1計算下列三階行列式

1、第一章行列式1.計算下列三階行列式2 01a bc(1)1-4 -1； (2)b ca-183c ab1 1 1Xyx + J(3)a b c9(4)yX4- JXa=acb + bac + cba 一 bbb 一 aaa 一 ccc b2 c2x + yXy2 0 1解 (1)1-4 -1 =2x(-4)x3 + 0x(-l)x(-l)+1x1x8-183-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=-24+8 + 16-4(2)bb2二一d14224222按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)(1) 12 3 4；(3) 34 2 1；(5) 13(In _1)(6)

2、13(2/ 1)解（1）逆序數(shù)為0(2)逆序數(shù)為4： 41,(3)逆序數(shù)為5： 32,(4)逆序數(shù)為3： 21,(5)逆序數(shù)為/，（/，"1)3252, 5 47 2, 7 4, 7 6(2) 4 13 2(4) 2 4 1 32 4 (hi)；(2/) (2/-2)2.43,42,323b42,41,2 141,43個個個-2)(“ 一 1)#422422個(6)逆序數(shù)為n(n - 1)3 25 2, 5 4(2/1 -1) 2, (2/ -1) 4,(2/-1)6,，(2/1 -1)4 26 2, 6 4（2/1 一 2）（一 1）個1個2個(2/) 2, (2/) 4, (2/

3、i)6,，(2/i)(2/ 2)個一 1）個#422422#422422!1!3.寫出四階行列式中含有因子的項.解 由定義知，四階行列式的一般項為（-其中r為P1P2P3P4的逆序數(shù)由于叢=1,卩2 = 3 已固定，PBPM只能形如13 口，即1324或1342對應(yīng)的f分別為0+0+1 + 0 = 1或0 + 0+0 + 2 = 2 一的232°44和23*42為所求.4.計算下列各行列式#422422(1)10(2)-1342242241 244-12-1012 02C2C31202105 20C4 -7“31032-1401 1700104-1-10122x(-l 嚴(yán)103-14

4、4-1109910c2 + 512-2ZJ00-2=0C103141z s17171400-anacaebd-cddebfcf一町017(3)(4)-121412 14 03 -121勺-。23 _12 212321 23 050625 06 2214°l2140r4-r23-1223-12212301230214o|0000-abacae-b cebdbf一 cd4de 一眄二 adfb -c e bc e#422422-adfbce 1-11 =4abcdef1 -1#422422#422422ad1 + cd0a 10-1 10-1 c0 0-1=(-l)(-l)2+1二嚴(yán)5證

5、明a1 ab b1(1) 2a a + b 2b =(a _b) ；#422422#422422ax by ay bz az + bxx y zay + bz az + bx ax + by=(a3 +ft3)y z x ；az + bx ax + by ay + bzz x y(a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2b2c2d2(a +1)2 (b +1)2 (C+廳 (d +1)25422422=(a -b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c -)(a + + c

6、+ d)；#-10-1#-1=兀"+ 吋"“ + + anx + an.#-1#-1an證明(1)左邊=a22aab-a2b-a0b2-a22b-2a0=(_1 嚴(yán)0 滬-"2I b-a lb-2a b + a2= (b-a)(b-a)Xay + bzazbxy ay+ bzaz + bxyaz + bxax + by+ bZ az + bxax byzax byay -vbzx ax + byay + bz=(a b)3 =右邊按第一列左邊號畀“ay bz az-h-bx ax byzX+0+0+方azbx ax + by ay+ bzyzX+臚zXyXyzyx

7、 y zx y za3y z x+滬y z xz X yZ x yX(-1)右邊a1a2 + (la + 1)(a + 2)2(a + 3)2b2滬+ (2b + l)(b + 2)2(b + 3)2c2c2 + (2t + 1)(c + 2)2(c + 3尸d2J2 + (2J + 1)(d + 2)2(d + 3)2左邊=7a22n + l4a + 46a + 9b22b+ 146 + 46+9c22c+ 1+ 46c + 9d22J + 14J + 46d + 9按第二列 分成二項a ab2 b滋+ 446 + 44c+ 44J + 4加+ 446 + 44c+ 4 4J + 46a6b

8、6c6d(kz + 96b+ 96c + 9 6rf + 9 9 9 99a 1 b2 1“2 i&z + 96b + 96c + 96J + 92 14a4b4c4dab1,2込 _.c3 -4<?2 a- 第一項J " c4 -6c2 Zr“一仏c2第二項二9“1 0a b _aa2 b2-a2a4 b4-a4b ab2-a2b2(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2)1 14440b + ab2(ba) =(b -a)(c -a)(d -a)x1 0b+ac-b=(b -a)(c -a)(d -a)=0c + ac"c + a)1d +ad

9、2(d + a)0d_bb2(b + a) c2(c + a)-方 2( + a) d2(d +a)-b2(b-a) =(b -a)(c -a)(d -a)(c - b)(d -b)x(c2 +bc+ 2) + a(c+ )(d2 +bd + 臚)+ a( + ) =(a -b)(a -c)(a 一d)(b -c)(一d) (c -d)(a + + c + d) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) =2時02 = X= X1 +©兀+ °29命題成立.假設(shè)對于(W - 1)階行列式命題成立，即2-1 =嚴(yán)+ + %¥ + %,則$按第1列展開:-1 0X 一2 =心+(-1

10、 嚴(yán)1 1所以，對于階行列式命題成立.o o00亠、丄=xDn_x + an =右邊x -1#當(dāng) =2時02 = X= X1 +©兀+ °29命題成立.#當(dāng) =2時02 = X= X1 +©兀+ °29命題成立.anl %a.amtananD =- -9D2 =- -，2 =- -"11allt*11anttD9D3 = D.6設(shè)階行列式D = det(. ),把D上下翻轉(zhuǎn).或逆時針旋轉(zhuǎn)90S或依 副對角線翻轉(zhuǎn)，依次得證明 Dt=D2= 證明£> = det(a”)D、=11ana,=(_1嚴(yán)anlann«21 dr

11、In11仏tt2a”anl%«31%5= (-l)w-,(-ir2 -(-1)fl -ap/ilnil/l(N-l)=(_)i+2m+(iQ =(_)2/)#0同理可證D2 = (-1) 2Ml/I川刃-1)0 = (1) 2 D2 = (-1) 2 (1)F=(-l) 2 DD = (_l)g)D=D7.計算下列各行列式（$為R階行列式）Dn =，其中對角線上元素都是4,未寫出的元素都是0；#0#0(2) Dn =(a -1)“(a-ir1(a-n)n(a-n)n-1#0 Dn =提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果ii£F#0#0 D2n =(5) Dn =det(a”)9其

12、中a” =Dn =1 +勺,其中叱2叫工°1 + a”D =按最后一行展開(n-1 >x( n-1)（再按第一行展開）十 a“ = a" an-2 = an-2(a2 -1)（2）將第一行乘（-1）分別加到其余各行，得Xaa aa-xx-a006 =a x0x-a0a x000 x-a再將各列都加到第一列上，得#x + (n-l)a0x-a0x-ax-a=x + (n - l)a(x - a)w_1呼次行從第 + l行開始，第+ 1行經(jīng)過次相鄰對換，換到第1行，第行經(jīng)(n -1)次對換換到第2行，經(jīng)/ + (/-!)+1 =交換，得”5+1)比產(chǎn)(-1)n-ian(a

13、 _ 1)_(a - 1)M0130#此行列式為范德蒙德行列式/i(n+l)% = (_1) 口+1)-(歸+1) ”3爐(-l)h口 _('_/)= (_1) 2 (_) J (/_；)口()"沁 i>jjD2n0#按第一行a展開/l-l0M-l0+ (-1)2"也a bCi diC /i-i/l-l0都按最后一行展毋MQx -乞cQs由此得遞推公式:= (a01 -)。2“_2n。2” = PJSdi bjCjD：i-2-5 bxD1 =aidi-bicinD2n = FI (Mi - biCi)(5) djj = iD* det(a”)=/ -1n-2n

14、-3一4/ -1 n-2 n-3 "一 4 0315-1-1/ -1-10-1-2-1-2一1-2H 200-2-2一 3000-2/ -1 In - 31 +山12/1-4Dn =1 +心0000an0000（1 + 心）（叱2 1）一ai000000/ -1二（一按最后一列展開（由下往上）000000000000an-2017_°2_“4000=(1 + a”)個皿2 6-1)+ aai an-3an-2an +6n 1=(叩2心)(1+工)8 用克萊姆法則解下列方程組X + x2 + x3 + x4 =5, x. + 2x2 - x, 4- 4x4 = 一2,(1W

15、12342x 3x2 x3 - 5x4 = 2,3x + Jr? + 2x3 + llx4 = 0;5x, + 6x2= 1,Xj + 5x2 + 6心=0,x2 + 5x3 + 6x4= O,x3 + 5x4 + 6x5 = 0,x4 + Sx5 = 1<1111111112-1401-232 -3 -1 -50 -5 -3 -7312110 -2 -1 8解"5523D4 =1 1 11 2 -12 -3 -13 125-2-2015#£1=2,心=色=3,七=2_ = 一1D3 D4 D(2) D =510000 00 06 05 61 5按最后一行=2_ _展

16、開5 61 50 10 006510006=5" 6D"#0 00 06 05 6511006D2 =005001010006516 0 05 0 0 0按第二列0 5 6 016 0 0展開0 15 60 5 6 00 0 150 15 6=5(5£>” 一 6Dm)-6Dn = 19ZT - 30D"=65DW 一 1 l4Dm, = 65x19-114x5=665 （D為行列式D中5的余子式,D”為IX中時的余子式,類推）16 0 00 5 6 0D = 0 1 5 60 0 15=D + 6丄=19ZT - 30" + 64 =

17、15075 6 0=1 5 6-5x63 = -65-1080 = -11450 1 516 05 6 00 5 6+ 61 5 0= 19+6x114 = 7030 1 50 1 65 6 11 5 0O3 = 0 1 00 0 015 0 05 6 0 0按第三列0 16 015 0 0展開0 0 5 6十0 16 00 0 150 0 5 600655 61 5n4 = o 10 015 6 05 6 0 0按第四列0 15 015 6 0展開0 0 160 15 00 0 0 50 0 160 16 05 01 00 117#5 6 0= -5-61 5 6 = -3950 1 551

18、0000651按最后一列0展開 05 6 01 5 6,+ D' = 1 + 211 = 2120 1 511451507665703X,=;3665+ 兀2 + 兀3 = 09問兒取何值時，齊次線性方程組心+嚴(yán)2 +心=0有非零解?X + 2fix2 + x3 = 02 1 11“1 = “一 旳,1 2“ 1#齊次線性方程組有非零解，則6 = 0即“ 一 “兄=0得 =0或兄=1不難驗證,當(dāng) =0或；I = 1時,該齊次線性方程組確有非零解.(1 一 A)x, 一 2x2 + 4x3 = 010 問鹿何值時，齊次線性方程組2x + (3-A)x2 +心=0X, + x2 + (1- Z)x3 = 0有非零解?解1-A-241-2一 3+24D =23-A1=21-2 1111-A10 1-2= (1-A)3 + (2-3)-4(1 -A)-2(1 一 2)(-3 一 A)= (l-A)3 + 2(