結(jié)構(gòu)力學(xué)第9章矩陣位移法

1、9.1 概 述9.2 結(jié)構(gòu)離散化及位移、力的表示與編碼9.3 單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?.4 結(jié)構(gòu)的整體剛度方程和整體剛度矩陣9.5 非結(jié)點(diǎn)荷載的等效化9.6 計(jì)算步驟和算例9.1 概概 述述由于計(jì)算機(jī)應(yīng)用的發(fā)展和普及，以傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法作為理論基礎(chǔ)，以矩陣表示作為表達(dá)形式，以電算邏輯作為分析順序的矩陣分析方法，成為當(dāng)今結(jié)構(gòu)分析的重要方法。矩陣位移法是有限單元法的雛形，因此有時(shí)也稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法。其要點(diǎn)是：為了確定結(jié)點(diǎn)位移與載荷的關(guān)系，先把整體結(jié)構(gòu)拆開，然后再將這些單元和結(jié)點(diǎn)按實(shí)際情況集合成整體。在矩陣位移法中，單元分析的任務(wù)是歸納典型單元模型，建立單元?jiǎng)偠确匠?，形成單元?jiǎng)偠染仃嚕徽w

2、分析的主要任務(wù)是尋求由單元?jiǎng)偠染仃囆纬烧w剛度矩陣的規(guī)律，建立整體位移法方程，從而求出解答。1. 1. 單元?jiǎng)澐謫卧獎(jiǎng)澐?.2 結(jié)構(gòu)離散化及位移、力的表示與編碼結(jié)構(gòu)離散化及位移、力的表示與編碼劃分單元的條件：內(nèi)部沒(méi)有載荷的等截面直桿。單元與單元或支承的連接點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。習(xí)慣上用、等表示單元序號(hào)，1、2、3等表示結(jié)點(diǎn)序號(hào)，例如圖9.1所示的桁架和剛架結(jié)構(gòu)的劃分。圖9.1 2.2.位移、力的正方向規(guī)定位移、力的正方向規(guī)定為了統(tǒng)一(如力的正、負(fù)號(hào)可直接代入平衡方程等)，在矩陣位移法中，對(duì)于所有的外力、結(jié)點(diǎn)位移、桿端力、桿端位移等矢量，規(guī)定坐標(biāo)系的正方向?yàn)樗鼈兊恼较?。本章采用左手坐?biāo)系，用oxy表示結(jié)

3、構(gòu)平面，z軸為截面慣性軸方向。轉(zhuǎn)角位移、力矩、彎矩以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?即左手螺旋軸與z相同為正。3.3.結(jié)點(diǎn)位移整體編碼結(jié)點(diǎn)位移整體編碼對(duì)結(jié)構(gòu)整體建立坐標(biāo)系oxyz，則每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有確定的位置坐標(biāo)。下標(biāo)I表示結(jié)點(diǎn)編號(hào)，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)載荷用矢量F表示，它的排序與位移排序相同對(duì)所有結(jié)點(diǎn)的各位移分量進(jìn)行了統(tǒng)一的編號(hào)，稱為結(jié)點(diǎn)位移的整體編碼。對(duì)結(jié)構(gòu)所有的結(jié)點(diǎn)位移，統(tǒng)一用矢量表示，稱為結(jié)構(gòu)整體位移，簡(jiǎn)稱結(jié)構(gòu)位移或整體位移。中各分量的順序首先是結(jié)點(diǎn)編號(hào)，然后是每個(gè)點(diǎn)本身的x,y,z順序，即4.4.單元桿端位移局部編碼單元桿端位移局部編碼每個(gè)單元有兩個(gè)桿端，分別稱為1、2端，單元的狀態(tài)由桿端位移決

4、定，所以定義單元位移由桿端位移構(gòu)成上標(biāo)e為單元編號(hào)，對(duì)一般單元，每個(gè)桿端同樣有3個(gè)方向的位移分量，uei,vei,ei，于是單元有6個(gè)桿端位移分量5.5.定位向量定位向量向量中的六個(gè)元素的序號(hào)1到6，是在每個(gè)單元中各自編碼，單元之間不相關(guān)，所以稱為單元桿端位移分量的局部編碼。把每個(gè)單元的兩個(gè)桿端與相應(yīng)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)連接就可搭成原結(jié)構(gòu)，連接后，單元桿端將取得與相應(yīng)結(jié)點(diǎn)相同的位移，即每一個(gè)桿端位移分量，都等于與它對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移分量。對(duì)一個(gè)單元，在桿端位移分量的位置上，寫出對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移的整體編碼，形成的向量，就稱為單元的定位向量。9.3 單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?. 1. 單

5、元局部坐標(biāo)系單元局部坐標(biāo)系在局部坐標(biāo)系下，可表示出桿端力分量分別為軸向力、橫向力、彎矩，桿端位移分量分別對(duì)應(yīng)軸向位移、橫向位移、轉(zhuǎn)角位移。結(jié)構(gòu)中每個(gè)桿件的位置、方向各不相同，為了便于討論桿件本身?xiàng)U端力與桿端位移間的關(guān)系，對(duì)每個(gè)單元分別建立單元局部坐標(biāo)系。2. 2. 局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃嚲植孔鴺?biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠?，指單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系?？珊?jiǎn)記為局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠叹植孔鴺?biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?.3.單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)(1)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義。 中的元素稱為單元?jiǎng)偠染仃嚨南禂?shù)，代表單元桿端位移與其所引起的桿端力的關(guān)系，

6、數(shù)值上等于單位桿端位移引起的桿端力的大小。通常用下標(biāo)i，j分別表示元素在矩陣中所處的行、列號(hào)。(2)單元?jiǎng)偠认禂?shù)僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、彈性模量E和長(zhǎng)度l有關(guān)。(3)是對(duì)稱矩陣，它的對(duì)稱性指其元素有關(guān)系：(4)是奇異矩陣， 是奇異矩陣指其行列式的值等于零，即| |=0。4.4.單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣由于桿件在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的方向并非完全相同，所以各桿的桿端力、桿端位移在整體坐標(biāo)系下方向不一定相同，必須將它們統(tǒng)一后才可討論位移的連續(xù)和力的平衡。式中T稱為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。簡(jiǎn)寫成5. 5. 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下單元桿端力與桿端位移間的關(guān)

7、系剛度方程：簡(jiǎn)寫為其中Ke稱為整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?.4 結(jié)構(gòu)的整體剛度方程和整體剛度矩陣結(jié)構(gòu)的整體剛度方程和整體剛度矩陣上式稱為結(jié)構(gòu)的整體剛度方程，其中K稱為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣?？倓偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：總體剛度矩陣是一個(gè)方陣，其階數(shù)與結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移分量總數(shù)相同。它的分量是由單元?jiǎng)偠染仃嚨南禂?shù)疊加構(gòu)成的。疊加規(guī)律是：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨脑?，按照它所處的局部行和列?hào)，對(duì)應(yīng)單元的定位向量，在總剛度矩陣中落到新的行和列上。(1)剛度矩陣的系數(shù)是物理量，由結(jié)構(gòu)本身的長(zhǎng)度、截面尺寸、材料性質(zhì)、連接方式等決定，與載荷、變形等量無(wú)關(guān)。(2)總剛度系數(shù)kij表示結(jié)構(gòu)沿第j個(gè)整體結(jié)點(diǎn)位移方向產(chǎn)生單位位移j=1，其他

8、所有結(jié)點(diǎn)位移等于0時(shí)，在第i結(jié)點(diǎn)位移方向所需要施加的力(與傳統(tǒng)位移法相同)。(3)對(duì)稱性：總剛度系數(shù)由單元?jiǎng)偠认禂?shù)疊加構(gòu)成，單元?jiǎng)偠认禂?shù)本身有對(duì)稱性，由定位向量確定的位置也是對(duì)稱位置。由反力互等定理同樣可驗(yàn)證。(4)稀疏性；一般情況下，總剛度矩陣中有很多的“0”元素。這是因?yàn)楫?dāng)結(jié)點(diǎn)、桿件很多時(shí)，會(huì)有很多結(jié)點(diǎn)間沒(méi)有桿件相連，當(dāng)使結(jié)構(gòu)僅在其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移，而其他所有位移為“0”時(shí)，這些不相關(guān)的結(jié)點(diǎn)上就不需要施加任何結(jié)點(diǎn)力。在編碼合理的情況下，總剛度矩陣的非“0”元素可集中分布在主對(duì)角線兩側(cè)一定寬度的帶狀區(qū)域內(nèi)，利用這個(gè)特性，可節(jié)省很多計(jì)算資源?！纠?.3】試求圖9.2(a)所示連續(xù)梁的整體剛度

9、矩陣。解：圖9.2各單元的單元?jiǎng)偠染仃嚪謩e為： 給出單元、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)位移編號(hào)如圖9.2(b)所示，各單元的定位向量分別為把單元?jiǎng)偠染仃囈来味ㄎ化B加于總剛度矩陣： 計(jì)入單元的最后結(jié)果計(jì)入單元的中間結(jié)果計(jì)入單元的中間結(jié)果顯然，它的剛度方程展開式，與位移法的典型方程相同。計(jì)算步驟：1. 在局部坐標(biāo)系下計(jì)算單元的等效載荷9.5 非結(jié)點(diǎn)荷載的等效化非結(jié)點(diǎn)荷載的等效化2. 將固端力轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)(整體)坐標(biāo)系3. 等效結(jié)點(diǎn)載荷FP矩陣位移法的基本步驟如下：9.6 計(jì)算步驟和算例計(jì)算步驟和算例(1)整理原始數(shù)據(jù)，對(duì)結(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行整體編碼，得到單元定位向量等。直接的結(jié)點(diǎn)載荷按它對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移編碼，直接計(jì)入整體結(jié)點(diǎn)載荷向量F中。(3)整體分析，依定位向量，將單元?jiǎng)偠染仃嚒皩?duì)號(hào)入座”集成總剛度矩陣K。(2)單元分析，先形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，用式(9-1