《彈塑性力學》第六章 彈性力學平面問題的直角坐標解答ppt課件

1、二二維維問問題題柱形桿改動柱形桿改動平面問題平面問題軸對稱問題軸對稱問題平板彎曲問題平板彎曲問題平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題固體的外形特點：固體的外形特點： 物體一個方向物體一個方向尺寸比其它兩個方尺寸比其它兩個方向尺寸小的多等向尺寸小的多等厚度薄板。厚度薄板。 x2x1x3ox2t03 ZX由物體幾何特點和受力特點知：由物體幾何特點和受力特點知： 在在 處，處， z=z=zx=zx=zy=0zy=0。 2tz0ZYX 平面應力問題待求未知函數(shù)一共八個：平面應力問題待求未知函數(shù)一共八個： 3個應力個應力3個應變個應變2個位移個位移 1.2 1.2 平面應變問題平面應變問題

2、外形特點：物體一個方向尺寸外形特點：物體一個方向尺寸z z 或或x3x3比其比其它兩個方向它兩個方向x,y x,y 或或 x1 ,x2 x1 ,x2 大的多，如水大的多，如水壩、涵洞。壩、涵洞。 x1 (x)x2 (y)x3 (z)03 ZXw = 0 (z = 0 ) , zx=zy=01.2 1.2 平面應變問題平面應變問題 1.2 1.2 平面應變問題平面應變問題2.1 2.1 平衡微分方程平衡微分方程2 2個個 兩個平面問題一致：兩個平面問題一致： , ,+f+f=0, =0, , , =1,2=1,20Xyxyxx0Yyxyxy2.2 2.2 幾何方程幾何方程3 3個個 兩平面問題一

3、致：兩平面問題一致： )(21,uu,xux,yvyxvyuxy2.3 2.3 相容方程相容方程1 1個個 兩平面問題一致：兩平面問題一致： yxxyxyyx22222對于平面應力問題還應有對于平面應力問題還應有 220,zx220,zy02yxz但對于薄板厚度尺寸遠此三個方程可以但對于薄板厚度尺寸遠此三個方程可以不思索。不思索。 2.4 2.4 本構方程本構方程3 3個個 平面應力問題平面應力問題 1(),xxyE1(),yyxE2(1)xyxyE2.4 2.4 本構方程本構方程3 3個個 平面應變問題平面應變問題 2(1)(),1xxyE2(1)(),1yyxExyxyE)1 (2 兩個平

4、面問題的根本方程僅物理方程有所兩個平面問題的根本方程僅物理方程有所不 同 ， 將 平 面 應 力 物 理 方 程 中 彈 性 系不 同 ， 將 平 面 應 力 物 理 方 程 中 彈 性 系數(shù)數(shù) ， ，那么平面應力問題的物，那么平面應力問題的物理方程變?yōu)槠矫鎽儐栴}的物理方程。所以理方程變?yōu)槠矫鎽儐栴}的物理方程。所以按平面應力問題求解的結果中彈性系數(shù)也如按平面應力問題求解的結果中彈性系數(shù)也如此交換，那么可得到平面應變問題解。此交換，那么可得到平面應變問題解。21EE12.5 2.5 邊境條件邊境條件 位移邊境條件：位移邊境條件： ( (=1,2=1,2 uu ,uuvv 在在SuSu上上 n

5、XyxxmlXyxymlY在在S S 上上 根本未知函數(shù)：根本未知函數(shù)：u(x,y) , v(x,y) u(x,y) , v(x,y) 根本方程兩個：用根本方程兩個：用 u , v u , v 表示的平衡微分方程。表示的平衡微分方程。 平面應力問題：平面應力問題： 011,2fuGuG其中其中 22222yx平面應變問題：平面應變問題： 0211,2fuGuG邊境條件：位移邊境邊境條件：位移邊境 ,uuvv在在SuSu上上力的邊境力的邊境 yxxmlXyxymlY在在S S 上上 應力需求用位移微分表示應力需求用位移微分表示 3.2 3.2 應力法應力法 根本未知函數(shù)3個：x , y ,xy=

6、yx 根本方程根本方程3 3個：個：2 2個平衡微分方程個平衡微分方程 , , + f + f= 0 = 0 1個相容方程：個相容方程： 平面應力問題時平面應力問題時 )(1 ()(2yfxfyxyx3.2 3.2 應力法應力法 1 1個相容方程：個相容方程： )(11)(2yfxfyxyx平面應變問題時平面應變問題時 力邊境條件：力邊境條件： nXyxxmlXyxymlY在在S S =S =S上上 當膂力為常數(shù)或膂力為零時，兩個平面問題當膂力為常數(shù)或膂力為零時，兩個平面問題的相容方程一致的相容方程一致 2( 2(x+x+y ) = 0 y ) = 0 (x+y )為調合函數(shù)，與彈性系數(shù)無關，

7、不論是平面應力應變問題，也不論資料如何，只需方程一致，應力解一致，有利實驗。 3.2 3.2 應力函數(shù)解法應力函數(shù)解法 當膂力為常量或為零時，按應力法解的根本方程共三個為 , +f =0 , 2=0應力法根本方程的前兩個為非齊次方程，所應力法根本方程的前兩個為非齊次方程，所以根據(jù)微分方程實際，非齊次微分方程的通以根據(jù)微分方程實際，非齊次微分方程的通解等于其特解加上齊次微分方程的通解。解等于其特解加上齊次微分方程的通解。 非齊次方程特解可以選 x = - f x x , y = - fyy ,xy= 0; 特解還可以選其它方式 下面任務求齊次微分方程下面任務求齊次微分方程 , , =0 =0 的

8、通解，的通解， 或或 求求0,yxxxy0yxyxy的通解的通解 同時通解還需求滿足相容方程：同時通解還需求滿足相容方程： 2( 2(x+x+y )=0 y )=0 對于上面三個齊次微分方程要求出其通解，仍是一個較復雜、困難的問題。 1862年年Airy提出將滿足三個齊次微分方程提出將滿足三個齊次微分方程的的3個應力分量的齊次解由一個函數(shù)個應力分量的齊次解由一個函數(shù)應力應力函數(shù)的二階微分來表示，使之自然滿足齊次函數(shù)的二階微分來表示，使之自然滿足齊次平衡微分方程平衡微分方程 , =0 這樣應力法的齊次根本方程僅為用應力函數(shù)這樣應力法的齊次根本方程僅為用應力函數(shù) 表示的相容方程，使未知函數(shù)和根本方

9、程表示的相容方程，使未知函數(shù)和根本方程數(shù)均減為一個。數(shù)均減為一個。 Airy提出應力函數(shù) (x,y) 與齊次微分方程中待求應力分量之間滿足如下微分關系：22yx22xyyxxy2a 應力函數(shù)應力函數(shù) (x,y) 與待求應力分量齊次解與待求應力分量齊次解之間的微分關系是由兩個齊次平衡微分方程之間的微分關系是由兩個齊次平衡微分方程導出的：導出的：xxyxyAyxxyxAyxyyxBxyxyyB得 yAyBxA xB從而導出從而導出(a)(a)式。那么式。那么 (a) (a) 式使得齊次的平式使得齊次的平衡微分方程自然滿足，將衡微分方程自然滿足，將(a) (a) 式代入相容方式代入相容方程，得程，得

10、0)(42222222xy上式稱為應力函數(shù)解法的根本方程一個上式稱為應力函數(shù)解法的根本方程一個 根本方程為由應力函數(shù)根本方程為由應力函數(shù) 滿足的雙調合方滿足的雙調合方程程 最后應力分量解為其特解加通解：最后應力分量解為其特解加通解： 2,xxf xy2,yyf yxyxxy240 在邊境上應力分量滿足力的邊境條件在S上，用應力函數(shù)表示： )()(222yxmxfylXx)()(222yfxmyxlYy 對于單連域，應力函數(shù) (x,y) 滿足雙調和方程 4= 0，且在S上滿足用應力函數(shù)二階偏微分表示的邊境條件，那么由 (x,y) 導出應力分量為真解，對于復連域，還要思索位移的單值條件.3.4 3

11、.4 應力函數(shù)的特性應力函數(shù)的特性 1. 應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)應力函數(shù)加上一個線性函數(shù) a+bx+cy，并，并不影呼應力，換句話說，某問題的應力函數(shù)為不影呼應力，換句話說，某問題的應力函數(shù)為 ，那么，那么 1=+a+bx+cy 也是問題的應力函也是問題的應力函數(shù)。應力函數(shù)可確定到只差一個線性函數(shù)。數(shù)。應力函數(shù)可確定到只差一個線性函數(shù)。2. 無膂力作用時，應力函數(shù)及其一階偏導數(shù)無膂力作用時，應力函數(shù)及其一階偏導數(shù)的邊境值可分別由邊境的面力的主矩和主矢的邊境值可分別由邊境的面力的主矩和主矢量來確定。量來確定。()()BBBAyyAAF dSYdSRxx ()()BBBAxxAAF dSXdSR

12、yyxoABF y BBABBABABMdSXyydSYxx)()(對對B點取矩點取矩)逆時針為正。逆時針為正。 下面推導一下下面推導一下 xoABF y 對于無膂力時對于無膂力時 fx=fy= 0fx=fy= 0； 力的邊境條力的邊境條件為件為 Xyxmyl222Yxmyxl222 yxodsdyne1e2-dxdSdyenl),cos(1dSdxenm),cos(2代入邊境條件，得代入邊境條件，得XdSdxyxdSdyy222XydSd)( YxdSd)( YdSdxxdSdyyx)(222積分得積分得(),dXdSyYxdSd)(積分得積分得()()()BBBAxAAddsXdsRyyd

13、SyyBAABRdsYxx)()(xoABF y 根據(jù)函數(shù)的求導公式根據(jù)函數(shù)的求導公式 dSdyydSdxxdSd dSXdSdydSYdSdxdSdCACA)()(而而C C為邊境上動點為邊境上動點 xoABF y CyBAABRdsYxx)()(上式對上式對s s 積分得積分得 dSdSXdSdydSYdSdxBACACAAB)( 采用分部積分采用分部積分 dSXdSdydSYdSdxdSdCACA)()(xoABF y CdSdSXdSdydSYdSdxBACACAAB)( ()BCCBBAAAAAxY dSyXdSxYdSyXdS邊境力對邊境力對B B點之矩點之矩 ()BBBBBBAA

14、AAxY dSyXdSxYdSyXdS()()BBBBAAxx YdSyyXdSxoABF y C例題例題1 1 矩形域無膂力作用時應力函數(shù)分別為矩形域無膂力作用時應力函數(shù)分別為二次項和三次項的結果而一次項無須思索，二次項和三次項的結果而一次項無須思索，采用逆解法。采用逆解法。1.1.取取為二次項：為二次項： 2322122),(ycxycxcyx代入代入 4 4 =0 =0， 滿足。滿足。 2322122),(ycxycxcyx將將 代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，得代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，得322cyx122cxy22cyxxy 可見，矩形域各點應力形狀一樣，為常量。可見，矩形域各

15、點應力形狀一樣，為常量。 設設c1 ,c2 ,c3c1 ,c2 ,c3均為正值。矩形域邊境面力如下圖。均為正值。矩形域邊境面力如下圖。c1xc3 yc213. 3. 取取為三次項：為三次項： 342322316226),(ydxydyxdxdyx代入代入 4 4 =0 =0， 滿足。滿足。 將將 代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，得得 ydxdyx4322ydxdxy2122ydxdyxxy322應力為應力為x x、y y 的線性的線性式。式。 僅取一項僅取一項 346yd x= d4 y, y= xy= 0 在邊境上面力分布與在邊境上面力分布與坐標系位置有關。坐

16、坐標系位置有關。坐標系如以下圖所示標系如以下圖所示面力分布為純彎問題，在兩端面的面力面力分布為純彎問題，在兩端面的面力將產生一個將產生一個M M 。xh/2h/21d4 h/2MM y12334223422hdydydxMhhhhx43,12zMMdhIyIMzx資料力學解 由由 M 與與 x 的關系確定的關系確定 d4 的值的值yIMzx由應力分量求應變分量：由應力分量求應變分量： yEIMExx1EIMyExy0 xy經過幾何方程積分及約束條件可以求出位移。經過幾何方程積分及約束條件可以求出位移。 此題討論此題討論 : : 坐標位置選取不同將導致邊境上面力分坐標位置選取不同將導致邊境上面力

17、分布不同，從而對應不同的問題。因此，此題布不同，從而對應不同的問題。因此，此題在邊境上面力分布與坐標系位置有關。在邊境上面力分布與坐標系位置有關。 x= d4 y, y = xy = 0346ydh yxd4hd4h/2d4h/2但坐標位置變了但坐標位置變了, , 邊境上面力分布如以下圖。邊境上面力分布如以下圖。例題例題2 2 無膂力作用無膂力作用的懸臂梁，在端部受的懸臂梁，在端部受集中力集中力P P 作用。作用。 x1 yPMPlx2h此題采用應力函數(shù)的半逆解此題采用應力函數(shù)的半逆解法。半逆解法思緒：法。半逆解法思緒： 1. 根據(jù)受力情況和求解閱歷，包括資料力學根據(jù)受力情況和求解閱歷，包括資

18、料力學的解，定性估計應力分量的變化，并根據(jù)應的解，定性估計應力分量的變化，并根據(jù)應力分量與應力函數(shù)關系，反推出力分量與應力函數(shù)關系，反推出 函數(shù)的主函數(shù)的主要項。要項。2. 將所設將所設 代入代入 4 =0和力的邊境條件進和力的邊境條件進展檢驗，假設不滿足那么進展修正適當添展檢驗，假設不滿足那么進展修正適當添加項，再代入加項，再代入 4 =0和力的邊境條件進和力的邊境條件進展檢驗，直至滿足一切方程為止。展檢驗，直至滿足一切方程為止。此題求解的根本情況：此題求解的根本情況：主要邊境上，主要邊境上， 在在y= y= h h ： ， 無面力無面力 0X0Y根本方程根本方程 4 4 =0 =0，邊境條

19、件為混合邊境條件：邊境條件為混合邊境條件： x1 yPMPlx2h次要邊境上：次要邊境上： 在在x=lx=l： 0,X hhPdyY在在x=0 x=0 ： 嚴厲要求嚴厲要求 u=0 u=0，v=0 v=0 x1 yPMPlx2h在在x=0 x=0 ： PdyYPlMydyXdyXhh0 x1 yPMPlx2h解：解： 1根據(jù)受力特點知在根據(jù)受力特點知在 x 處彎矩：處彎矩： M=P(l-x)， 資料力學應力解：資料力學應力解：yIxlPyIMx)( x 包含y和 xy項，又由于 22yx 可設可設 331166acxyy 代入代入 4 4 =0 =0， 滿滿足。足。 將將 代入應力分量與應力函

20、數(shù)的關系式，代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，得得 2121120yayxycxyaxyyx 將應力分量代入邊境條件，確定待定系數(shù)將應力分量代入邊境條件，確定待定系數(shù) 。主要邊境：主要邊境：y = y = h h ，l = 0, m l = 0, m = =1 1 0000yxyYX假設滿足，那么假設滿足，那么 a1=0 a1=0 。代回應力分量表達。代回應力分量表達式式 在在y= h時，時， 為均勻剪力。為均勻剪力。212haxy由由 求得應力分量公式，得求得應力分量公式，得 2121120yayxycxyaxyyx 001xyyxyc本應力解對應純彎問題，本應力解對應純彎問題，不是所要求的。

21、不是所要求的。 2 對對 要進展修正，消去要進展修正，消去y= h面上均勻面上均勻 剪力剪力設設 313166ycxya + b1 xy 代入代入 4 4 =0 =0， 滿足。滿足。 將將 代入應力分量與代入應力分量與應力函數(shù)的關系式，得應力函數(shù)的關系式，得1211120byaycxyaxyyx代入主要邊境：代入主要邊境：y= y= h h y= 0 滿足； xy= 0 或 21102ahb2112hab代回應力分量表達式代回應力分量表達式 )(2022111hyaycxyaxyyx代入代入 x=l x=l 邊境：邊境：l=1 , m=0,l=1 , m=0,那么 0 xX011yclya 或

22、 lac11)(2022111hyaycxyaxyyx而而 PdyYPdyhyahh)(2221133,2Pah 2123hPlc 13,4Pbh將慣性矩將慣性矩 323hI 代入代入a1a1、b1b1、c1c1表達式，表達式，那么那么 1,PaI 21,2PhbIIPlc 1代回應力分量表達代回應力分量表達 () ,xPlx yI0,y)(222yhIPxy 與資料力學解一樣。 留意此題應力解在梁兩端不能用。由于用到了圣維南原理。 有了應力解后，依次求應變和位移。有了應力解后，依次求應變和位移。 在位移確實定中，當在位移確實定中，當 x=0 , u = v =0 x=0 , u = v =0

23、 不能處處滿足，而用到不能處處滿足，而用到0000000yxyxyxdxdvvu 將剛體位移去掉，放松了位移邊境處置 例題例題3 3 簡支梁不計膂力上面受均載作用，簡支梁不計膂力上面受均載作用， 仍采用應力函數(shù)解的半逆解法。仍采用應力函數(shù)解的半逆解法。x1 yqlqllhql思索應力特點：思索應力特點： y y 與與 x x 無關，無關， y y 由由q q 引引起，起，且在且在 y= -h/2 y= -h/2 處處 y y 為常數(shù)。為常數(shù)。設設 )(22yfxy)()(1yfyxfx )()()(2212yfyxfyfx代入根本方程代入根本方程 4 4=0 =0 02ffxffx21 (4)

24、2(4)1(4)2微分方程對全梁滿足。微分方程對全梁滿足。因此，要求因此，要求440,d fdy4140,d fdy0222424dyfddyfd 由前兩個常微分方程積分得到 f(y) 和 f1 (y) 的表達式，代回第三個常微分方程積分，可得到f2 (y) 的表達式。一切待定系數(shù)由邊境條件定。例題例題4 4 楔形體受重力和液體壓力作用，楔形楔形體受重力和液體壓力作用，楔形體下端無限長。體下端無限長。 x yn g gy 楔形體的體積力楔形體的體積力fx= X = 0 fx= X = 0 ，fy= Y = fy= Y = g g； 邊境條件邊境條件: : 在在x=0 x=0處處, , gyX0Y那么邊境處的應力為那么邊境處的應力為 x= -x= -gygy， xy =0 xy =0在在x = ytgx = ytg 處處, ,0X0Y 從楔形體的受力情況分從楔形體的受力情況分析析, ,可