121多邊形(基礎(chǔ))

1、1.21多邊形(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解多邊形的概念；2. 掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3. 靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問(wèn)題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進(jìn)一步培 養(yǎng)說(shuō)理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、多邊形的概念1. 定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.其中，各個(gè)角相等、 各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.2. 相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成

2、的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.3. 多邊形的分類(lèi):畫(huà)出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊 形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形.如圖：凹多邊形”，“各角相等”兩個(gè)條件；二者缺一不可;過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(葉3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為匸儀一3)；2(3)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形.知識(shí)點(diǎn)二、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為(n2)180° (1123)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 內(nèi)角和定理的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和

3、；已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于("一2)口180° 知識(shí)點(diǎn)三、多邊形的外角和多邊形的外角和為360° .要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于 360° ,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；(2) 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于型(3) 多邊形的外角和為360。的作用是：已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；已知多邊形邊數(shù)求各相等外 角的度數(shù).【典型例題】類(lèi)型一、多邊形的概念” 1.如圖，在六邊形abcdef中，從頂點(diǎn)a出發(fā)，可以畫(huà)幾條對(duì)角線？它

4、們將六邊形abcdef分成哪幾 個(gè)三角形？【答案與解析】解：如圖，p從頂點(diǎn)a出發(fā)，可以畫(huà)三條對(duì)角線，它們將六邊形abcdef分成的三角形分別是：aabc、acd、aade. aaef.【總結(jié)升華】從一個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)(n-3)<,分成的三角形數(shù)是個(gè)數(shù)(n-2)個(gè).舉一反三：【變式】過(guò)正十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，一個(gè)正十二邊形共有條對(duì)角線【答案】9, 54o類(lèi)型二、多邊形內(nèi)角和定理v 2.證明：n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180° (心3).【思路點(diǎn)撥】先寫(xiě)出已知、求證，再畫(huà)圖，然后證明.【答案與解析】已知：n邊形a1a2an,求證：zai+za2+z

5、an=180° ,證法一：如圖所示，在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)0,連0與各頂點(diǎn)的線段把n邊形分成了 n個(gè)三角形，n個(gè)三角形 內(nèi)角和為n180° ,減去以0為公共頂點(diǎn)的n個(gè)角的和2x180° (即一個(gè)周角)得n邊形內(nèi)角和為n180° -2 x180° - (n-2) 180° .4”4”證法二：如圖(2)所示，過(guò)頂點(diǎn)a|作對(duì)角線，把】1邊形分成了(曠2)個(gè)三角形，這(】2)個(gè)三角形的內(nèi)角和恰是 多邊形的內(nèi)角和,bp(n-2)180° .方法三：如圖(3)所示，在多邊形邊上任取一點(diǎn)p,連這點(diǎn)與各頂點(diǎn)的線段把n邊形分成了(n-l)個(gè)三角形

6、，n 邊形內(nèi)角和為這(n-1)個(gè)三角形內(nèi)角和減去在點(diǎn)p處的一個(gè)平角，即(n-l)180。-180° = (n-2)18()。.【總結(jié)升華】證明多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行證明.舉一反三：【變式】練習(xí)：求下列圖中的兀的值.【答案】(1) z+z +140° + 90° = 360° x = 65(2) x°4- 2x +150° +120° +9(t =3x180°/.兀=60>3.佇波市)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720° ,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()a. 4 b. 5 c.

7、 6 d. 7【答案】c【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則有：(n-2) xi80° =720° ,n=6.【總結(jié)升華】已知邊數(shù)，求內(nèi)角和，是求代數(shù)式(n-2) x 180°的值；已知內(nèi)角和求邊數(shù)，可先設(shè)出邊數(shù),根據(jù)內(nèi)角和列出方程求解.舉一反三：【變式】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是【答案】5類(lèi)型三、多邊形的外角和zl=90° ,張老師沿公園邊由a點(diǎn)經(jīng)b-c-d-e-f散步，則張老師共a. 440° b. 360° c. 260° d. 270°【思路點(diǎn)撥】解答該問(wèn)題中應(yīng)注

8、意張老師沒(méi)轉(zhuǎn)過(guò)與z1相鄰的這個(gè)外角，所以用五邊形的外角和減去它即得答 案，【答案】d【解析】解：360° -(180° -90° )=270° ,所以張老師共轉(zhuǎn)了 270° ,故應(yīng)選d.【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵同樣是把生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在散步之中感悟數(shù)學(xué)知識(shí).其中蘊(yùn)含了 多邊形的外角和為36()。的有關(guān)知識(shí).舉一反三：【答案】：如圖,【變式1】如圖，一輛小汽車(chē)從p市出發(fā)，先到b市，再到c市，再到a市，最后返回p市，這輛小汽車(chē)共轉(zhuǎn) 了多少度角？當(dāng)小汽車(chē)從p出發(fā)行駛到b市，由b市向c市行駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是a,由c市向a市行駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是0, d

9、ha市向p市行駛時(shí)轉(zhuǎn)的角是y.因此，小汽車(chē)從p市出發(fā)，經(jīng)b市、c市、a市，又回到p市，共轉(zhuǎn)4 + 0+7=360”.【變式2】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.【答案】12【變式3】（安徽蕪湖）一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都是36°這個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是【答案】144°【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有對(duì)角線（）a. （n2）條b. （n-3）條c. （11t）條d. （n-4）條2. 如圖，圖中凸四邊形有（）a. 3個(gè) b. 5個(gè) c. 2個(gè) d. 6個(gè)3. 下列圖形中，是正多邊形的是（）a. 三條邊都相等的

10、三角形b. 四個(gè)角都是直角的四邊形c. 四邊都相等的四邊形d. 六條邊都相等的六邊形4. 四邊形的內(nèi)角和等于（）a. 180° b. 270° c. 360° d. 150°5. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為2520° ,這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）a. 12 b. 13 c. 14 d. 156. 當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，它的內(nèi)角和與外角和 （）a. 都不變b. 內(nèi)角和增加180° ,外角和不變c. 內(nèi)角和增加180° ,外角和減少180°d. 都增加180°7. （湖南郴州）如圖所示，一個(gè)直角三角形紙片

11、，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，則z1 + z2的度數(shù)為（）a. 135° b. 240° c. 270° d. 300°二、填空題8. 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)等于與其鄰角的度數(shù)的丄，則這個(gè)多邊形是邊形.39. 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條對(duì)角線，從n邊形n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條對(duì)角線，除去重復(fù)作的對(duì)角線，貝山邊形的對(duì)角線總數(shù)為條.10. 在有對(duì)角線的多邊形中，邊數(shù)最少的是邊形，它共有條對(duì)角線.11. 若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是.12. 個(gè)多邊形的內(nèi)角和為5040° ,則這個(gè)多邊形是邊形，共有條對(duì)角線.三、解答題13. 已知

12、多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù).14. 如圖所示，根據(jù)圖中的對(duì)話回答問(wèn)題.問(wèn)題：（1）王強(qiáng)是在求幾邊形的內(nèi)角和?不對(duì)呀!仔細(xì)檢杳一下. /看!你少加了一個(gè)內(nèi)角.小軍（2）少加的那個(gè)內(nèi)角為多少度?15如圖，某學(xué)校一塊草坪的形狀是三角形（設(shè)其為aabc）.李俊同學(xué)從bc邊上的一點(diǎn)d出發(fā)，沿dc-ca-ab-bd的方向走了一圈回到點(diǎn)d處.問(wèn)：李俊從出發(fā) 到回到原處在途中身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度是多少?【答案與解析】 一、選擇題1. 【答案】b ；2. 【答案】a；【解析】四邊形abod、abco、abcd3. 【答案】a ；【解析】正多邊形：各邊都相等，各角都相等4. 【答案】c；【解析】代入公式進(jìn)行計(jì)算即可5. 【答案】c：【解析】由180-2）+ 360 = 2520,解得：n = 146. 【答案】b；【解析】當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，內(nèi)角和增加180° ,外角和不變7. 【答案】c；二、填空題 &【答案】八.i7 ac?！窘馕觥吭O(shè)每個(gè)外角為兀,則“一)與解得",而多邊形邊數(shù)“才9.【答案】n-3 n(n-3)- 3)210.【答案】四，2;11.【答案】4；12.【答案】三十,405：三、解答題13.【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意，有:n = 2(n-3