《電機數(shù)學模型與仿真分析》開卷試題

1、華 中 科 技 大 學研究生課程考試答題本考生姓名 考生學號 系、年級 類 別 考試科目 考試日期 年 月 日華中科技大學研究生課程考試電機數(shù)學模型與仿真分析開卷試題試題： 一臺繞線型感應電動機，定轉子均為三相對稱繞組，不考慮開槽和諧波磁勢的影響，不計磁路飽和，參考正向自行規(guī)定。1. 選擇適當坐標系，使其各電感系數(shù)均為常數(shù)，寫出相應定轉子變換矩陣，并畫出相應坐標系下的物理模型，寫出在此坐標系下的電壓、磁鏈基本方程式以及變換前后的電感系數(shù)表達式。2. 若采用xad基值系統(tǒng)，利用此標幺值基本方程，畫出相應的運算電路，并討論其在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)分析中的應用。3. 利用適合的坐標系模型方程，求解感應電動機正

2、常穩(wěn)態(tài)運行時的電流、電磁轉矩表達式、導出相應的等效電路，并與電機學的結果進行分析對比。4. 假設該電機在理想空載下（定子加額外對稱電壓、轉差率為0、三相電流為0），電機端發(fā)生三相對稱突然短路，選擇適當坐標系下的模型，利用解析法導出并分析定子電流的變化規(guī)律（假設在此變化過程中轉速不變）。I華中科技大學研究生課程考試第一問解答一、在相坐標系統(tǒng)中的方程式 1. 正方向確定和簡化假設 本題規(guī)定線圈軸線的正向即使該磁場軸線的正方向，電流正方向為產生正向磁鏈的電流方向，回路兩端的電壓正方向符合電動機慣例。則有：k=Lkik，uk=pk+ikrk 為了簡化分析，本題做出如下假設：（1） 電機鐵磁部分的磁路為

3、線性，即不計磁路飽和；（2） 不考慮開槽和諧波磁勢的影響；（3） 定轉子均為三相對稱繞組。 2. 電壓方程式和磁鏈方程式圖1 感應電機 設電機的定子三相繞組軸線為A、B、C，則在空間上固定，以A軸為參考坐標軸：轉子繞組軸線a、b、c隨轉旋轉，轉子a軸和定子A軸間的電角度為空間角位移變量。（1）定子A、B、C三相繞組的電壓方程式可表示為： 轉子a、b、c三相繞組的電壓方程式可表示為：（2） 磁鏈方程為：二、 感應電機的自感系數(shù)與互感系數(shù) 1. 定、轉子繞組自感系數(shù) 首先分析定子A相繞組的自感系數(shù)LAA。當繞組匝數(shù)一定時，LAA的大小主要決定于磁路磁導的大小，其值等于漏電感LAAl與主電感LAA之

4、和。由于忽略開槽和諧波影響，則感應電機具有均勻的空氣隙，各相自感系數(shù)與位置角無關，為常數(shù)，即： LAA=LAAl+LAA同理可得B、C相繞組的自感系數(shù)，由于A、B、C三相對稱，三個自感大小相同，不妨統(tǒng)一為LAA=LAAl+LAA。 改變下標可得轉子三相繞組的自感系數(shù)Laa=Laal+Laa。2. 定子（轉子）兩相繞組間的互感系數(shù) 定子三相繞組結構相同，但繞組軸線在空間上互差120度電弧度。以A、B相為例，兩相間的互感系數(shù)MAB分為兩部分，一部分為不通過氣隙的漏磁通相對應的互感系數(shù)-MABl；另一部分為與通過氣隙的主磁通相對應的互感系數(shù)MAB。由于忽略開槽和諧波影響，則感應電機具有均勻的空氣隙，

5、兩者均為常數(shù)。其中由于繞組軸線在空間上互差120度電弧度MAB=-0.5LAA。即：MAB=-MABl-0.5LAA同理可得另兩組兩相繞組間互感系數(shù)，由于A、B、C三相對稱，互感系數(shù)相同，不妨為 MAB=-MABl-0.5LAA。 改變下標可得轉子三相繞組每兩相間的互感系數(shù)Mab=-Mabl-0.5Laa。3. 定轉子繞組間的互感系數(shù) 轉子a相通過單位電流時產生的與定子A相繞組交鏈的互感磁鏈即為定子繞組與勵磁繞組間的互感系數(shù)MAa。當a軸與A相繞組軸線重合時，互感磁鏈為正的最大值；a軸轉過90度后，兩軸線正交，互感磁鏈為零；當兩軸線反向時，互感磁鏈為負的最大值；轉過270度時，兩軸線正交，互感

6、磁鏈為零。因此，一般情況下有：MAa=MaA=MAa0cos+MAa3cos3+··· 當只考慮基波磁通時，互感系數(shù)有：MAa=MaA=MAa0cos 定子B、C相與轉子a相軸線初始角分別為-120度、120度，且互感系數(shù)幅值同A相，故：MBa=MaB=MAa0cos(-120)MCa=MaC=MAa0cos(+120)同理改變相對初始角的大小即可得到A、B、C繞組與b、c繞組間的互感系數(shù)如下：3MAb=MbA=MAa0cos(+120)MBb=MbB=MAa0cosMCb=MbC=MAa0cos(-120)MAc=McA=MAa0cos(-120)MBc=McB

7、=MAa0cos(+120)MCc=McC=MAa0cos13將磁鏈方程式帶入電壓方程式，可得三相感應電機在相坐標系中的電壓方程式： 其中，LABC、Labc為常系數(shù)矩陣；LA-a與La-A互為轉置，且為變系數(shù)矩陣，包含的互感系數(shù)與定轉子軸線夾角有關。3、 感應電機坐標系變換后的電壓方程式和磁鏈方程式 由于部分繞組的電感系數(shù)是轉子的位置角的函數(shù)。采用坐標變換，使電感系數(shù)變?yōu)槌?shù)。本題將原來靜止的定子繞組A、B、C相軸線采用與轉子同速旋轉的d、q軸線及獨立的零軸線的d、q、0坐標系代替；將旋轉的轉子繞組a、b、c相軸線用同樣的d、q、0坐標系代替。用下表s、r分別表示定子、轉子量。1. 定子繞組

8、變換矩陣 2. 轉子繞組變換矩陣 3. 變換后的磁鏈方程式 所以經過坐標變換后的磁鏈方程式為：4. 變換后的電壓方程式 其中，第一項： 第二項： 又因為定轉子變換后的所以經過坐標變換后的磁鏈方程式為：4、 感應電機的物理模型 由上述的推導得出感應電機在d、q、0坐標系統(tǒng)中的物理模型如圖2所示。圖2 感應電機物理模型第二問解答一、標幺值基本方程1. 簡化方程 經過變換后，定轉子的零軸分量與d、q軸無耦合，下面的分析過程將不考慮，則磁鏈方程式與電壓方程式變?yōu)椋?其中，Ls=LAA-MAB=LAAl+LAA+MABl+0.5LAA=LAAl+MABl+1.5LAA=Lsl+Lsr；Ls=Laal+M

9、abl+1.5Laa=Lrl+Lsr；Msr=1.5MAa0。2. xad基值系統(tǒng) 本題采用xad基值系統(tǒng)列寫方程。在該系統(tǒng)中，電樞d繞組自感中對應與主磁場的那部分Lsr的標幺值，電樞d繞組與轉子d繞組互感Msr的標幺值相等，即 考慮到電感的標幺值與額定頻率下相應的電抗的標幺值在數(shù)值上相等，即 所以標幺值磁鏈方程為 其中： 電磁轉矩公式為：2、 等效運算電路1. 等效運算電路及運算電抗 一般情況下，我們關心電樞繞組各量的變化，即從電樞繞組的端口看，能反應瞬態(tài)方程的等效電路和等效阻抗。由于繞線式感應電機轉子繞組在啟動后一般短接，相當于阻尼繞組，在坐標變換后，即為dr軸Q軸的阻尼繞組。從磁鏈方程和

10、電壓方程來看，轉子dr軸、qr軸所有參數(shù)相等，計算的等效運算電路和運算電抗相同。下面以dr軸進行分析。（下面分析中都為標幺值系統(tǒng)，上標“*”省略。）經拉氏變換后：又因為畫出相應的直軸等效運算電路如圖3。利用戴維寧定理，得到短路阻抗：同理可得交軸等效運算電路如圖3。利用戴維寧定理，得到短路阻抗：圖3 感應電機運算等效電路2. 運算電抗特性 根據拉氏變換終值定理，當中的p趨向于零時，t趨向于無窮大，即感應電機穩(wěn)態(tài)運行時所呈現(xiàn)的同步電抗： 根據拉氏變換終值定理，當中的p趨向于無窮大時，t趨向于零，即感應電機的瞬變電抗：第三問解答一、F、B、0坐標系統(tǒng)變換1. 根據F、B、O與d、q、0坐標系變換關系

11、式。 則有： 下面將d、q、0坐標下的磁鏈方程和電壓方程式轉換到F、B、0坐標下。2. 磁鏈方程式：3. 電壓方程式： 所以變換后，電壓方程式為 將磁鏈方程式代入電壓方程式，并利用上述電壓方程uFs和uFr的兩個方程可求解出未知變量iFs、iFr。根據iBs、iBr分別與iFs、iFr共軛，可得到iBs、iBr。4. 電磁轉矩表達式：二、 感應電機的穩(wěn)態(tài)運行感應電機穩(wěn)態(tài)運行時在三相對稱電壓下以恒定轉差率s旋轉的穩(wěn)定運行。1. 穩(wěn)態(tài)電流 已知定子a相端電壓為： 根據坐標變換，且得到F、B、0坐標系統(tǒng)的電壓： 則 同理可得 則電壓磁鏈方程為 將代入運算方程，得 解得電流為 其中 則電磁轉矩 其中 令，并忽略和 則有 得電磁轉矩為 運算電路如圖4圖4電機學中 兩者形式相同，相差一個系數(shù)，本題得到的是標幺值形式，所以兩者相差一個相當于轉矩基值得系數(shù)。第四問解答1、 短路前的穩(wěn)態(tài)電流 短路前為理想空載運行，轉差率s為0，定子外加三相對稱電壓。若選取短路瞬間為時間起點，則定子a相電壓為： 則復數(shù)坐標表示有： 則短路前三相電流為：2、 突然反向電壓引起的增量電流 根據疊加原理，突然反向電壓引起的增量電流，其初始值為零。由第三問的定子電壓方程式及磁鏈方程式，可得增量電流的運算表達式為： 突然加反