(完整版)高一數(shù)學(xué)直線方程知識(shí)點(diǎn)歸納與典型例題

1、直線的一般式方程及綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握直線的一般式方程；2能將直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等方程化為直線的一般式方程，并理解這些直線的不同形式的方程在表示直線時(shí)的異同之處；3能利用直線的一般式方程解決有關(guān)問(wèn)題. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：直線方程的一般式關(guān)于 x 和 y 的一次方程都表示一條直線我們把方程寫(xiě)為ax+by+c=0，這個(gè)方程 (其中 a、b 不全為零 )叫做直線方程的一般式要點(diǎn)詮釋：1a、b 不全為零才能表示一條直線，若a、b 全為零則不能表示一條直線. 當(dāng) b 0 時(shí)，方程可變形為acyxbb，它表示過(guò)點(diǎn)0,cb，斜率為ab的直線當(dāng) b=0 ，a 0 時(shí)，方程可變形為ax+c=0，即cxa，

2、它表示一條與x 軸垂直的直線由上可知，關(guān)于x、 y 的二元一次方程，它都表示一條直線2在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于x、y 的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于x、 y 的一次方程（如斜率為2， 在 y 軸上的截距為1 的直線，其方程可以是2x y+1=0，也可以是11022xy，還可以是4x 2y+2=0等 ）要點(diǎn)二：直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng) y1=k(x x1) （x1，y1）是直線上一定點(diǎn)，k 是斜率不垂直于x 軸斜截式y(tǒng)=kx+b k 是斜率， b 是直線在y 軸上的截距不垂

3、直于x 軸兩點(diǎn)式112121yyxxyyxx（x1，y1） ， （x2，y2）是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x 軸和 y 軸截距式1xyaba 是直線在 x 軸上的非零截距，b 是直線在 y 軸上的非零截距不垂直于x 軸和 y 軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式ax+by+c=0（a2+b2 0）a、b、c 為系數(shù)任何位置的直線要點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求 直 線 存 在 斜 率 ， 兩 點(diǎn) 式 是 點(diǎn) 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 條 件 更 多 （ x1 x2， y1 y2） ， 應(yīng) 用 時(shí) 若 采 用(y2y1)(xx1)(x2 x

4、1)(yy1)=0 的形式，即可消除局限性截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“ 直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零” 這一條件直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式一般式?；癁樾苯厥脚c截距式若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同要點(diǎn)三：直線方程的綜合應(yīng)用1已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求2根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同（ 1）從斜截式考慮已知直線111:bxkyl,222:bxkyl, 12121212/()llkkbb；12121211221tancot12

5、llkk kk于是與直線ykxb平行的直線可以設(shè)為1ykxb；垂直的直線可以設(shè)為21yxbk（ 2）從一般式考慮：11112222:0,:0la xb ycla xb yc1212120lla ab b121221/0lla ba b且12210aca c或12210b cb c，記憶式（111222abcabc）1l與2l重合，12210a ba b，12210aca c，12210b cb c于 是 與 直 線0axbyc平 行 的 直 線 可 以 設(shè) 為0axbyd； 垂 直 的 直 線 可 以 設(shè) 為0bxayd.【典型例題】類型一：直線的一般式方程例 1根據(jù)下列條件分別寫(xiě)出直線的方程

6、，并化為一般式方程（1）斜率是12，經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（8，2） ；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn) b（4，2） ，平行于x 軸；（3）在 x 軸和 y 軸上的截距分別是32，3；（4）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p1（3，2） ，p2（ 5，4） 【答案】（1）x+2y 4=0 （2）y 2=0 （3）2x y3=0 （4）10 xy【解析】（ 1）由點(diǎn)斜式方程得1( 2)(8)2yx，化成一般式得x+2y 4=0 （2）由斜截式得y=2 ，化為一般式得y2=0 （3）由截距式得1332xy，化成一般式得2x y3=0 （4）由兩點(diǎn)式得234( 2)53yx，化成一般式方程為10 xy【總結(jié)升華】本題主要是讓學(xué)生體會(huì)直線方程的各種形式，以

7、及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x 的系數(shù)為正， x，y 的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x 項(xiàng)、 y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列求直線方程的題目，無(wú)特別要求時(shí)，結(jié)果寫(xiě)成直線方程的一般式舉一反三：【變式 1】已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3, 1)b，且傾斜角是30，求直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程. 【答案】31(3)3yx333 330 xy【解析】因?yàn)橹本€傾斜角是30，所以直線的斜率3tantan303k，所以直線的點(diǎn)斜式方程為：31(3)3yx，化成一般式方程為：333 330 xy. 例 2abc的一個(gè)頂點(diǎn)為( 1,4)a，b、c的平分線在直線10y和10 xy上，求直

8、線bc的方程 . 【答案】230 xy【解析】由角平分線的性質(zhì)知，角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以可得a 點(diǎn)關(guān)于b的平分線的對(duì)稱點(diǎn)a在 bc 上， b 點(diǎn)關(guān)于c的平分線的對(duì)稱點(diǎn)b也在 bc 上寫(xiě)出直線ab的方程，即為直線bc的方程 . 例 3求與直線3x+4y+1=0平行且過(guò)點(diǎn)（ 1，2）的直線l的方程【答案】 3x+4y 11=0 【解析】解法一：設(shè)直線l的斜率為k，l與直線 3x+4y+1=0平行，34k又l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 1，2） ，可得所求直線方程為32(1)4yx，即 3x+4y 11=0 解法二：設(shè)與直線3x+4y+1=0平行的直線l的方程為3x+4y+m=0，l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 1

9、，2） ，3 1+4 2+m=0，解得 m= 11 所求直線方程為3x+4y 11=0 【總結(jié)升華】 （1） 一般地，直線 ax+by+c=0中系數(shù) a、 b 確定直線的斜率， 因此，與直線 ax+by+c=0平行的直線可設(shè)為ax+by+m=0，這是常采用的解題技巧我們稱ax+by+m=0是與直線ax+by+c=0平行的直線系方程 參數(shù) m 可以取 m c 的任意實(shí)數(shù)， 這樣就得到無(wú)數(shù)條與直線ax+by+c=0平行的直線當(dāng)m=c 時(shí)， ax+by+m=0與 ax+by+c=0重合（2）一般地，經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（x0，y0） ，且與直線ax+by+c=0平行的直線方程為a(x x0)+b(y y0)=0

10、 （3）類似地有：與直線ax+by+c=0垂直的直線系方程為bxay+m=0（a，b 不同時(shí)為零）舉一反三：【變式 1】已知直線1l：3mx+8y+3m-10=0 和2l：x+6my-4=0 .問(wèn) m 為何值時(shí) : （1）1l與2l平行（ 2）1l與2l垂直 . 【答案】（1）23m（2）0m【解析】當(dāng)0m時(shí)，1l：8y-10=0；2l：x-4=0 ，12ll當(dāng)0m時(shí)，1l：310388mmyx；2l：1466yxmm由3186mm，得23m，由103486mm得2833m或而31() ()186mm無(wú)解綜上所述（ 1）23m，1l與2l平行 （2）0m，1l與2l垂直【變式 2】 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)a

11、（2， 1） ，且與直線2x+y 10=0垂直的直線l的方程【答案】 x2y=0 【解析】因?yàn)橹本€l與直線 2x+y 10=0垂直，可設(shè)直線l的方程為20 xym，把點(diǎn) a（2，1）代入直線l的方程得：0m，所以直線l的方程為： x 2y=0 類型二：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問(wèn)題例 4已知直線l的傾斜角的正弦值為35，且它與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線l的方程【思路點(diǎn)撥】知道直線的傾斜角就能求出斜率，進(jìn)而引進(jìn)參數(shù) 直線在 y 軸上的截距b，再根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，便可求出 b也可以根據(jù)直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，設(shè)截距式直線方程，從而得出1| 62ab，再根據(jù)它

12、的斜率已知，從而得到關(guān)于a，b 的方程組，解之即可【答案】334yx或334yx【解析】解法一：設(shè)l的傾斜角為，由3sin5，得3tan4設(shè)l的方程為34yxb，令 y=0 ，得43xb直線l與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)分別為4,03b， （0，b） 2142|6233sbbb，即 b2=9 ，b= 3故所求的直線方程分別為334yx或334yx解法二：設(shè)直線l的方程為1xyab，傾斜角為，由3sin5，得3tan41| | 6234abba，解得43ab故所求的直線方程為143xy或143xy【總結(jié)升華】 （ 1）本例中，由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截

13、距有關(guān)） ，因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“ 題目決定解法 ” 之說(shuō)（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y 軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏舉一反三：【變式 1】 （2015 春 啟東市期中）已知直線m：2xy 3=0 ，n：x+y3=0 （1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與直線l：x+2y1=0

14、平行的直線方程；（2）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成面積為4 的直線方程【思路點(diǎn)撥】（1）求過(guò)兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)， 結(jié)合直線平行的斜率關(guān)系即可求與直線l：x+2y1=0平行的直線方程；（2）設(shè)出直線方程，求出直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可【答案】（1）x+2y4=0 ； （2）【解析】（1）由23030 xyxy，解得21xy，即兩直線m，n交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，1） ，設(shè)與直線l：x+2y1=0 平行的直線方程為x+2y+c=0 ，則 2+2 1+c=0 ，解得c= 4，則對(duì)應(yīng)的直線方程為x+2y4=0 ；（2）設(shè)過(guò)（ 2，1）的直線斜率為k， （k 0） ，則

15、對(duì)應(yīng)的直線方程為y1=k(x2)，令x=0 ，y=1 2k，即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為a（0，12k）令y=0 ，則1212kxkk，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為21(,0)kbk，則aob的面積121|12 | 42kskk，即2(21)8kk，即244810kkk，若k0，則方程等價(jià)為241210kk，解得32 22k或32 22k，若k0，則方程等價(jià)為24410kk，解得12k綜上直線的方程為11(2)2yx，或32 21(2)2yx，或32 21(2)2yx即122yx，或32 222 22yx，或32 22222yx類型三：直線方程的實(shí)際應(yīng)用例 6 （2015 春 湖北期末）光線從點(diǎn)a（2，3）射

16、出，若鏡面的位置在直線l：x+y+1=0上，反射光線經(jīng)過(guò)b（1，1） ，求入射光線和反射光線所在直線的方程，并求光線從a到b所走過(guò)的路線長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】求出點(diǎn)a關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，就可以求出反射光線的方程，進(jìn)一步求得入射點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求入射光線方程，可求光線從a到b所走過(guò)的路線長(zhǎng)【答案】41【解析】設(shè)點(diǎn)a關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)a （x0，y0） ，aa被l垂直平分，0000231022312xyyx，解得0043xy點(diǎn)a （ 4， 3） ，b（1， 1）在反射光線所在直線上，反射光線的方程為341314yx，即 4x5y+1=0 ，解方程組451010 xyxy得入射點(diǎn)的坐標(biāo)為21(,)33由入射點(diǎn)及點(diǎn)a

17、的坐標(biāo)得入射光線方程為1233123233yx，即 5x4y+2=0 ，光線從a到b所走過(guò)的路線長(zhǎng)為22|( 4 1)( 3 1)41a b【總結(jié)升華】本題重點(diǎn)考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，考查入射光線和反射光線，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱點(diǎn)的連結(jié)被對(duì)稱軸垂直平分舉一反三：【變式 1】 （2016 春 福建廈門(mén)期中）一條光線從點(diǎn)a（ 4， 2）射出，到直線y=x上的b點(diǎn)后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的c點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)d（ 1，6） 求bc所在直線的方程【答案】 10 x3y+8=0 【解析】如圖，a（ 4， 2） ，d（ 1，6） ，由對(duì)稱性求得a（ 4， 2）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)

18、a （ 2， 4） ，d關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)d （1，6） ，則由入射光線和反射光線的性質(zhì)可得：過(guò)ad的直線方程即為bc所在直線的方程由直線方程的兩點(diǎn)式得：42641 2yx整理得： 10 x3y+8=0 例 7如圖，某房地產(chǎn)公司要在荒地abcde 上劃出一塊長(zhǎng)方形土地（不改變方向）建造一幢8 層的公寓，如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積（精確到 1 m2）【答案】 6017 【解析】建立坐標(biāo)系，則b（30 ，0） ，a（0，20 ） 由直線的截距方程得到線段ab 的方程為13020 xy（0 x 30） 設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（ x，y） ，則有2203yx公寓的占地面積為2(100) (80)(100) (8020)3sxyxx22