IIR數(shù)字濾波器設計及其MATLAB實現(xiàn)

1、IIR數(shù)字濾波器設計及其MATLAB實現(xiàn)HR數(shù)字濾波器設計及其MATLAB實現(xiàn)摘要：IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等。在 設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的設計方法設計一個滿足數(shù)字濾波器指標的模擬濾波器，然后通過一定的變換，將模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器。本文介紹了IIR數(shù)字濾波器設計，主要分析了其在滿足上述要求下的工程方法，沖激響應不變法和雙線性變換法。通過理論與實踐的分析對比，表明了兩種方法的優(yōu)弊端。關鍵詞：IIR數(shù)字濾波器；MATLAB沖激響應不變法；雙線性變換法IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波

2、器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)有了相當成熟的技術 和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數(shù)字濾 波器可以充分利用這些豐富的資源 來進行。對于IIR數(shù)字濾波器的設計具體步驟：按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器G(s) (G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。再按照一定的規(guī)則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)).下面從原理分析在到實踐來分析設計用沖激響應不變法和雙線性變換法來設計IIR數(shù)字濾波器的過程。2原理分析我們書本上重點介紹了巴特沃斯低通濾波器的設計，但巴特沃斯濾波器的頻

3、率特性無論在通帶還是在阻帶 豆歲頻率而單調變化，因此，如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就是超過指標的要求， 因而并不經(jīng)濟。所以，更有效果的辦法是將指標的精度要求歐均勻地分布在通帶內，或均勻分布在阻帶內，或同 時均勻分布在通帶與阻帶內。這樣在同樣通帶，阻帶性能要求下，就可以設計出階數(shù)較低的濾波器。下面分析典 型的濾波器-切比雪夫1。1.1 切比雪夫1低通濾波器的原理1就是一種。切比雪夫1設計IIR濾波器的基礎是設計模擬濾波器的原型，其中切比雪夫 低通濾2 2CN ()波動幅度也愈大。cry 毛h yr XT R/S波器的原理：幅度平方函數(shù)為A2( ) Ha(j1式中，

4、3;為小于1的正數(shù)，表示通帶內幅度波動的程度，£愈大,Q P稱為通帶截止頻率。令入=Q/Q P,稱為對Q p的歸一化頻率。 切比雪夫多項式，定義為-chxV'f，ch (N Archx), X 1切比雪夫的特性：(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|< 1的范圍內；當x|Q時，|CN(x) |w 1,在|x|l范 圍內具有等波紋性；(3)當|X|>1時，CN(X)是雙曲線函數(shù)，隨X單調上升。Matlab信號工具箱提供了幾個直接設計IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調用這些函數(shù)就可以很方便地對濾波器進行設計。他們?yōu)閏hebla p, cheblord, chebyl.2。

5、2沖激響應不變法顧名思義，所謂沖激響應不變法，就是使離散時間系統(tǒng)的沖激響應等于連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應的抽樣值，即（1）這樣，如果連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應為9/51/5尸1則根據(jù)式子（1）,離散時間系統(tǒng)的沖激響應就等于2）中，Pi是系統(tǒng)函數(shù)的極點，或者系統(tǒng)都是由式子（2）可得連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可見，在（微分方程的特征根。這里，我們假設其值為r （ 3）3 A廳二2 IY 忑.根據(jù)s平面和軸將映射成z平面上的單位園；而左半Pi 一階極點，而A i是與每個極點相對應的系數(shù),.而從式子（3）可求得離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)z平面之間的映射關系芝可知：s平面上的js平面將映射為單位園內部分；右半s平面將映射

6、為單位園外部分，如圖Z6.1所示。而且，從連續(xù)時間頻率到離散時間頻率是一個多值映射。根據(jù)這種映射關系可知，左半S平面上的極點將映射到Z平面上的單位園內，由此而可得到一個基本結論，即沖激響應不變法可以將一個穩(wěn)定的連續(xù)時間系統(tǒng)轉換為一個穩(wěn)定的離散時間系 統(tǒng)。此外，由于可以將離散時間系統(tǒng)的沖激響應看作是連續(xù)時間系統(tǒng)的抽樣，于是，根據(jù)抽樣定理和 連續(xù)時間頻率與離散時間頻率之間的關系，可以求得離散時間系統(tǒng)的頻率響應和述關系 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應滿足1. fc=-tn TT則轉換為離散時間系統(tǒng)后將出此式表明，如果連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率特性不是一個限帶頻譜, 現(xiàn)頻譜混疊，從s平而到z平面的映射來看，多值映射是

7、造成頻譜混疊的原因。2. 3雙線性變換法雙線性變換法是在沖激響應不變法的基礎上采用不同的變換，分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；第二步：通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。為了將s平面的j Q軸壓縮到si平面j Q軸上的 一段上，可通過以下的正切變T To經(jīng)過這樣的頻率變，當Q 1由時，Q由，即映射了整個jQ軸。將這一解析關系延拓至整個s平面，則得到S平面平面的映射關系Si平面通過標準變換關系映射到z平面，即單值映2 I-八s' =r射關系，令壬二矽最后得S平而與Z平面的關系稱為雙線性變換1(門 2)53目標分析沖激響應不變法是一種簡單的轉換方法，它可

8、以將一個穩(wěn)定的連續(xù)時間系統(tǒng)轉換為一個穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)，而且可以使離散時間系統(tǒng)的沖激響應形狀和連續(xù)時間系統(tǒng)相同，但是，由于連續(xù)時間系統(tǒng)的 頻率響應往往不是限帶頻譜，因此，這種方法存在著頻譜混疊的現(xiàn)象。這種混疊將造成頻譜高端的嚴重失真， 從而使得這種方法只適用于低通濾波器或者頻譜限帶的高通或帶通。與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：靠頻率的嚴重非線性關系得到面與z平面的單值 對應關系， 整個j Q軸單值對應于單位圓一周，這個關系就是璜近于綴i表示的，其中 .八八.3和Q為非線性關系。如圖圖中看到，在零頻率附近，Q3性關系，Q進一步增加時，3增長變得緩慢，(3終止于折疊頻率處)，所以雙線性

9、變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。雙線性變換法的缺點：Q與3的非線性關系，導致數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發(fā)生畸變下面通過實例來分析兩種方法設計IIR 低通濾波器。4實例分析設計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2 n rad時，允許幅度誤差在ldB以內，在頻率0. 3 n rad到n rad之間的阻帶衰減大于15dB。用脈沖響應不變法 設計數(shù)字濾波器。T= lo ,要求利用-切比雪夫濾波器原型來設計IIR低通濾波器。需要對信號做頻譜分析，為了簡便對比，對信號進行頻譜分析時，這里統(tǒng)一采

10、用無綱量的歸一化頻率單位，即模擬頻率 對采樣頻率歸一化；模擬角頻率對采樣角頻率歸一化；數(shù)字頻率對2n歸一化。方法步驟先將技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標，再求出階數(shù)n,查表，得出模擬低通濾波器G(s),按一定規(guī)則G(s)轉換成H(z),并作出頻譜分析的圖像，利用MATLA取現(xiàn)上述分析過程的程序如下：沖激響應不變法： wp=0.2* pi;wr=0. 3* pi;A p=l;Ar=15; T=1;Omega p=wp/T;Omegar=wr/T; cs, ds=afd_chbl (Omeg ap, 0 me gar, A p, Aij % 切比雪夫 1 型C, B, A =sdir2cas

11、 (cs, ds) ; % 模擬濾波器級聯(lián)型 db, mag, pha, Omega =freqs_m(cs, ds, pi) ; %模擬濾波器響應sub plot (224); plot(Omega/pi, mag); titleC模擬濾波器幅度響應Ha (j0mega *);脈沖響應不變法設計b, a=imp_i nvr (cs, ds, T) ; %數(shù)字低通濾波器并聯(lián)C, B, A=dir2 par (b, a) %db, mag, pha, w=freqz_m(b, a) ; % sub plot (2 sub 數(shù)字;慮波器響應plot (2 sub , 2, 1) ;plot (w/

12、pi, mag) ; titlePlot(2, 2, 2);plot(w/pi,db);titleC,2,數(shù)字濾波器幅度響應H(ejomega J);數(shù)字濾波器幅度響應(dB)')；數(shù)字濾波器相位響應，)；雙線性變換法wp=0.2* pi;wr=0. 3* pi;A p=l;Ar=15;T=1;Omega p= (2/T)*ta n(wp/2) ;0megar=(2/T)*ta n(wr/2) ; cs, ds=afd_chbl(Omeg ap, 0 megar, A p, Ar) % 切比雪夫原型C, B, A=sdir2cas (cs, ds) ; %模擬濾波器級聯(lián)型db, mag

13、, pha, Omega =freqs_m(cs, ds, pi) ; %模擬濾波器響應sub plot (224); plot(Omega/pi, mag);titlef模擬濾波器幅度響應b, a=bili near (cs, ds, T) ; %C, B, A =dir2cas (b, a) % db, mag, pha, w =freqz_m(b, a);subplot(2 ,2,1) ;plot (w/pi, mag) ; title(， subplot(2 ，2,Ha(j0mega ');雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器級聯(lián)型% 數(shù)字濾波器響應數(shù)字濾波器幅度響應|H(ejome

14、ga|');數(shù)字濾波器幅度響應(dB)物空油油哭如伶響應，.2) ;plot (w/pi, db) ; title subplot (2 23);plot(w/pi, pha/pi);title(， delta_w=2* pi/1000;Ap=-(mi n(db(l：1:w p/delta_w+l)Ar="rou nd(max(db(wr/delta_w+l:1:501)程序設計清晰，容易理解，脈沖響應不變法設計的切比雪夫1型數(shù)字濾波器，雙線性變換法設計的切比雪夫1型數(shù)字濾波器，運行結果如圖1,2。從結果圖像1中可以看到脈沖響應不變法設計會造成頻響的混疊，不宜用來設計高通，帶

15、阻濾波器，使用于基本上市限帶的濾波器，如低通和帶通濾 波器，當強調以控制時間響應為目的來設計濾波器，采用這種方法比較適合。從結果圖像2可以看到雙線性變換 法設計克服了頻響的混疊，但頻率變換關系不是線性的。5結束語本次課程設計是用脈沖響應不變法和雙線性不變法來設計IIR濾波器，認真閱讀數(shù)字信號處理課本的相關內容，但在設計的過程中遇到了一些問題，通 過查閱資料，對一些問題由了進一步的認識。本次課程設計不僅考察了我對專業(yè)知識的理解程度，也鍛煉了我 的動手能力，提高了自己的獨立思考問題，解決問題的能力，所以，整個過程我覺得學到不少東西。參考文獻:1錢同惠.數(shù)字信號處理M.機械工業(yè)出版社,2005叢玉 良王宏志數(shù)字信號處理原理及其MATLAB實現(xiàn)M.北京：電子工業(yè)出版社，2006董正宏【 周輝 數(shù)字信號處理基礎及MAATLA實現(xiàn)M中國林業(yè)出版社,2006234 樓順天 劉小東基于MATLAB勺系統(tǒng)分析與設'id一1一信號處理M.西安電子科技大學出版社,2005