應用數(shù)理統(tǒng)計

1、概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計的基本內(nèi)容：數(shù)理統(tǒng)計的基本內(nèi)容：1、試驗設計：設計有效地獲得數(shù)據(jù)的方法，如正交、試驗設計：設計有效地獲得數(shù)據(jù)的方法，如正交設計（第六章）設計（第六章）2、統(tǒng)計和推斷：靠抽驗得到的數(shù)據(jù)來推斷整體的情、統(tǒng)計和推斷：靠抽驗得到的數(shù)據(jù)來推斷整體的情況，包括參數(shù)估計（第二章），假設檢驗（第三章）況，包括參數(shù)估計（第二章），假設檢驗（第三章）3、研究應用統(tǒng)計推斷中的基本原理，研究處理線性、研究應用統(tǒng)計推斷中的基本原理，研究處理線性模型中的某些問題的方法，如回歸分析（第四章），模型中的某些問題的方法，如回歸分析（第四章），方差分析（第五章）方差分析（第五章）概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計一、總體與

2、樣本一、總體與樣本總體：總體：是指對某一問題的研究對象的全體是指對某一問題的研究對象的全體. 亦稱母體。亦稱母體。在數(shù)理統(tǒng)計中，總體就是具有確定分布的隨機變量。在數(shù)理統(tǒng)計中，總體就是具有確定分布的隨機變量。所以總體通常表示為隨機變量的概率分布所以總體通常表示為隨機變量的概率分布F(x) 或概率或概率密度密度 f(x)。個體：個體：組成總體的每個研究對象。組成總體的每個研究對象。 一個個體是隨機變量的一次觀測值。一個個體是隨機變量的一次觀測值。 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計樣本：樣本：從總體中從總體中隨機抽取隨機抽取的若干個個體。的若干個個體。樣本中個體的個數(shù)叫做

3、樣本大小或樣本容量。樣本中個體的個數(shù)叫做樣本大小或樣本容量。樣本中的個體稱為樣本中的個體稱為樣品樣品。注：樣本大小為注：樣本大小為n n 的樣本可以看成是一個的樣本可以看成是一個n n維隨機維隨機向量向量( (X1, , Xn) )。簡單隨機樣本簡單隨機樣本( (X1, , Xn) ) ：X1, Xn相互獨立，并相互獨立，并與總體與總體X具有具有相同的分布函數(shù)具有具有相同的分布函數(shù)F，簡稱簡稱樣本。樣本。 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計樣本值與樣本空間：樣本值與樣本空間：樣本樣本( (X1, , Xn) )每次抽樣得到每次抽樣得到的觀察值的觀察值(x1, xn)

4、稱為稱為樣本值樣本值，樣本值的集合稱為，樣本值的集合稱為樣本空間樣本空間。樣本的聯(lián)合概率分布與密度：樣本的聯(lián)合概率分布與密度：niinniinxfxxfxFxxF1111,數(shù)理統(tǒng)計的任務數(shù)理統(tǒng)計的任務由樣本由樣本推斷總體推斷總體 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計二、經(jīng)驗分布與理論分布二、經(jīng)驗分布與理論分布 理論分布總體分布理論分布總體分布 經(jīng)驗分布樣本分布經(jīng)驗分布樣本分布經(jīng)驗分布的構建：經(jīng)驗分布的構建：將樣本將樣本( (X1, , Xn) )的的n 個觀察值個觀察值x1, xn 由小到大排列為，由小到大排列為， ，則相應的，則相應的樣本分布為樣本分布為1*,nxx

5、xxxxxnkxxxFnkkn*,1011 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計經(jīng)驗分布與經(jīng)驗分布與理論分布理論分布的關系（的關系（Glivenko定理）：定理）： 經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布Fn(x) 以概率以概率1關于關于x 一致收斂到一致收斂到 理論分布理論分布F(x)，即，即 10 xFxFPnxnsuplim 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計三、統(tǒng)計量三、統(tǒng)計量 定義：設定義：設X1, , Xn是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本, 稱不包含稱不包含參數(shù)的實值函數(shù)參數(shù)的實值函數(shù) T(X1, , Xn) 是一個是一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量. 統(tǒng)計量

6、是一個隨機變量。如：統(tǒng)計量是一個隨機變量。如： 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念樣本均值樣本均值 niiXnX11樣本方差樣本方差 niiXXnS122)(11概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計,2111kXnMnikik樣本標準差樣本標準差 niiXXnSS122)(11樣本樣本k階階(原點原點)矩矩樣本樣本k階中心矩階中心矩,)(2111kXXnMnikik 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念四、樣本矩四、樣本矩樣本二階中心矩樣本二階中心矩niiXXnSM12221)(概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計 1-2 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念注：注：樣本二階中心矩與樣本方差的區(qū)別：樣本二階中心矩與

7、樣本方差的區(qū)別：221SnnS樣本矩與總體矩之間的關系：樣本矩與總體矩之間的關系：只要總體的只要總體的r階矩存在，則樣本小于等于階矩存在，則樣本小于等于r的的各階矩依概率收斂到總體的各階矩。各階矩依概率收斂到總體的各階矩。概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)計量的分布統(tǒng)計量的分布.幾種常用的統(tǒng)計統(tǒng)計分布幾種常用的統(tǒng)計統(tǒng)計分布(一一) 分布分布2 設設X1, , Xn是來自總體是來自總體N(0, 1)的樣的樣本本, 則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量服從自由度為服從自由度為n的的 分布分布. 記為記為 . 222212nXXX 2 )(22n 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計分布的概率密度為分布的概率

8、密度為2 其它, 00,)2/(21);(2/122/2xexnnxxnn 0f (x)yn=1n=5n=15 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)：2 1-3 抽樣分布抽樣分布nDnE2,22 性質(zhì)性質(zhì)1：設：設 ，則，則)(22n 性質(zhì)性質(zhì)2：設：設 ，則，則)(, )(222121nXnX )(21221nnXX 概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計(二二) t分布分布設設XN(0, 1), , 并且并且X, Y獨立獨立,則稱隨機變量則稱隨機變量服從自由度為服從自由度為n的的t分布分布. 記為記為t t(n). nYXt/ )(2nY 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計t分布

9、的概率密度為分布的概率密度為tnxnnnnxtn,1)2/(2/ )1();(2/ )1(2 0h(t)tn=1n=10n=(正態(tài)正態(tài)) 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計T 分布的特點分布的特點：1、其概率密度函數(shù)是偶函數(shù)。當、其概率密度函數(shù)是偶函數(shù)。當n30時，時， t 分分布與標準正態(tài)分布非常接近；當布與標準正態(tài)分布非常接近；當n 趨于無窮大趨于無窮大時，時，t 分布趨于標準正態(tài)分布。分布趨于標準正態(tài)分布。2、t 分布的尾重比正態(tài)分布大。分布的尾重比正態(tài)分布大。3、t 分布只存在分布只存在kn階矩。階矩。 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計(三三) F分布分布設設 , , 并

10、且并且X, Y相互獨立相互獨立, 則稱隨機變量則稱隨機變量服從自由度為服從自由度為(m,n)的的F分布分布. 記為記為F F(m, n). nYmXF/)(2nY )(2mX 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計0(y)yF分布的概率密度為分布的概率密度為122212200,( ;, ),mm nmnmmmxxmng x m nnnnx 其其它它n1=10, n2=25n1=10, n2=5 1-3 抽樣分布抽樣分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計 1-3 抽樣分布抽樣分布分位數(shù)分位數(shù)1、p分位數(shù)：設分位數(shù)：設0p )=, 則稱則稱是是X的上側分位的上側分位數(shù)，即數(shù)，即1- 分位數(shù)分位數(shù)。3、雙側分位數(shù)：

11、若存在、雙側分位數(shù)：若存在1，2，使得，使得p(X 1)=/2，p(X 2)=/2, 則稱則稱1，2是是X的雙側分位數(shù)。的雙側分位數(shù)。概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計Th3.6 設設X N(,2) , X1, , Xn是是X 的一個樣本，的一個樣本， 則則 隨機變量隨機變量 服從正態(tài)分布：服從正態(tài)分布： niiiXdU1niiniiddaNU1221, 1-3 抽樣分布抽樣分布推論推論 正態(tài)總體正態(tài)總體N(,2) 的樣本均值的樣本均值2,Nn niiXnX11正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計)1(1)1(212222nXXSnnii Th3.7 設設X1,

12、, Xn是總體是總體N(a,2)的樣本的樣本, , S2 分分 別是樣本均值和樣本方差別是樣本均值和樣本方差, 則有則有 與與 S2相互獨立，相互獨立， 并且并且X 1-3 抽樣分布抽樣分布X注：注：Th3.7可用于單個正態(tài)總體的方差檢驗?？捎糜趩蝹€正態(tài)總體的方差檢驗。概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計).1(/ntnSaXTTh3.8 設設X1, X2, , Xn是總體是總體N(,2)的樣本的樣本, , S2 分別是樣本均值和樣本方差分別是樣本均值和樣本方差, 則有則有 X 1-3 抽樣分布抽樣分布注：注：Th3.8可用于方差未知時單個正態(tài)總體的均可用于方差未知時單個正態(tài)總體的均值檢驗。值檢驗。概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計)2(211)()(222121nmtnmnmmnSnSmaaYXnm Th3.9 設設X1, , Xm 與與Y1, , Yn 分別是來自正態(tài)總體分別是來自正態(tài)總體N(a1,2), N(a2,2)的樣本的樣本, 且這兩個樣本相互獨立，則且這兩個樣本相互獨立，則 1-3 抽樣分布抽樣分布,)(111221miimXXmSniinYYnS1222)(11其中其中注：注：Th3.9可用于方差未知但相等時兩個正態(tài)總可用于方