2019全國I卷理科數(shù)學高考真題-新

1、2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2回答選擇題時， 選出每小題答案后， 用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。 如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無 效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合 M2x 4 x 2，N x x2 x 6 0 ，則 M I N=Ax 4 x 3Bx 4 x 2Cx 2 x 2Dx 2 x 3

2、2設復數(shù) z 滿足i =1 ， z 在復平面內(nèi)對應的點為 （x， y） ，則A(x+1)2 y2B(x 1)2 y2 1 C x2 (y 1)2Dx2( y+1)23已知 a log20.2，b 20.2，c 0.20.3 ，則AabcB a c bC c a bDca4古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5 1(25120.618 ，稱為黃金分割比例 ） ，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽 喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 5 1 若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為2105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是C

3、 185 cmD 190 cmA 165 cmB 175 cm5函數(shù) f(x)= sinx x2 在 , 的圖像大致為 cosx x2AB6我國古代典籍周易 用“卦” 爻分為陽爻“”和陰爻“ 卦恰有 3 個陽爻的概率是描述萬物的變化”，如圖就是6 個爻組成， 重卦在所有重卦中隨機取一重卦，則該重A7A8A9A5B 1116 32 已知非零向量 a，b滿足 |a| 2|b|，且 (a b)DB 332b，則 a與 b 的夾角為 C 231116D5如圖是求1的程序框圖，圖中空白框中應填入112A= 12A 記 Sn 為等差數(shù)列1A=2A an 的前 n 項和已知 S4BC A= 11 2 A 0

4、，a5 5 ，則DA=112Aan 2n 5B a n 3n 102C Sn 2n 28nDSn12 n2 2n10已知橢圓 C的焦點為 F1( 1,0) ，F(xiàn)2( 1,0) ，過F2的直線與 C交于 A，B兩點若| AF2 | 2|F2B|，|AB| |BF1 |，則 C 的方程為A2xB32y2 122xC4D x225411關于函數(shù) f (x) sin|x| |sin x |有下述四個結(jié)論：f(x) 是偶函數(shù)f(x)在 , 有 4個零點 其中所有正確結(jié)論的編號是 ABf ( x)在區(qū)間( ，)單調(diào)遞增2f ( x)的最大值為 2CDE，A 8 6B 4 6D 6二、填空題：本題共4 小題

5、，每小題 5 分，共 20 分。213曲線 y 3（x2x)ex在點 (0，0) 處的切線方程為14記 Sn 為等比數(shù)列an的前 n 項和若 a1， a4 a6 ，則 S5=315甲、乙兩隊進行籃球決賽， 采取七場四勝制當一隊贏得四場勝利時， 該隊獲勝， 決賽結(jié)束)根據(jù)前期比賽成績， 甲隊的主客場安排依次為主主客客主客主”設甲隊主場取勝的概率為0.6 ，客場取勝的概率為 0.5 ，且各場比賽結(jié)果相互獨立， 則甲隊以 41 獲勝的概率是2216已知雙曲線 C： x2 y2 1(a 0,b 0) 的左、右焦點分別為a2 b2uuur uuur uuur uuuur漸近線分別交于 A，B兩點若 F1

6、A AB， F1B F2B 0，則 C的離心率為 三、解答題：共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第F1，F(xiàn)2，過 F1 的直線與 C的兩條1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。一)必考題：共60 分。17（12 分 ）ABC 的內(nèi)角 A，2B， C的對邊分別為 a， b， c，設 (sin B sinC)22sin A sin BsinC 1)求 A；2）若 2a b2c ，求 sin C12已知三棱錐 P- ABC的四個頂點在球 O的球面上， PA=PB=PC，ABC是邊長為 2 的正三角形，F(xiàn) 分別是 PA， AB的

7、中點， CEF=90°，則球 O的體積為18(12 分)，E，M，N 分別是 BC，BB1，如圖，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD=60A1D的中點( 1)證明： MN平面 C1DE；(2)求二面角 A- MA1- N的正弦值19(12 分)已知拋物線 C：y2=3x的焦點為 F，斜率為 3的直線 l 與C的交點為 A，B，與 x軸的交點為 P2(1)若 | AF|+| BF|=4 ，求 l 的方程；uuur uuur(2)若 AP 3PB，求 | AB| 20( 12 分)已知函數(shù) f(x) sinx ln(1 x)， f (x)為

8、f ( x)的導數(shù)證明：(1) f (x)在區(qū)間 ( 1, ) 存在唯一極大值點；2(2) f ( x)有且僅有 2 個零點21( 12 分) 為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方 案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只 施以乙藥 一輪的治療結(jié)果得出后， 再安排下一輪試驗 當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈 的白鼠多 4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每 輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得 1 分；若施以乙 藥的白鼠治

9、愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得 1分；若都治愈或都未治愈則兩種 藥均得 0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ，一輪試驗中甲藥的得分記為 X( 1)求 X 的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分， pi(i 0,1,L ,8) 表示“甲藥的累計得分為 i時，最 終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0 0 ， p8 1 ， pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7) ， 其中 a P(X1)，b P(X 0)， c P(X 1)假設0.5，0.8(i) 證明： pi 1 pi (i 0,1,2,L ,7) 為等比數(shù)列；(ii) 求 p4

10、，并根據(jù) p4 的值解釋這種試驗方案的合理性(二)選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計 分。22選修 44：坐標系與參數(shù)方程 （10 分）21 t2在直角坐標系 xOy 中，曲線 C的參數(shù)方程為21 t2t 為參數(shù)）以坐標原點 O為極點，x軸4t1 t2的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 2 cos 3 sin 11 0 （ 1）求 C和 l 的直角坐標方程；（ 2）求 C上的點到 l 距離的最小值23選修 45：不等式選講 （10分）已知 a，b， c 為正數(shù)，且滿足abc=1證明1 1 1 2 2 2 ( 1) a2

11、 b2 c2abc33( 2) (a b)3 (b c)3 (ca)3242019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學 ?參考答案一、選擇題1C 2C 3B 4B 5D 6 A 7B 8A 9A 10B 11C 12D二、填空題12113y=3x14150.1816 23三、解答題bc22 22 2 217解：(1)由已知得 sin2 Bsin2Csin2 Asin B sin C ，故由正弦定理得b2c2a2由余弦定理得 cosAb2c2 a22bc因為 0 A 180 ，所以 A 60 2）由（ 1）知 B 120C ，由題設及正弦定理得 2sinA sin 120 C2sinC ，即

12、 26 23 cosC2sinC2sinC ，可得 cos C 60由于 0C 120 ，所以 sinC6022，故sinCsin C 60 60sinC 60 cos60 cosC60sin 6062418解：（ 1）連結(jié) B1C，ME因為M， E分別為 BB1，BC的中點，1 所以 MEB1C，且 ME= B1C21 又因為 N為 A1D的中點，所以 ND= A1D2 由題設知 A1B1 P DC，可得 B1C P A1D，故MEP ND， 因此四邊形 MND為E 平行四邊形， MN ED 又MN 平面EDC1，所以MN平面 C1DE（2）由已知可得 DE DAuuur以D為坐標原點， D

13、A 的方向為 x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D- xyz，則uuur uuuurA(2,0,0) ， A1(2 ，0， 4) ， M (1, 3,2) ， N(1,0,2) ， A1A (0,0, 4) ， A1M ( 1, 3, 2)， uuuur uuuurA1N ( 1,0, 2) ， MN (0, 3,0) uuuurm A1M 0設m (x,y,z)為平面 A1MA的法向量，則uu1ur，m A1 A 0所以 x 3y 2z 0，可取 m ( 3,1,0) 4z 0uuuur n MN 0， 設 n (p,q,r) 為平面 A1MN的法向量，則uuuurn A1N 0所以3

14、q 0， p 2r可取0(2,0, 1) cos m,nmnn|m2 3 15 ，2 5 5所以二面角 AMA110N 的正弦值為 519解：設直線l:y32x t,A x1, y1 ,Bx2,y21)由題設得F 3,0 ，4故 |AF | |BF |x1 x2 3 ，由題設可得 x11 2 2 1x2由y3x23x，可得 9x212(t 1)x 4t 20，則 x1x212(t 1)12(t從而1) 5，得t92所以 l 的方程為 y 3x728uuuruuur( 2)由 AP3PB 可得y13y23t ，可得 yyx 由22 2y2t2y2 3x所以 y1 y22 從而3y2y202 ，故

15、 y22 y代入 C 的方程得 x1 3,x2 11 2 31,y13故|AB|4 13320解：1)設 g(x) f '(x) ，則 g(x) cosx11x， g'(x)sinx1x)2當x1, 時， g'(x)單調(diào)遞減，而 g'(0) 0,g'( ) 0 ，可得22g'(x)在 1,2 有唯一零點，設為(1則當x ( 1, )時， g'(x) 0；當 x , 時， g'(x) 0.2所以 g(x) 在 ( 1, )單調(diào)遞增，在 , 單調(diào)遞減，故 g(x)在 1, 存在唯一極大值 22點，即 f'(x) 在 1, 存在

16、唯一極大值點 .2(2) f(x) 的定義域為 ( 1, ).(i)當x ( 1,0時，由(1)知，f ' (x)在( 1,0)單調(diào)遞增，而 f'(0) 0，所以當 x ( 1,0) 時， f'(x) 0，故 f(x)在( 1,0)單調(diào)遞減，又 f (0)=0，從而x 0是f(x)在( 1,0的 唯一零點.(ii )當x 0, 時，由(1)知，f'(x)在(0, )單調(diào)遞增，在 , 單調(diào)遞減，而 f '(0)=0 ， 2 2 ，f ' 2 0 ，所以存在 ,2 ，使得 f'( ) 0，且當 x (0, ) 時， f'(x) 0；當

17、x , 時， f'(x) 0.故 f(x)在(0, )單調(diào)遞增，在 , 單調(diào)遞減. 22又 f (0)=0 ， f 2 1 ln 1 2 0，所以當 x 0,2 時， f (x) 0.從而， f (x) 在0, 沒有零點 .2(iii )當x , 時，f'(x) 0，所以 f(x)在 , 單調(diào)遞減.而 f0，f( ) 0，2 2 2所以 f(x) 在 , 有唯一零點 .2(iv )當 x ( , )時， ln(x 1) 1，所以 f (x) <0，從而 f(x)在( , )沒有零點 . 綜上， f (x)有且僅有 2個零點.21解： X 的所有可能取值為 1,0,1.P(

18、X 1) (1 ) ，P(X 0) (1 )(1 )，P(X 1) (1 )， 所以 X 的分布列為77（2）（i ）由（ 1）得 a 0.4,b0.5,c0.1.因此 pi =0.4 pi 1+0.5 pi +0.1pi1，故 0.1pi 1pi0.4 pi pi 1 ，即pi 1 pi 4 pi pi 1 .又因為 p1 p0 p1 0 ，所以pi 1 pi(i0,1,2,L ,7） 為公比為 4，首項為（ ii ）由（ i ）可得p8 p8 p7 p7 p6 Lp1p0p0p8 p7 p7 p6 Lp1p0p1的等比數(shù)列48 13 p1由于p8=1 ，故p1348，所以1p4p4 p3p3 p2p2p1p144 1p0 3 p131257p4表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5 ，乙藥治愈率為 0.8 時，認為甲藥更有效的概率為1p4 2570.0039 ，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理22解：（ 1）因為1 t21 t21，且 x21 t21 t24t2t2 21，所以 C的直角坐標方2 程為 x2 y41(x1).l 的直角坐標方程為2x110.2）由（ 1）可設 C的參數(shù)方程為x cosy 2sin為參數(shù)，).C上的點到 l 的距離為 |2cos 2