第四章不定積分PPT課件

1、第四章 不定積分原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)） 原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)）原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)） 求原函數(shù)的運(yùn)算是求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算.應(yīng)用：應(yīng)用：(2) 求積分求積分. .(1) 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出原來的函數(shù)關(guān)系已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出原來的函數(shù)關(guān)系；二、二、 基本原函數(shù)表基本原函數(shù)表 三、原函數(shù)的性質(zhì)三、原函數(shù)的性質(zhì)一、一、 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念第一節(jié)原函數(shù)的概念與性質(zhì) 第四四章 原函數(shù)的定義：原函數(shù)的定義：一、原函數(shù)的概念一、原函數(shù)的概念.)()()()(（反反導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）原原函函數(shù)數(shù)的的在在該該區(qū)區(qū)間間上上對對是是，稱稱某某區(qū)區(qū)間間，如如果果對對于于xxfxFxfxFx )( xF)( xf

2、求導(dǎo)求導(dǎo)圖示：圖示：求反導(dǎo)求反導(dǎo)求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。因此要求一個函數(shù)的原函數(shù)，就是找另一個函因此要求一個函數(shù)的原函數(shù)，就是找另一個函數(shù)，使另一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于這個函數(shù)。數(shù)，使另一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于這個函數(shù)。例例1xxx2)(2 因為位移對時間的導(dǎo)數(shù)是速度，因為位移對時間的導(dǎo)數(shù)是速度，所以位移是速度對時間的原函數(shù)。所以位移是速度對時間的原函數(shù)。例例2.2 2的原函數(shù)的原函數(shù)對對是是xxx問題：問題：什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)？什么樣的函數(shù)具有原函數(shù)？連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f (x)一定有原函數(shù)一定有原函數(shù).因為初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，因為初等函數(shù)在定義區(qū)間上連

3、續(xù)，所以所以初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)。）（即（即 )( xadttf問題：問題：原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？的的原原函函數(shù)數(shù)，是是如如果果)()(xfxF也是。也是。則則CxF )().()()()(xfxGxfxG 的的原原函函數(shù)數(shù)，則則也也是是設(shè)設(shè))()(xFxG 0 )()( xFxGCxFxG )()(CxFxG )()( .)(相相差差一一個個常常數(shù)數(shù)的的任任何何兩兩個個原原函函數(shù)數(shù)至至多多xf)()(xfxF . )( )()()(的的形形式式為為的的所所有有原原函函數(shù)數(shù)可可以以表表示示的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則是是性性質(zhì)質(zhì)：如如果果CxFx

4、fxfxF .)( dxxf記作記作表示一族函數(shù)表示一族函數(shù)!任意常數(shù)任意常數(shù)CxFdxxf )()(yxo稱為稱為f (x)的積分曲線的積分曲線 CxFy )(的的形形式式。為為的的所所有有原原函函數(shù)數(shù)可可以以表表示示的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，因因此此是是積積分分分分的的符符號號表表示示是是因因為為注注：原原函函數(shù)數(shù)之之所所以以用用積積Cdttfxfxfdttfxaxa )()()()(：可可以以從從兩兩個個角角度度去去理理解解因因此此 dxxf)(.)( )1(反反導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的所所有有從從定定義義上上看看它它代代表表xf, )2(積積分分它它也也可可理理解解為為.)()(Cdttfdxxf

5、xa )()(xfdttfxxa .)( )(的不定積分的不定積分稱為稱為因此有些書將因此有些書將xfdxxf 綜上所述，綜上所述，原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)）也可以理解為原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)）也可以理解為積分函數(shù)積分函數(shù)。dx 1Cx 111 Cx dxx Cx 221 dtt Ct 221)1( Cx ln因為因為求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以可以把基本導(dǎo)數(shù)公式反過來得到基本所以可以把基本導(dǎo)數(shù)公式反過來得到基本的反導(dǎo)數(shù)公式。的反導(dǎo)數(shù)公式。例例1 1一般的一般的, ,dxx dxx 1dxx 1二、基本原函數(shù)（積分）表二、基本原函數(shù)（積分）表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是

6、常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdx2sec)8(;tanCx xdx2csc)9(;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsin)7(;cosCx 例例2 2 設(shè)曲線通過點設(shè)曲線通過點(1, 2)，且其上任一點處，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程曲線方程.解解: 設(shè)曲線方

7、程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy xdxy2由曲線通過點由曲線通過點(1, 2), 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xyyxo)2, 1 (Cx 2ox例例3. 質(zhì)點在距地面質(zhì)點在距地面0 x處以初速處以初速0v力力, 求它的運(yùn)動規(guī)律求它的運(yùn)動規(guī)律. 解解: 取質(zhì)點運(yùn)動軌跡為坐標(biāo)軸取質(zhì)點運(yùn)動軌跡為坐標(biāo)軸, 原點在地面原點在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質(zhì)點拋出時刻為質(zhì)點拋出時刻為,0t此時質(zhì)點位置為此時質(zhì)點位置為初速為初速為,0 x設(shè)時刻設(shè)時刻 t 質(zhì)點所在位置為質(zhì)點所在位置為, )(txx 則則)(ddtvtx(運(yùn)動速度運(yùn)

8、動速度)(加速度加速度).0v垂直上拋垂直上拋 , 不計阻不計阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx,ddgtv先求先求. )(tv,ddgtv由由知知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求運(yùn)動規(guī)律為于是所求運(yùn)動規(guī)律為00221)(xtvttxg由由)(ddtvtx,0vt g知知故故ox)0(0 xx )(txx 三、原函數(shù)的性質(zhì)三、原函數(shù)的性質(zhì) )(xf ).()(xfxF 只只要要證證,)()(CxFdxxf 要證要證Cxf )( d

9、xxgxf)()()2(;)()( dxxgdxxf證證:)()( dxxgdxxf)()( dxxgdxxf).()(xgxf dxxkf)()3(.)( dxxfk xdxxf)()1(是是非非零零常常數(shù)數(shù)）（k dxxf)(例例4 4 求求.)47(3dxxexx dxxdxedxxx1473原式原式xexxln47212 C 解解: :例例5.5. 求求.dtan2xx 解解: :xxd)1(sec2 原式原式 xxxddsec2.tanCxx 解解: :xxxd11)1(24 原式原式xxxxd11)1)(1(222 xxxd)111(22 Cxxx arctan313例例6 6.

10、. 求求.d124xxx 例例7 7 求求.2cos2 dxx dxx2cos1原式原式)cos1(21 xdxdx.)sin(21Cxx 說明：說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本原函數(shù)表恒等變形，才能使用基本原函數(shù)表.解解: : 注注：要判斷求原函數(shù)的結(jié)果是否正確，要判斷求原函數(shù)的結(jié)果是否正確，只要驗證結(jié)果的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)只要驗證結(jié)果的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù).若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則則)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是 ( ) .;cos)(xC.cos)(xD 解解: :xxfsin)( B xdxxfsin)(,cos1Cx xxfd)(.sin21CxCx 的所有原函數(shù)為的所有原函數(shù)為)(xf概念理解概念理解: 要點要點:原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義: :.)()()()(的的原原函函數(shù)數(shù)（反反導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）對對是是，稱稱如如果果xxfxFxfxF 求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算求原函數(shù)的運(yùn)算是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算. .的的理理解解： dxxf)(,)( )1(的的所所有有反反導(dǎo)導(dǎo)