2018版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案新人教B版選修2-1

1、 第三章 空間向量與立體幾何 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運算法則及運算律 2 掌握空間向量數(shù) 量積的運算及其應(yīng)用， 會用數(shù)量積解決垂直問題、 夾角問題 3 理解空間向量基本定理， 掌握 空間向量的坐標(biāo)表示 4 會用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量 .5.會用向量法解決立體幾何問 題. Q知識梳理 - 知識點一 空間中點、線、面位置關(guān)系的向量表示 設(shè)直線l , m的方向向量分別為 a, b,平面a , 3的法向量分別為 卩，v，貝U 線線平行 l / m? a / b? a= kb, k R 線面平行 l / a ? ? 面面平行 a / 3 ? u / V? 線線垂直 i

2、丄 m? ? 線面垂直 l 丄 a ? a / u ? a= k u , k R 面面垂直 a 丄 3 ? u _Lv? 線線夾角 n l , m的夾角為 0 (0 w B w-)，cos 0 = 線面夾角 n l , a 的夾角為 0 (0 w 0 w-) , sin 0 = 面面夾角 n a , 3 的夾角為 0 (0 W 0 W-) , COS 0 = 知識點二用坐標(biāo)法解決立體幾何問題 步驟如下： (1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2) 寫出相關(guān)點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)； 進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運算； (4) 寫出幾何意義下的結(jié)論. 關(guān)鍵點如下： (1) 選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 坐標(biāo)系的選取很重要，

3、 恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點的坐標(biāo)、 向量的坐標(biāo) 易求且簡單，簡化運算過程. 點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定. 將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題， 必須確定點的坐標(biāo)、 直線 的方向2 向量、平面的法向量，這是最核心的問題. (3) 幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化. 平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決， 如何轉(zhuǎn) 化也是這類問題解決的關(guān)鍵. 題型探究 類型一空間向量及其運算 例 1 如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面ABCD是邊長為 1 的正方形，S到A B C D的距離 都等于 2.給出以下結(jié)論： A SB+ sCr SD- o ； sA+ SB- SC- SD- o ； SA- SB+ SC- SD-

4、 o ； SA- SB= SC- SD SA- SC= o. 其中正確結(jié)論的序號是 _ . 反思與感悟 向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形 法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義. 1 跟蹤訓(xùn)練 1 如圖，在平行六面體 ABCDABCDh, M分AC成的比為，N分AD成的比為 2, 設(shè)AB= a, AD- b, AA = c,試用 a、b、c表示 MN 類型二 利用空間向量解決位置關(guān)系問題 例 2 四棱錐 iABC中, PC!平面 ABCD ABC是正方形，E是PA的中點，求證: 3 (1) PC/平面 EBD (2) 平面PBCL平面PCD4

5、 (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為 量，借助方向向量所成角求解. 0 0 |，求 (3) 二面角：如圖，有兩個平面 a與B ,分別作這兩個平面的法向量 ni與住，則平面a與 3所成的角跟法向量 ni與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍 角. 跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，在幾何體 ABCD中，四邊形 ABC是矩形，AB丄平面BEC BE! EC, AB= BE= EC= 2, G, F分別是線段BE DC的中點. (1)求證：GF/平面ADE 求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值. 葩當(dāng)堂訓(xùn)練 - 1 1. 已知空間四邊形 ABCD G是 CD的中點，貝 U

6、XB+ 2(BD BC等于( ) T T T 1T A.AG B. CGC. BC D. ?BC 2. 若a= (0 , 1, 1) , b= (1 , 1, 0)，且(a+入b)丄a,則實數(shù) 入的值是( ) A. - 1 B . 0 C . 1 D . 2 3 .已知向量 a= (4 2m m 1, m 1)與 b= (4 , 2 2m, 2 2n)平行，則 m= _ . 4. 已知平面 a經(jīng)過點00 , 0, 0)，且e= (1 , 1, 1)是a的一個法向量，Mx, y, z)是平 面a內(nèi)任意一點，貝 y x, y, z滿足的關(guān)系式是 _ . 5. 已知空間三點 A 2, 0, 2) ,

7、 B( 1 , 1, 2) , q 3 , 0 , 4)，設(shè) a= AB b = AC (1)若 |c| = 3,且 c / E3Q 求向量 c； 6 求向量a與向量b的夾角的余弦值. 廠規(guī)律與方法 - 1 解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法幾何法以邏輯推理作 為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運算來解 決問題坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用. 提醒：完成作業(yè) 第三章章末復(fù)習(xí)課7 知識梳理 知識點一 解析 容易推出SA SB+ d SD= A& DC= o,所以正確；又因為底面 ABC是邊長為 i 的 正方形，SA= S

8、B= SC= SD= 2,所以 SA- SB= 2 2 cos/ ASB sC- SD= 2 2 cos/ CSD 而 / ASB=Z CSD于是SA- SB= SC- SD因此正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號 是. 跟蹤訓(xùn)練 1 解連接AN 則祈=航唏AN 由已知ABCD1平行四邊形, 故 AC= AB+ AD= a + b , 由已知，N分AD成的比為 2,故 - - - - - - 1 - AN= AD DN= AD- ND= AD- 3A1D 3 =3(c + 2 b) 于是 AN= AAFAN 1 1 =-3(a+ b) + 32+ 2b) 1 =3( a+ b+ c) 合案

9、精析 a丄卩 a (1 = 0 ab = 0 1 v = 0 I 1 v| I 1 II v| 題型探究 例 1 1 = kv, k R a 丄 I a b| | a i | I a| b| IaII i I 又M分AC成的比為-, i 3( a+b) 8 例 2 證明 如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以 DC DA DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建 立空間直角坐標(biāo)系. a b 設(shè) DC= a, PD= b,則 D(0, 0, 0) , C(a, 0, 0) , 0a, a, 0) , RO , 0, b), E(0,引. T a b T (1) DE= (0 , 2, R , DB- (a, a

10、, 0). 人 小 a 令 x = 1，得 n-(1 , - 1, b), 因為PC- n- (a, 0,- b) - (1 , - 1, ) -0, 所以PCL n,故PC/平面EBD 由題意得平面 PDC的一個法向量為DA- (0 , a, 0), 又PB= (a, a, - b) , PC-(a, 0,- b), 設(shè)平面PBC的一個法向量為 m- (X1, y1, z, ax1 + ay1 bz1- 0, 即 ax1 bz1 - 0, a 得 y1 = 0，令 X1= 1,貝 U Z1 , 所以 m= (1 , 0, a), 因為 DA- m= (0 , a , 0) - (1 , 0

11、,啟-0 , 所以dAL m即平面 PBCL平面PCD 跟蹤訓(xùn)練 2 證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz設(shè)平面EBD的一個法向量為 n=(x, y, z)，則 DE DB n= 0, n= 0, a b 2y+2z- 0 , ax+ ay- 0. 則陽吩0, PC- m= 0, 9 作 EML AB,垂足為 M 貝U AM= AE= 4, EM= AA= 8. 因為EHGI為正方形， 設(shè)正方體棱長為 1，則 E 1, 1, D(0, 0, 1 2， 1), A(1 , 0, 0), 1 2， 1 .設(shè) m= (X1, y1, Z1), n= (X2, y2, Z2）分別是平面 AED和AF

12、D的一個法向量, m- 由 DA= , m- SE= 0, | Xi = 0, 得 1 - X1 + y1 + 尹=0. 令 y1= 1，得 m= (0 , 1, 2). DA= 0, DF= 0, X2= 0 , 得蘇-Z2= 0. 令 Z2= 1，得 n= (0 , 2, 1). - m- n= (0 , 1, 2) - (0 , 2, 1) = 0, /. m丄n,故平面 AEDL平面 AFD. 例 3 解(1)交線圍成的正方形 EHGF如圖所示, 10 所以 EH= EF= BC= 10. 于是 MH= ,EH ElM= 6, 所以AH= 10.11 以D為坐標(biāo)原點，DA的方向為x軸正

13、方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Dxyz,則A(10 , 0，0)，H(10，10，0), E(10 , 4, 8) , RO, 4, 8) , FE= (10 , 0, 0), Ffe= (0，- 6, 8). 設(shè)n = (x, y, z)是平面 EHGF勺法向量, 10 x= 0, 即 6y + 8z= 0, 跟蹤訓(xùn)練 3 方法一 (1)證明如圖，取AE的中點H,連接HG HD 又G是BE的中點， 1 所以 GH/ AB 且 GH=AB 2 又F是CD的中點， 1 所以DF= ?CD 由四邊形ABCDI矩形， 得 AB/ CD A* CD 所以 GH/ DF,且 GH= D| 從而四邊

14、形HGFDI平行四邊形，所以 GF/ DH 又DH?平面ADE GF?平面ADE 所以GF/平面ADE 解 如圖，在平面BEC內(nèi) ,過B點作BQ/ ECn FE= 0, 則 n l?E= 0, 7 所以可取 = n, Xh | =In AF I nll XF 4,5 15 . 所以AF與平面EHGI所成角的正弦值為 4,5 15 . 12 因為BH CE所以BQL BE 又因為ABL平面BEC所以AB丄BE ABL BQ 以B為原點，分別以BE, BQ BA的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系, 則 A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0）， F（2，2，1）. 因為

15、ABL平面BEC所以E3A= （0 , 0, 2）為平面BEC的法向量設(shè) n= （x, y, z）為平面AEF 的法向量. 又AE= (2 , 0,- 2) , AF= (2 , 2,- 1), 2x 2z= 0, 得 V 2x + 2y z = 0. 取 z = 2，得 n= (2 , 1, 2). 值為 f. 又G是BE的中點，可知GM/ AE 又AE?平面ADE GM平面ADE 所以GM平面ADE 在矩形ABC曲，由 M F分別是AB CD的中點得 MF/ AD 又AD?平面ADE MF?平面ADE n AE= 0, 由 n XF= 0, 從而|cos n, BA | =1!1單= |n | !BA 4 2 23 = 3，所以平面 AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦 方法 （1）證明 如圖，取 AB中點M連接MG MF 13 所以MF/平面ADE 又因為GMP M= M GM平面GMF MF?平面GMF14 所以平面GMW平面ADE 因為GF?平面GM, 所以GF/平面ADE (2)同方法一. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 . A 2.D 3.1 或 3 4. x+ y + z = 0 5 解T c / BC 存在實數(shù)m 使得 c= mBO= m 2, 1, 2)