雙曲線的性質(zhì)

1、2.2.22.2.2雙曲線簡(jiǎn)單雙曲線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)(1)(1)222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（2aa0e 1e e是表示雙曲線開(kāi)口大小的一個(gè)量是表示雙曲線開(kāi)口大小的一個(gè)量,e,e越大開(kāi)口越大越大開(kāi)口越大! !（1）定義：）定義：（2）e e的范圍的范圍：（3）e e的含義：的含義：1e1)ac(aacab2222 也也增增大大增增大大且且時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ab,e), 0(ab), 1(e 的的夾夾角角增增大大增增大大時(shí)時(shí)，漸漸近近線線與與實(shí)實(shí)軸軸e5 5、離心率、離心率ace 222bac二四個(gè)參數(shù)中，知二可求、在ecba（4）等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率

2、e= ?2( 5 )的雙曲線是等軸雙曲線離心率2e 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：12222 byax1、 范圍：范圍：xa或或x-a2、對(duì)稱性：、對(duì)稱性：關(guān)于關(guān)于x軸，軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱。軸，原點(diǎn)對(duì)稱。3、頂點(diǎn)、頂點(diǎn):A1（-a，0），），A2（a，0）4、軸：實(shí)軸、軸：實(shí)軸 A1A2 虛軸虛軸 B1B25、漸近線方程：、漸近線方程：6、離心率：、離心率： e=acbyxa xyOxaby xabyxyo-aab-b（1）范圍）范圍:ayay,（2）對(duì)稱性）對(duì)稱性:關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱軸、原點(diǎn)都對(duì)稱（3）頂點(diǎn)）頂點(diǎn)

3、: (0,-a)、(0,a)（4）漸近線）漸近線:xbay（5）離心率）離心率:ace 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸、原點(diǎn)對(duì)稱) 1( eace漸進(jìn)線xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,

4、c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或) 1( eacexaby例例1 1、求下列雙曲線的漸近線方程、求下列雙曲線的漸近線方程 (1)4x(1)4x2 29y9y2 2=36, =36, (2)25x (2)25x2 24y4y2 2=100.=100.2x3y=05x2y=0例例2 :求雙曲線求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)的實(shí)半軸長(zhǎng),虛半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng),焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率離心率.漸近線方程。漸近線方程。解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得可得:實(shí)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)a=4虛半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng)b=3半焦距半焦距c=焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5),(0,5)離心率離心率:漸近線方程漸近線方程:14

5、416922 xy1342222 xy53422 45 acexy3412222byax的方程為解：依題意可設(shè)雙曲線8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx雙曲線的方程為xy43漸近線方程為)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦點(diǎn).4516線和焦點(diǎn)坐標(biāo)程，并且求出它的漸近出雙曲線的方軸上，中心在原點(diǎn)，寫(xiě)焦點(diǎn)在，離心率離是已知雙曲線頂點(diǎn)間的距xe 例例3:1、若雙曲線的漸近線方程為、若雙曲線的漸近線方程為 則雙曲線則雙曲線的離心率為的離心率為 。2、若雙曲線的離心率為、若雙曲線的離心率為2，則兩條漸近線的夾角，則兩條漸近線的夾角為為 。4,3yx 3

6、3、求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過(guò)、求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P ( 1, P ( 1, 3 ) 3 ) 且離心率為且離心率為 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程方程. .2 與雙曲線與雙曲線221916xy 有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)( 3,2 3) ； 與雙曲線與雙曲線221164xy有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3 2,2) 例例4 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：例例4 :4 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 共漸近線的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程: :法二：法二：巧設(shè)方程巧設(shè)方程,運(yùn)用待定系數(shù)法運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)雙曲線

7、方程為設(shè)雙曲線方程為 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944雙曲線的方程為xy例例4 :4 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)0(2222byax例例4 :4 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例例4 :4 :求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)論結(jié)論:與雙曲線與雙曲線 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為程表示為22221(0,0)xyabab2222221()xybaab法二：法二：設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為221164xykk 16040kk 且且221128xy 雙曲線方程為雙曲線方程為22(3 2)2

8、1164kk ,解之得解之得k=4,1、“共漸近線共漸近線”的雙曲線的雙曲線222222221(0)xyxyabab 與共漸近線的雙曲線系方程為， 為參數(shù) ，0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；0表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；a0)，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡的軌跡.cx2aacM解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x,y)到到l的距離為的距離為d，則，則|MFcda 即即222()xcycaaxc 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得(c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 設(shè)設(shè)c2a2 =b2，22221xyab (a0,b0)故點(diǎn)故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為的軌跡為實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)分別為2a

9、、2b的雙曲線的雙曲線.222()|axcyacx 22224222(2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a2b2即即就可化為就可化為:M點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡也包括雙的軌跡也包括雙曲線的左支曲線的左支.一、雙曲線的第二定義一、雙曲線的第二定義 一、雙曲線的第二定義一、雙曲線的第二定義 平面內(nèi)，若平面內(nèi)，若定點(diǎn)定點(diǎn)F不在定直線不在定直線l上，則到定點(diǎn)上，則到定點(diǎn)F的的距離與到定直線距離與到定直線l的距離比為常數(shù)的距離比為常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是的點(diǎn)的軌跡是雙曲線雙曲線。 定點(diǎn)定點(diǎn)F是是雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做，定直線叫做雙曲線雙曲線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線，常數(shù)，常數(shù)e是是雙曲線的離

10、心率雙曲線的離心率.對(duì)于雙曲線對(duì)于雙曲線22221xyab 是相應(yīng)于右焦點(diǎn)是相應(yīng)于右焦點(diǎn)F(c, 0)的的右準(zhǔn)線右準(zhǔn)線類似于橢圓類似于橢圓2axc 是相應(yīng)于左焦點(diǎn)是相應(yīng)于左焦點(diǎn)F(-c, 0)的的左準(zhǔn)線左準(zhǔn)線2axc xyoFlMF2axc l2axc 點(diǎn)點(diǎn)M到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離之比也滿足第二定義離之比也滿足第二定義.想一想：想一想：中心在原中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上軸上的雙曲線的準(zhǔn)線的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？方程是怎樣的？xyoF相應(yīng)于上焦點(diǎn)相應(yīng)于上焦點(diǎn)F(c, 0)的是的是上準(zhǔn)線上準(zhǔn)線2yac 2yac 相應(yīng)于下焦點(diǎn)相應(yīng)于下焦點(diǎn)F(-c, 0)的是的是下準(zhǔn)線

11、下準(zhǔn)線2yac 2yac F例例2 2、點(diǎn)、點(diǎn)M M（x,yx,y）與定點(diǎn)）與定點(diǎn)F F（5,05,0），的距離），的距離和它到定直線：和它到定直線： 的距離的比是常的距離的比是常數(shù)數(shù) , , 求點(diǎn)求點(diǎn)M M的軌跡的軌跡. .l165x 54例例3、 已知雙曲線已知雙曲線221,169xy F1、F2是它的左、右焦點(diǎn)是它的左、右焦點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(9,2), 在曲線上求點(diǎn)在曲線上求點(diǎn)M，使，使 24|5MAMF 的值最小的值最小,并求這個(gè)最小值并求這個(gè)最小值.xyoF2MA165x 由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,雙曲線的右準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線為l:54e 作作MNl, A

12、A1l, 垂足分別是垂足分別是N, A1,N2|5|4MFMN 24| |5MFMN A124| |5MAMFMAMN 1|AA 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)M是是 AA1與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),令令y=2, 解得解得:4 132x 4 13,2 ,3M 即即 29.5最最小小值值是是歸納總結(jié)歸納總結(jié)1. 雙曲線的第二定義雙曲線的第二定義 平面內(nèi)，若平面內(nèi)，若定點(diǎn)定點(diǎn)F不在定直線不在定直線l上，則到定點(diǎn)上，則到定點(diǎn)F的的距離與到定直線距離與到定直線l的距離比為常數(shù)的距離比為常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是的點(diǎn)的軌跡是雙曲線雙曲線。 定點(diǎn)定點(diǎn)F是是雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做，定直線

13、叫做雙曲線雙曲線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線，常數(shù)，常數(shù)e是是雙曲線的離心率雙曲線的離心率。2. 雙曲線的準(zhǔn)線方程雙曲線的準(zhǔn)線方程對(duì)于雙曲線對(duì)于雙曲線22221,xyab 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為2axc 對(duì)于雙曲線對(duì)于雙曲線22221yxab 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為2ayc 注意注意: :把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類比把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類比.橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交二、直線與雙曲線的位置關(guān)系二、直線與雙曲線的位置關(guān)系 1) 1) 位置關(guān)系種類位置關(guān)系種類XYO種類種類:相離相離;相切相切;

14、相交相交(0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)) 2)2)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)XYOXYO相離相離:0:0個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交:兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切:一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)3)3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相

15、交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0 直線與雙曲線相離直線與雙曲線相離特別注意直線與雙曲線的特別注意直線與雙曲線的位置關(guān)系中：位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支兩解，兩解不一定同支例例1.已知直線已知直線y=kx-1與雙曲線與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)試討論實(shí)數(shù)k的取的取值范圍值范圍,使直線與雙曲線使直線與雙曲線(1)沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn); (2)有兩個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn); (4)交于異支兩點(diǎn)；交于異支兩點(diǎn)；(5)與左支交于兩點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn).(3)k=1，或，或k= ；52(4)

16、-1k1 ；(1)k 或k ；525252(2) k ；52125- k1 k且且1.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(1,1)與雙曲線與雙曲線 只有只有共有共有_條條. 變題變題:將點(diǎn)將點(diǎn)P(1,1)改為改為1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的答案又是怎樣的?4116922yx1.兩條兩條;2.三條三條;3.兩條兩條;4.零條零條.交點(diǎn)的交點(diǎn)的一個(gè)一個(gè)直線直線XYO（1，1）。2.雙曲線雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)異于頂點(diǎn)),則直線則直線PF的斜率的變化范圍是的斜率的變化范圍是_01，3.過(guò)原

17、點(diǎn)與雙曲線過(guò)原點(diǎn)與雙曲線 交于兩點(diǎn)的直線斜率的交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是取值范圍是 13422yx32 3，2例例1、如圖，過(guò)雙曲線、如圖，過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)傾斜角為傾斜角為 的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求|AB|。22136xy2,F30三、弦長(zhǎng)問(wèn)題三、弦長(zhǎng)問(wèn)題1927韋達(dá)定理與點(diǎn)差法韋達(dá)定理與點(diǎn)差法例例.已知雙曲線方程為已知雙曲線方程為3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡；為斜率的弦的中點(diǎn)軌跡； (2)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)B(2,1)的弦的中點(diǎn)軌跡；的弦的中點(diǎn)軌跡； (3)以定點(diǎn)以定點(diǎn)B(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為中點(diǎn)的弦所在的直線方程. (4)以定點(diǎn)以定點(diǎn)(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？說(shuō)明理由；為中點(diǎn)的弦存在嗎？說(shuō)明理由；2211492454xye、求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線方程。復(fù)習(xí)練習(xí)：復(fù)習(xí)練習(xí)： 2. 求與橢圓求與橢圓xy221681有共同焦點(diǎn)，漸近線方程為有共同焦點(diǎn)，漸近線方程為xy30的