二元一次方程組專題

1、二元一次方程組19知識結(jié)構(gòu)圖考點(diǎn)一：代入消元法將其中一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù) （最好在方程中系數(shù)為 1 或者-1 ）用另一個(gè) 未知數(shù)表示出來，再代入另一個(gè)方程中實(shí)現(xiàn)消元，從而轉(zhuǎn)化成一元一次方程 .例題 1.1 ：3x 5y 94x y 12變式 1.1 ：2x 5y 76x 4y 9變式 1.23x 2(3x y) 312x 3(3x y) 20考點(diǎn)二：加減消元法利用等式的性質(zhì)使方程組中兩個(gè)方程中的某一個(gè) 未知數(shù) 前的系數(shù)的絕對值 相等，然后把兩個(gè)方程相加或相減， 以消去這個(gè)未知數(shù)， 使方程只含有一個(gè)未知 數(shù)而得以求解。5x 2y 11a1)( a為已知數(shù) )4x 4y 6ax y x y 1變

2、式 2.1 ：( 1) 2 5 13(x y) 2(x y) 62)考點(diǎn)三：代入消元法與加減消元法的綜合利用先用加減消元法將方程化簡，再利用代入消元法例題 3，解下列方程組45x 33y 241)25x 37y 462) 132x 83y 10583 132y 110變式 3.1 ， 解下列方程組2018x 2020y 30002013x 2015y 3000(1)2) 1997x 1999y 39951999x 1997y 3997考點(diǎn)四：已知方程組的解求系數(shù)x例 4.1 （ 1）已知22是方程組13mx 2y 1 的解，則 m2n2 的值為4x ny 7 2y（2）若滿足方程組3x 2y

3、4的 x、y 的值相等，則 k kx (2k 1)y6變式 4.1 ：若方程組2x y 32kx (k 1)y的解互為相反數(shù)，則10k 的值為3x 4y 2變 式 4.2 若 方 程 組 b 與ax y 523x by 4 有 相 同 的 解 ， 則 a=2x y 5b=考點(diǎn)五：兩個(gè)方程 3 個(gè)未知數(shù)，求含未知數(shù)代數(shù)式的值 把其中一個(gè)未知數(shù)當(dāng)成已知數(shù)例題 5. 有鉛筆，圓珠筆，鋼筆三種學(xué)習(xí)用品，若購買鉛筆 3 支，圓珠筆 7 支，鋼筆 1 支共 需要 3.15 元，若購買鉛筆 4支，圓珠筆 10 支，鉛筆 1支共虛 4.2 元?，F(xiàn)購買鉛筆， 圓珠筆， 鋼筆，各一支共需要多少錢？6xy2z0變式

4、 5.1 已知( 其中 z3xy2802x0) 求 x2y2z的值.x 2y 3z 0 變式 5.2 ，已知 求 x: y:z 的值3x 4y 2z 0考點(diǎn)六：方程組有同解及看錯(cuò)系數(shù)問題 同解對方程組中每一個(gè)方程都成立， 看錯(cuò)解問題：將解代入系數(shù)未被看錯(cuò)的方程中，等式成立，求解出相關(guān)系數(shù)640x 20y n 3x y 8 例題 6.1 ，已知方程組 與方程組 求 m n 的值2x y 7 500x 489y m3x4y5(n8m)x8y 10有解，求 m+n的值5x6y95x(10m2n)y 9變式 6.1 ：關(guān)于 x,y 的方程組例題 6.2 甲、乙兩人解方程組4x by 1 x 2，甲因看

5、錯(cuò) a，解得，乙將其中一個(gè)方ax by 5 y 3x1程的 b 寫成了它的相反數(shù)，解得，求 a、b 的值y2ax 5y 15變式 6.2 ：甲、乙兩人共同解方程組, 由于甲看錯(cuò)了方程中的 a4x by2得到方程組的解為x 3 ；乙看錯(cuò)了方程中的 b ,得到方程組的解為x 5 。試計(jì)算 a2004200511 b 的y1y410值.考點(diǎn)七：方程組有解問題知識點(diǎn)總結(jié)： Ax B(1) 若方程有唯一解，則 A 0;(2) 若方程無解，則 A 0,B 0;(3) 若方程有無窮解則 A 0,B 0;若是二元一次方程組有無解問題，則先消元轉(zhuǎn)化成一元一次方程，再利用以上結(jié)論。2x y 1例題 7.1 (1)

6、關(guān)于 x、y 的二元一次方程組沒有解時(shí)， mmx 3y 22x y m(2)二元一次方程組有無數(shù)解，則 m=， n=x ny 3變式 7.1 ，已知關(guān)于 x,y 的方程組ax2x2y2(a1a1)y分別求出 a 為何值時(shí)31) 方程有唯一一組解2) 無解3) 有無窮多個(gè)解考點(diǎn)八，二元一次方程整數(shù)解問題例題 8.1 ，關(guān)于 x,y 的方程組的解為整數(shù)，且滿足： (3x 2y)(2x y) 5,求x, y的值變式 8.1 ，方程組 x y m 的解是正整數(shù)，試求整數(shù) m的值5x 3y 11變式 8.2 ，甲種書每本 3 元，乙種書每本 5 元， 38 元可買兩種書各幾本？考點(diǎn)九：二元一次方程組的應(yīng)

7、用（中考?？迹┰O(shè)未知數(shù)找等量關(guān)系 - 列方程組 解方程組 - 檢驗(yàn)例題 9.1. 某單位組織 34 人分別到井岡山和瑞金進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育 , 到井岡山的人數(shù)是到瑞 金的人數(shù)的 2倍多 1 人,求到兩地的人數(shù)各是多少 ?設(shè)到井岡山的人數(shù)為 x 人, 到瑞金的人數(shù) 為 y 人, 請列出滿足題意的方程組變式 9.1. 我國明代數(shù)學(xué)家程大位的名著直接算法統(tǒng)宗里有一道著名算題： “一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”意思是：有100個(gè)和尚分 100 個(gè)饅頭， 正好分完； 如果大和尚一人分 3個(gè)，小和尚 3人分一個(gè)， 試問大、 小和尚各幾人？設(shè)大、小和尚各有 x，y 人，則可

8、以列方程組例題 9.2 . 小華寫信給老家的爺爺 , 問候“八一”建軍節(jié) . 折疊長方形信紙、裝入標(biāo)準(zhǔn)信封時(shí) 發(fā)現(xiàn) : 若將信紙如圖連續(xù)兩次對折后 , 沿著信封口邊線裝入時(shí) , 寬綽有 3.8 cm; 若將信紙如 圖三等分折疊后 ,同樣方法裝入時(shí) , 寬綽 1.4 cm. 試求信紙的紙長與信封的口寬 .變式 9.2 ，某種為打造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書，調(diào)查發(fā) 現(xiàn)，若購買甲種書柜 3個(gè)，乙種書柜 2個(gè)，共需要資金 1020元；若購買甲種書柜 4 個(gè)，乙 種書柜 3 個(gè)，共需資金 1440元 .（1）甲乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？（2）若該校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的

9、書柜共20 個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多提供資金 4320 元，請?jiān)O(shè)計(jì)幾種購買方案供這個(gè)學(xué)校選擇?靈活運(yùn)用【 1】 下列說法正確的是（）A. 二元一次方程只有一個(gè)解B. 二元一次方程組有無數(shù)個(gè)解B. 二元一次方程組的解必是它所含的二元一次方程的解D. 三元一次方程組一定由三個(gè)三元一次方程組成題文】 把 x=1 代入方程 x-2y=4 ，那么方程 變成()A. 關(guān)于 y 的一元一次方程B. 關(guān)于 x 的一元一次方程C. 關(guān)于 y 的二元一次方程D. 關(guān)于 x 的二元一次方程已知關(guān)于 x 的方程 x2 (m+2)x+(2m 1)=0.(1)求證：無論 m 取何值，方程總有兩

10、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若此方程的一個(gè)根是 1，請求出 m 的值及方程的另一個(gè)根，并求 以此兩根作為兩邊的等腰三角形 (不是等邊三角形 )的周長 .如圖，長青化工廠與 A、B 兩地有公路、鐵路相連這家工廠從 A 地購買一批每 噸 1000 元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸 8000 元的產(chǎn)品運(yùn)到 B 地，已知公路運(yùn)價(jià) 為 1.5 元/（噸·千米），鐵路運(yùn)價(jià)為 1.2 元/（噸 ·千米），且這兩次運(yùn)輸共支出公 路運(yùn)輸費(fèi) 15000 元，鐵路運(yùn)輸費(fèi) 97200 元。求：（1）該工廠從 A 地購買了多少噸原料？制成運(yùn)往 B 地的產(chǎn)品多少噸？（2）這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多

11、多少元？.如圖，小島 A 位于港口 P 的西偏南 39°方向，小島 B 位于 P 的正西方向，且位 于 A 的正北方向，已知小島 A 與港口 P 相距 81 海里。（1）求小島 B與港口 P 的距離（精確到 1海里）；（2）甲船從 P 出發(fā)駛向 A，乙船從 B 出發(fā)駛向 P，甲、乙兩船的行駛速度分別 為 12 海里/小時(shí)和 9海里/小時(shí)，兩船同時(shí)出發(fā)，問：幾小時(shí)后，它們與 P 的距 離相等？12.閱讀并解答下面問題：（1）如圖所示，直線 l 的兩側(cè)有 A、B 兩點(diǎn)，在 l 上求作一點(diǎn) P，使 AP+BP 的 值最小。（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法和證明）（2）如圖 A、B 兩

12、個(gè)化工廠位于一段直線形河堤的同側(cè)， A 工廠至河堤的距離 AC 為 1km ，B工廠到河堤的距離 BD 為 2km，經(jīng)測量河堤上 C、D 兩地間的距 離為 6km ，現(xiàn)準(zhǔn)備在河堤邊修建一個(gè)污水處理廠，為使 A、B 兩廠到污水處理廠 的排污管道最短，污水處理廠應(yīng)建在距 C 地多遠(yuǎn)的地方？（3）通過以上解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你嘗試解決下面問題：若 ，當(dāng) x 為何值時(shí)， y的值最小，并求出這個(gè)最小 值。13.如下圖，在矩形 ABCD 中，AB=12 cm ，BC=6 cm點(diǎn) P沿 AB 邊從點(diǎn) A開 始向點(diǎn) B以 2 cm/s 的速度移動；點(diǎn) Q沿 DA 邊從點(diǎn) D 開始向點(diǎn) A以

13、 1 cm/s 的 速度移動如果 P、Q 同時(shí)出發(fā)，用 t（s）表示移動的時(shí)間（ 0< t<6）那么1）當(dāng) t 為何值時(shí)， QAP 為等腰直角三角形？2）求四邊形 QAPC 的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；3）當(dāng) t為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似？14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 Rt AOB 的兩條直角邊 OA 、OB 分別 在 y 軸和 x 軸上，并且 OA 、OB 的長分別是方程 x27x 12=0 的兩根（OA < OB ），動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始在線段 AO 上以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) O 運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn) Q 從點(diǎn)

14、B 開始在線段 BA 上以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動，設(shè)點(diǎn) P 、 Q 運(yùn)動的時(shí)間為 t 秒 .（ 1 ）求 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo) . （ 2 ）求當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ 與 AOB 相似， 并直接寫出此時(shí)點(diǎn) Q 的坐標(biāo) .（ 3 ）當(dāng) t=2 時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn) M ，使以 A 、 P 、Q 、M 為頂 點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說 明理由.15.某市為了進(jìn)一步改善居民的生活環(huán)境，園林處決定增加公園 A 和公園 B 的綠 化面積，已知公園 A，B分別有如圖 1，圖2 所示的陰影部分需鋪設(shè)草坪， 在甲、 乙兩地分別有同種

15、草皮 1608m2 和 1200m2 出售，且售價(jià)一樣若園林處向甲、 乙兩地購買草皮，其路程和運(yùn)費(fèi)單價(jià)見下表：注：運(yùn)費(fèi)單價(jià)指將每平方米草皮運(yùn)送 1 千米所需的人民幣）1）分別求出公園 A，B 需鋪設(shè)草坪的面積；（結(jié)果精確到 1m2）2）請?jiān)O(shè)計(jì)出總運(yùn)費(fèi)最省的草皮運(yùn)送方案，并說明理由。已知四邊形 ABCD 是正方形， O 為正方形對角線的交點(diǎn)，一動點(diǎn) P 從 B 開始， 沿射線 BC 運(yùn)到，連結(jié) DP，作 CN DP 于點(diǎn) M，且交直線 AB 于點(diǎn) N，連結(jié) OP，ON。（當(dāng) P 在線段 BC 上時(shí)，如圖 9：當(dāng) P在 BC 的延長線上時(shí)，如圖 10） （1）請從圖 1，圖 2 中任選一圖證明下面

16、結(jié)論：BN=CP ： OP=ON ，且 OPON（2） 設(shè) AB=4 ，BP= ，試確定以 O、P、B、N 為頂點(diǎn)的四邊形的面積 與 的函 數(shù)關(guān)系。17. 如圖，某市兩地之間有兩條公路，一條是市區(qū)公路 ，另一條是外環(huán)公路.這兩條公路轉(zhuǎn)成等腰梯形，其中.（ 1）求外環(huán)公路總長和市區(qū)公路長的比；（2）某人駕車從 地出發(fā)，沿市區(qū)公路去 地，平均速度是 40km/h ，返回時(shí)沿外環(huán)公路行駛，平均速度是 80km/h ，結(jié)果比去時(shí)少用了 h，求市區(qū)公路的長18. 如圖，有一塊等腰梯形的草坪，草坪上底長 48 米，下底長 108 米，上下底 相距 40 米，現(xiàn)要在草坪中修建一條橫、縱向的 “H型”甬道，甬道寬度相等，甬道面積是整個(gè)梯形面積的，設(shè)甬道的寬為 x 米1）求梯形 ABCD 的周長；2）用含 x 的式子表示甬道的總長；3）求甬道的寬是多少米？19. 已知， ， 是 的平分線，點(diǎn) P 在 上， 將 三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn) P 處，繞著點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)，CB 交于點(diǎn) E，另一條直角邊 與直線 CA、直線 CB 分別交于點(diǎn) F、點(diǎn) G（1）如圖 9，當(dāng)點(diǎn) F 在射線 CA 上時(shí)， 求證： PF = PE設(shè) CF= x，EG=y ， 求 y與 x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域（2）聯(lián)結(jié) EF，當(dāng)CEF與EGP相似時(shí)，求 EG 的長20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有