo)y, 有6種結(jié)果，即0,1,2,3,4,5其中5種在x軸上方，即1,2,3,4,5.5所以點(diǎn)p在x軸上萬的概率為6. 5答案66 .盒中有3只燈泡，其中2只是正品，1只是次品.(1)從中取出1只，然后放回，再取1只，求：連續(xù)2次取出的都是正品所包 含的基本事件總數(shù)；兩次取出的一個(gè)為正品，一個(gè)為次品所包含的基本事件總數(shù)；從中一次任

19、取2只，求2只都是正品的概率.解(1)將燈泡中2只正品記為ai, a2,1只次品記為bi,則第一次取1只，第二次取 1 只，基本事件為(ai, ai), (ai, m), (ai, bi), (m, ai), (a2, m), (a2, bi), (bi, ai), (bi, a2), (bi, bi),共 9 個(gè).連續(xù)2次取出的都是正品所包含的基本事件為(ai, ai), (ai, m), (a2, ai), (a2, a2),共4個(gè)；兩次取出的一個(gè)為正品，一個(gè)為次品所包含的基本事件為(ai, bi), (a2, bi),(bi, ai), (bi, a2),共 4 個(gè).從中一次任取2只得到

20、的基本事件總數(shù)是3,即aia2, aibi, a2bi,2只都是正品 I的基本事件數(shù)是I,所以其概率為P=-37 .四條線段的長度分別是i,3,5,7,從這四條線段中任取三條，求所取出的三條線 段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是.解 從四條長度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該問題屬于古典概型.又所有基本事件包括(i,3,5), (i,3,7), (i,5,7), (3,5,7)共四種,其I中能構(gòu)成三角形的有(3,5,7)一種，故概率為P = 4.能力提升8 .從分別寫有A, B, C, D, E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母恰 好按字母順序相鄰的概率是()IA.525C

21、.i0D.i0解析 從5張卡片中任取2張有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共I0種結(jié)果，而恰好按字母順序相鄰的有 AB、BC、CD、DE 4種結(jié)果，故4 2此事件的概率為75=三.10 5答案 B9.從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩 形的概率等于()A 1clA.ioB.8解析 假設(shè)正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F,則從6個(gè)頂點(diǎn)中任 取4個(gè)頂點(diǎn)共有15種結(jié)果，以所取4個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形有 3種結(jié)果,一，1故所求概率為-.5答案 D10 .從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這 5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不 小于該正方形邊長的概率為()1A.54D.53C.5 解析 取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有 6種,概率為磊=3.故選C.