《3.1 函數(shù)的概念及其表示》公開(kāi)課優(yōu)秀教案教學(xué)設(shè)計(jì)

1、3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)出函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)數(shù)學(xué)概念中的作用(重點(diǎn)、難點(diǎn))2了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域(重點(diǎn))3能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集(易混點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助函數(shù)定義域的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3借助f(x)與f(a)的關(guān)系，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1函數(shù)的概念定義一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合

2、A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系yf(x)，xA定義域自變量x的取值范圍值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y的函數(shù)值的集合f(x)|xA思考1：(1)有人認(rèn)為“yf(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對(duì)嗎？(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)這種看法不對(duì)符號(hào)yf(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值yf(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不表示“y等于f與x的乘積”在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)外，還

3、常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來(lái)表示函數(shù)(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)3x4，當(dāng)x8時(shí)，f(8)3×8428是一個(gè)常數(shù)2區(qū)間及有關(guān)概念(1)一般區(qū)間的表示設(shè)a，bR，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，bx|a<x<b開(kāi)區(qū)間(a，b)x|ax<b半開(kāi)半閉區(qū)間a，b)x|a<xb半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b(2)特殊區(qū)間的表示定義Rx|xax|xax|xax|xa符號(hào)(，)a

4、，)(a，)(，a(，a)思考2：(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？(2)“”是數(shù)嗎？如何正確使用“”？提示：(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合0就不能用區(qū)間表示(2)“”讀作“無(wú)窮大”，是一個(gè)符號(hào)，不是數(shù)以“”或“”作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)1函數(shù)y的定義域是()A1，)B1,0)C(1，) D(1,0)C由x1>0得x>1.所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，)2若f(x)，則f(3)_.f(3).3用區(qū)間表示下列集合：(1)x|10x100用區(qū)間表示為_(kāi)；(2)x|x>1用區(qū)間表示為_(kāi)(1)10,100(2)(1，)結(jié)合區(qū)間的定義可知(1

5、)為10,100，(2)為(1，)函數(shù)的概念【例1】(1)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()f(x)與g(x)x；f(x)x與g(x)；f(x)x0與g(x)；f(x)x22x1與g(t)t22t1.ABC D(2)判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)AN，BN*，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)；A1,1,2，2，B1,4，對(duì)應(yīng)法則f：xyx2，xA，yB；A1,1,2，2，B1,2,4，對(duì)應(yīng)法則f：xyx2，xA，yB；A三角形，Bx|x>0，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng)(1)Cf(x)|x|與g(x)x的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)g(x)|x

6、|與f(x)x的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)f(x)x0與g(x)都可化為y1且定義域是x|x0，故是同一函數(shù)f(x)x22x1與g(t)t22t1的定義域都是R，對(duì)應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無(wú)關(guān)，故是同一函數(shù)由上可知是同一函數(shù)的是.故選C.(2)解對(duì)于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)對(duì)于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng)，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，故是函數(shù)對(duì)于A中的任一元素，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的

7、元素與之對(duì)應(yīng)，如±1對(duì)應(yīng)1，±2對(duì)應(yīng)4，所以是函數(shù)集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)1判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系2判斷函數(shù)相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同1下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是()A B C DB根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)照選項(xiàng)，可知只有B不符

8、合此條件故選B.2下列各組函數(shù)中是相等函數(shù)的是()Ayx1與yByx21與st21Cy2x與y2x(x0)Dy(x1)2與yx2BA，C選項(xiàng)中兩函數(shù)的定義域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故A，C，D錯(cuò)誤，選B.求函數(shù)值【例2】設(shè)f(x)2x22，g(x)，(1)求f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2)(2)求g(f(x)思路點(diǎn)撥(1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)解(1)因?yàn)閒(x)2x22，所以f(2)2×22210，f(a3)2(a3)222a212a20.因?yàn)間(x)，所以g(a)

9、g(0)(a2)g(f(2)g(10).(2)g(f(x).函數(shù)求值的方法(1)已知f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a)的值應(yīng)遵循由里往外的原則.3已知f(x)x32x3，求f(1)，f(t)，f(2a1)和f(f(1)的值解f(1)132×136；f(t)t32t3；f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a；f(f(1)f(1)32×(1)3)f(0)3.求函數(shù)的定義域探究問(wèn)題1已知函數(shù)的解析式，求其定義域時(shí)，能否可以對(duì)其先化簡(jiǎn)再求定義域？提示：不可以如f(x).倘若先化簡(jiǎn)，則f(x)，從而定義域與原函數(shù)不等

10、價(jià)2若函數(shù)yf(x1)的定義域是1,2，這里的“1,2”是指誰(shuí)的取值范圍？函數(shù)yf(x)的定義域是什么？提示：1,2是自變量x的取值范圍函數(shù)yf(x)的定義域是x1的范圍2,3【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)2；(2)f(x)(x1)0；(3)f(x)·；(4)f(x).思路點(diǎn)撥要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開(kāi)方數(shù)大于等于0即可解(1)當(dāng)且僅當(dāng)x20，即x2時(shí)，函數(shù)f(x)2有意義，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x2(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得x>1且x1，所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x>1且x1(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1x3，所以這個(gè)函數(shù)的定

11、義域?yàn)閤|1x3(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x1且x1，即函數(shù)定義域?yàn)閤|x1且x1(變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)yf(x1)的定義域解由1x13得0x2.所以函數(shù)yf(x1)的定義域?yàn)?,2求函數(shù)定義域的常用方法(1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.(2)若f(x)是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零.(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合.(4)若f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.(5)若f(x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義.1對(duì)于用關(guān)系式表示的函數(shù)如果沒(méi)有給出定

12、義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的集合這也是求某函數(shù)定義域的依據(jù)2函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則，因此，判定兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，就看定義域和對(duì)應(yīng)法則是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算相同3函數(shù)符號(hào)yf(x)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，它是抽象符號(hào)之一首先明確符號(hào)“yf(x)”為y是x的函數(shù)，它僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“y等于f與x的乘積”.1思考辨析(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示()(2)數(shù)集x|x2可用區(qū)間表示為2，()(3)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了()(4)函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中一定只有一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)()(5)函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合()答案(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2下列函數(shù)中，與函數(shù)yx相等的是()Ay()2ByCy|x| DyD函數(shù)yx的定義域?yàn)镽；y()2的定義域?yàn)?，)；y|x|，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；y|x|對(duì)應(yīng)關(guān)系