連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解0_和0+時刻系統(tǒng)狀態(tài)的含義，并掌握沖激函數(shù)匹配法2.理解沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)的意義，掌握其求解方法3.掌握系統(tǒng)全響應(yīng)的兩種求解方法：自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)4.熟練掌握零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的定義和求法；5.會分辨全響應(yīng)中的瞬態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量；教學(xué)重點難點重點掌握卷積積分的定義、代數(shù)運算規(guī)律和主要性質(zhì)，并會用卷積積分法求解線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。教學(xué)內(nèi)容§2.1 引言線性連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析，就是一個建立和求解線性微分方程的過程。一、建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)力學(xué)、電學(xué)等物理學(xué)規(guī)律，得到輸入和輸出之間滿足的數(shù)學(xué)表達式。數(shù)學(xué)模

2、型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。例如，對于經(jīng)典力學(xué)理論，主要是依賴于牛頓定律；對于微波和電磁場而言，組要依賴于麥克斯韋方程；本課程主要研究的是由電阻、電容、電感等器件構(gòu)成的集總參數(shù)電系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型的建立主要有依賴于KCL 和KVL方程。在物理課程和電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法。連續(xù)時間系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號，通常用微分方程描述，若輸入輸出只用一個高階的微分方程相連系，而且不研究系統(tǒng)內(nèi)部其他信號的變化，這種描述系統(tǒng)的方法稱為輸入輸出或端口描述法。系統(tǒng)分析的任務(wù)就是對給定系統(tǒng)模型求系統(tǒng)的輸出。系統(tǒng)時域分析包含兩方面內(nèi)容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，將沖激

3、響應(yīng)與激勵信號進行卷積，求出系統(tǒng)的響應(yīng)；同時引入近代系統(tǒng)時域分析方法，將建立零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩個重要的基本概念。本章還將說明微分方程的算子符號表示法，它使微分方程的表示及運算簡化。最后，簡單介紹“分配函數(shù)”的概念。§2.2 微分方程的建立與求解為建立線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需列出描述系統(tǒng)特性的微分方程表達式，現(xiàn)舉例說明微分方程的建立方法。一、復(fù)習(xí)R,L,的電壓電流關(guān)系。+ +C+例2-1 ：如下圖所示為RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓與激勵源間的關(guān)系。+由KCL得： （1）將以上三式代入上方程（1）得：若組成系統(tǒng)的文件都是參數(shù)恒定的線性元件（且無儲能），則構(gòu)成的系統(tǒng)是線性時不變系

4、統(tǒng)。對于復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)激勵信號為，響應(yīng)為，則可用一高階的微分方程表示 （2）若方程（2）的及其各階導(dǎo)數(shù)都為零，則方程稱為齊次方程 （3）由經(jīng)典法可知，方程（2）的解由齊次方程和特解兩部分組成。齊次解是齊次方程的解。齊次方程解的形式為函數(shù)的線性組合，將代入方程（3）得 （4）方程（4）稱為方程（2）的特征方程，對應(yīng)的n個根稱為微分方程的特征根。若特征根無重根，則若是K階重根，則例1求的齊次解例3求的齊次解解其特征方程為 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)求解方法是將激勵代入方程（2）右端，化簡右端函數(shù)式稱為“自由項”，根據(jù)自由項選特解函數(shù)式，代入方程后，求得特解的待定系數(shù)，即可求出特解激勵函數(shù)與特解

5、的對應(yīng)關(guān)系，見P46表2-2。例：2-4給定方程若（1），（2）分別求兩種情況下此方程的特解解：（1）將代入方程得：自由項為故設(shè)特解代入方程得對比系數(shù)得：（2）當(dāng)，可選，代入方程后得于是特解于是完全解若給定微分方程和激勵信號，在給出一組求解區(qū)間內(nèi)的邊界條件，便可確定待定系數(shù)。若是在t=0時刻加入，則把求解區(qū)間定為，通常取這樣對應(yīng)的一組條件稱為初始條件。微分方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，特征方程稱為系統(tǒng)的“固有頻率”（自由頻率，自然頻率）；特解稱為系統(tǒng)的強迫響應(yīng)，強迫響應(yīng)只與激勵函數(shù)的形式有關(guān)，完全響應(yīng)由系統(tǒng)的自身特性決定的自由響應(yīng)和與外加激勵信號有關(guān)的強迫響應(yīng)組成的。§2.3 起始

6、點的跳變從到的轉(zhuǎn)換在系統(tǒng)分析中，把響應(yīng)區(qū)間確定為激勵信號加入后，系統(tǒng)變化區(qū)間，一般在t=0時刻加入，這樣系統(tǒng)的響應(yīng)時間為，若系統(tǒng)在激勵信號加入之前瞬間有一組狀態(tài)，這組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（狀態(tài)）,它包含了為計算未來響應(yīng)的全部“過去”信息。在加入之后，這組狀態(tài)從到時刻可能發(fā)生變化。完全響應(yīng)表達式中常數(shù)是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)時刻的一組狀態(tài)確定的。這組狀態(tài)稱為初始條件（簡稱狀態(tài)）。由此可見，用時域經(jīng)典法求解系統(tǒng)的響應(yīng)時，為確定自由響應(yīng)部分常數(shù)，還必須根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)和激勵情況求出狀態(tài)。對于具體電路，狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況，一般情況下，先求出電容上的起始電壓和電感中的起始電流， ，。當(dāng)電路中沒有沖激

7、電流（或階躍電壓）強迫作用于電容及沒有沖激電壓（或階躍電流）作用于電感，則換路期間電容兩端電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變，即，然后根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲約束求得時刻的其他電流或電壓值，下面以具體例子，說明這種情況下電路響應(yīng)的求解方法。例：如圖所示+i+2v4v而將(2)式代入(1)式子得令則代入方程得 而 的電壓不能突變，故將代入，得A=-2 2-5 例如圖所示電路，開關(guān)S處1位置且已達到穩(wěn)定，當(dāng)t=0時，由1轉(zhuǎn)向2，建立電流的微分方程并求解在時的變化。解： （1） （2） （3）消去，得 （4）.求齊次方程特征方程： a) 求特解:當(dāng)時，代入（4）式得故方程 （5）令 代入（5）式得

8、故系統(tǒng)的完全解為 （6）c確定待定系數(shù)由于無沖激電壓，故電容電壓不能突變 ，而d.求在時的完全響應(yīng)將代入（6）式得 當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有無跳變，取決定于微分方程在右端自由項中是否包含d(t)及其各階導(dǎo)數(shù).若包含有d(t)及其各階導(dǎo)數(shù),說明相應(yīng)的變量從0-到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變,即此時為確定等，可以用沖激函數(shù)匹配法。其原理根據(jù)t=0時刻微分方程左右兩端的d(t)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。下面舉一例子說明：已知解：由分析可知：方程右邊含，由此可推斷，而方程右端無項，故由于得出r(t)在t=0時刻有存在，若表示到相對單位跳變函數(shù)，即上述方程可用數(shù)學(xué)方法描述設(shè)積分一次有

9、：將代入原方程得解得：表示從0-到0+相對單位發(fā)生跳變函數(shù) 即例2-6 用沖激函數(shù)匹配法求解例2-5的完全響應(yīng)r(t)已知：用沖激函數(shù)匹配法求42t解：考慮方程右端沖激函數(shù)項最高次是因而設(shè) 將其代入原方程得解得至此可將求解微分方程流程圖見p52圖2-5§2.4 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)由于時域經(jīng)典法求解系統(tǒng)完全響應(yīng)是把響應(yīng)分成自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)，為確定完全響應(yīng)中的常數(shù)，往往利用沖激函數(shù)匹配法，把給定的狀態(tài)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)以便求解。另一種分解方法是將總響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。我們先考察一個實例例2-7，如圖2-6 所示RC電路，電容兩端起始電壓，激勵源為e(t),求t>0時電容兩

10、端電壓。將上式兩端同乘以得兩邊求積分得：的第一項只和電容兩端的起始儲能有關(guān)，與輸入無關(guān)。被稱為零輸入響應(yīng)。第二項與起始儲能無關(guān)，只與輸入有關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。一般情況下，設(shè)系統(tǒng)是線性時不變的，把輸出響應(yīng)分成由激勵信號e(t)引起的響應(yīng)He(t)，和由系統(tǒng)起始狀態(tài)引起的響應(yīng)兩者疊加，由此可分別定義零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。He(t)(0-)r(t)=He(t)+H(0-) 零輸入響應(yīng):沒有激勵作用,只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記為，它滿足方程及起始狀態(tài)的解。可見它是齊次解的一部分。由于沒有外界激勵作用，因而即Azik可以由確定。零狀態(tài)響應(yīng):起始狀態(tài)等于零時,由系統(tǒng)的外加激勵信號所 產(chǎn)生的響應(yīng)，記為。

11、它滿足方程及起始狀態(tài)其形式為下題講授時為便于學(xué)生接受，可先將去掉使問題簡化例 給定方程當(dāng)，求=？解: 1.先求rzi(t)因為零輸入響應(yīng)，故e(t)=0,原方程兌變?yōu)槠涮卣鞣匠虨?，a1=-1 ,a2=-2 ，代入起始狀態(tài)得2再求將代入原方程得設(shè) 代入上方程得：得:當(dāng)時，滿足方程設(shè)特解 代入上方程得 代入得注意：為使計算思路清晰，可將求解與求初始條件的順序?qū)φ{(diào)一下。對響應(yīng)的另一種區(qū)分是瞬間響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)的另一種求法：求的零狀態(tài)響應(yīng)。解：由于零狀態(tài)，故又由于解的區(qū)間為，故當(dāng)時，上方程蛻變?yōu)樵O(shè)代入方程（2）得求分析：含有，含有，含有對方程（1）從積分得將初始條件代入（3）式：注：直接用代

12、入方程此方法是不正確的。瞬態(tài)響應(yīng)：當(dāng) 時,響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：保留下來的那部分響應(yīng)分量。在建立了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念后，進一步說明系統(tǒng)的線性和時不變問題。由下圖可知，對外加激勵信號e(t)和它對應(yīng)的響應(yīng)的關(guān)系而言，若,則用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性和時不變的，若起始狀態(tài)，由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)對外激勵e(t)不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時不變性，因而是非線性時變系統(tǒng)，同時由于零輸入分量的存在，使響應(yīng)的變化不可能發(fā)生在激勵之后，因而系統(tǒng)又是非因果的。He(t)x(0-)r(t)=He(t)+Hx(0-)然而，若把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵， 則

13、對零輸入響應(yīng)而言，也滿足疊加性和均勻性。（1） 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。（2） 零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對于外加激勵信號呈線性，稱為零狀態(tài)線性。例1某LTI系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定，當(dāng)激勵為時，其全響應(yīng)為；若初始狀態(tài)不變，激勵為，其全響應(yīng)，求初始化狀態(tài)不變，激勵為時系統(tǒng)的全響應(yīng)。LTIe(t)x(0-)解：根據(jù)線性不變的性質(zhì)例2某LTI系統(tǒng)，初始狀態(tài)為，。已知當(dāng)，時，其零輸入響應(yīng)為當(dāng)，時，其零輸入響應(yīng)為當(dāng)，時，而輸入為e(t)時，其全響應(yīng)求當(dāng)，時，輸入為2e(t)時的全響應(yīng)解： LTI e(t)X1(0-)，X2(0-)當(dāng)，時，而輸入為e(t

14、)時，其全響應(yīng)根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)（3） 零輸入線性：當(dāng)外加激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。§2.5 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)對于線性時不變系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)的性質(zhì)，可以表征系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，h(t)的變換域表示更是分析時不變系統(tǒng)的重要手段，因而沖激響應(yīng)h(t)的分析是系統(tǒng)分析中極為重要的問題。1. 沖激響應(yīng)h(t)定義：系統(tǒng)在單位沖激信號的作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義：系統(tǒng)在單位階躍信號u（t）作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。，若將e(t)作用下沖激響應(yīng)為h(t)的線性時不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)。即：零狀態(tài)響應(yīng)是激勵e(t)與

15、沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分LTI 對于LTI系統(tǒng)，它的h(t)滿足下微分方程及起始狀態(tài)，由于及其各階躍導(dǎo)數(shù)在時都等于零，因而在時方程（1）的自由項恒等于零，因此沖激響應(yīng)h(t)與齊次解的形式相同，且在n>m時，h(t)可以表示為若，則表達式還將含有及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)等，其中，常數(shù)，可以通過沖激函數(shù)匹配法，求出值，從而求得各值。例：由例2-5求得微分方程表示為，求h(t)=?當(dāng)故當(dāng)時，方程自由項為0，上方程蛻化為齊次方程利用沖激函數(shù)匹配法求，和，由于方程右端自由項最高階導(dǎo)數(shù)為，所以設(shè)代入方程后得：代入h(t)得由分析可知，h(t)含有方法2：根據(jù)方程可設(shè)代入上方程可得 具體解法用此方法必須注

16、意，齊次解后必須帶u(t),否則結(jié)果不正確。方法3：利用LTI系統(tǒng)的線性微分性，先求的解h1(t)再利用求出h(t)解：由當(dāng)t>0時，上方程為將h1(t)代入方程（2）得由對比系數(shù)法得：方法4：分析：由于方程等號右端含,故對上方程兩端同時由進行積分得由于，由于，將初始化條件代入中得： 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)微分方程及起始狀態(tài)，可以看出方程右端的自由項含有及其各階導(dǎo)數(shù)，同時還包含階躍函數(shù)u(t)，因而階躍響應(yīng)中，除含齊次解形式之外，還應(yīng)增加特解項。例：求系統(tǒng)的階躍響應(yīng) g(t)=?解：當(dāng)e(t)=u(t)時，則i(t)=g(t), g(t)滿足的方程為及。當(dāng)，上方程蛻化成其解的形式為設(shè)特解

17、為gp(t)=B,對代入方程利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)A1，A2代入原方程得代入方程得當(dāng)然g(t)也可由求得。§2.6 卷 積卷積的定義：任意兩個信號f1(t)和f2(t)的卷積定義為設(shè)系統(tǒng)的激勵信號為e(t)，沖激響應(yīng)為 h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為卷積的幾何解釋：卷積的運算有5個步驟。(1) 換自變量：將兩信號的時間變量t換為t(2) 反折：把其中的一信號反折(3) 移位：將反折后的信號做位移，移位量是t,t>0時，圖形右移；t<0時圖形左移(4) 相乘：兩信號重疊部分相乘(5) 積分：完成相乘后圖形的積分計算積分的方法有1.公式法2.圖形法例1用公式法求以下兩個函數(shù)

18、的卷積t例2：用圖形法求以下兩個函數(shù)的卷積t2211t22t22t11t11t-t11tt（1）當(dāng)t<0時，與無交疊，故（2）當(dāng)0<t<1時，（3）當(dāng)1<t<2時，（4）當(dāng)2<t<3時，（5）當(dāng)t>3時， t2123tt§2.7 卷積的性質(zhì)卷積運算具有某些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號與系統(tǒng)分析中有重要作用，利用這些性質(zhì)可以使卷積運算簡化。一、卷積代數(shù)1、交換律：h(t)e(t)2、分配律：h(t)e(t)+3、結(jié)合律：結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的總的沖激響應(yīng)，系統(tǒng)組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。h1(t)h2(t)）4、卷積的

19、微分與積分即兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)，等于其中一函數(shù)之導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積證明：5、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積。 函數(shù)與單位沖激函數(shù)卷積結(jié)果仍是本身。注意與的區(qū)別與信號相卷積的結(jié)果，相當(dāng)于把函數(shù)本身延遲利用卷積的微分，積分特性不難得到下結(jié)論式中表示求導(dǎo)或取重積分的次數(shù)，取正整數(shù)時表示導(dǎo)數(shù)階次，取負整數(shù)時為重積分的次數(shù)。2.8 用算子符號表示微分方程在連續(xù)系統(tǒng)時域分析法中，求解的是一個高階微分方程或一組聯(lián)系微分方程，如果把經(jīng)常出現(xiàn)的微分，積分用下述算子符號表示 ， 則 （1）可表示為：或簡化為： （2）若令 則（2）式可化為： （3）這是高階微分方程的算子符號表示。二、算子符號的基本規(guī)則。算子多項式僅是一種運算符號，代數(shù)方程中的運算規(guī)則，有的適用于算子多項式，有的不適用。1.算子多項式可以進行因式分解，但不能