將軍飲馬模型

1、將軍飲馬問題將軍飲馬問題 =軸對(duì)稱問題=最短距離問題（軸對(duì)稱是工具， 最短距離是題 眼）。 所謂軸對(duì)稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對(duì)稱。而最短距離 是題 眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。 比如題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)線段 a+b 這樣 的 條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍飲馬問題，然后 利用軸對(duì)稱解題 。1. 將軍飲馬故事 “將軍飲馬” 問題是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典題目， 主要轉(zhuǎn)化成“兩點(diǎn)之間線段最短問 題”原題： 如圖，一位將軍，從 A地出發(fā)，騎馬到河邊給馬飲水，然后再到 B地，問 怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使所走的路程最短？?A?B模型一：一條定直線，同側(cè)兩定點(diǎn)在直線 l 的同側(cè)有兩點(diǎn)

2、 A,B, 在 L 上求一點(diǎn) P，使得 PA+PB值最小。一般做法 ：作點(diǎn) A（B）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接 A 'B，A'B 與直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。 A' B即為最短距離 。理由 ：A'為 A 的對(duì)稱點(diǎn)，所以無論 P 在直線任何位置都能得到 AP=A'P。所以 PA+PB=PA'+PB。這樣問題就化成了求 A '到 B 的最短距離，直接相連就可 以了。例一：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線 L 上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為 M，同時(shí) 向新落成的 A、B兩個(gè)居民小區(qū)送電。 已知兩個(gè)居民小區(qū) A、B 分別到主干線的距 離 AA1=2千米， BB1=

3、1千米，且 A1B1=4千米。（1）如果居民小區(qū) A、B位于主干線 L的兩旁，如圖（ 1）所示，那么分支點(diǎn) M 在什么地方時(shí)總路線最短？最短線路的長(zhǎng)度是多少千米？（2）如果居民小區(qū) A、B位于主干線 L的同旁，如圖（ 2）所示，那么分支點(diǎn) M 在什么地方時(shí)總路線最短？此時(shí)分支點(diǎn) M與 A1 的距離是多少千米？模型二：一條定直線，一定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn) 如圖，已知直線 L 和定點(diǎn) A，在直線 K 上找一點(diǎn) M，在直線 L 上找一點(diǎn) P，使得 AP+PB值最小模型三：一定點(diǎn)，兩條定直線 如圖，在 OAB 內(nèi)有一點(diǎn) P，在 OA 和 OB 各找一個(gè)點(diǎn) M、N，使得 PMN周 長(zhǎng) 最短 （題 眼）。一般做法

4、：作點(diǎn) P 關(guān)于 OA 和 OB 的對(duì)稱點(diǎn) P1 、P2。連接 P1P2。P1P2 與 OA、OB 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。 P1P2 即為最短周長(zhǎng)。理由：對(duì)稱過后， PM=P1，MPN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N。+所MN以問題就化成了求 P1 到 P2 的最短距離，直接相連就可以 了。模型四：兩定點(diǎn)，兩條定直線如圖，點(diǎn) P，Q為 MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM，ON上做點(diǎn) A，B，是四邊形 PAQB 的周長(zhǎng)最小。練習(xí)題：1. 如圖，點(diǎn) P是 AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) M，N分別在 OA，OB上運(yùn)動(dòng)，若 AOB=30度，OP=4，則三角形周長(zhǎng)的最小值為多少。2. 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 8，M在 DC上，且 DM=，2 N是 AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值是多少？B3.如圖所示，在邊長(zhǎng)為 6的菱形 ABCD中,DAB=600，E為 AB的中點(diǎn)， F是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則 EF+BF的最小值是多少？4. 如圖， ABC 中， BC4，AC