14圓周角和圓心角的關(guān)系—知識講解(基礎(chǔ))及其練習(xí)

1、圓周角和圓心角的關(guān)系一知識講解根底【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解圓周角的槪念，了解圓周角與圓心角之間的關(guān)系：2. 理解圓周角定理及推論；學(xué)生合3. 熟練掌握圓周角的立理及貝推理的靈活運(yùn)用：通過觀察、比較、分析圓周角與圓心角的關(guān)系，開展 情推理能力和演繹推理能力.【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、圓周角1. 圓周角定義：像圖中ZAEB、ZADB、ZACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角2. 圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.3. 圓周角定理的推論：推論1 :同弧或等弧所對的圓周角相等：推論2 :直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.要點(diǎn)詮

2、釋：1圓周角必須滿足兩個條件：頂點(diǎn)在圓上：角的兩邊都和圓相交2 圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.3圓心與圓周角存在三種位巻關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上：圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周 的外部.如以下圖要點(diǎn)二、圓內(nèi)接四邊形1.圓內(nèi)接四邊形定義：四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，像這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓2?圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)？如圖，四邊形 ABCD是00的內(nèi)接四邊形？那么ZA+ZC=180 , ZB+ZD二180°?D要點(diǎn)詮釋：當(dāng)四邊形的四個頂點(diǎn)不同時在一個圓上時，四邊形的對角是不互補(bǔ)【典型例題】 類型一、圓周角.圓心角.弧、弦

3、之間的關(guān)系及應(yīng)用 矽1.如圖，在00中，AB = AC,Z5 = 70 ? 求ZA的度數(shù).【答案與解析】v S = 2c,AB = Aa :.= 70 °:.AA 二 180。- 0 +ZC = 40 °【總結(jié)升華】 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的圓周角相等，所對的弦也相等.舉一反三：【變式】如以下圖，正方形 ABCD內(nèi)接于00,點(diǎn)E在劣弧AD上，那么ZBEC等于A. 45B? 60C. 30D. 55I AB=BC=CD=DA,? AB = BC = CD = DA = 90(a)(b)fc)(d):.ZBEC=45 ?類型二、圓周角定理

4、及應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角的左義去判斷，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角【答案與解析】Z1頂點(diǎn)在O0內(nèi)，兩邊與圓相交，所以 Z1不是圓周角；(b) Z2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以 Z2不是圓周角；(c) 圖中Z3、Z4、ZBAD的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以Z3、Z4、ZBAD是圓周角.(d) Z5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以Z5不是圓周角；(e) Z6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的泄義知Z6不是圓周角.【總結(jié)升華】 緊扣左義，抓住二要素，正確識別圓周角.3. (?臺州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00點(diǎn)E在對角線AC上，EC=BC=DC.(

5、1) 假設(shè) Z CBD=39；求 Z BAD 的度數(shù)：(2) 求證：z仁Z2.【答案與解析】(1)解：？ ？ BC=DC,/. Z CBD=Z CDB=39%?/ Z BAC=Z CDB=39 Z CAD=Z CBD=39%?Z BAD=Z BAC+Z CAD=39+39°=78 ；(2)證明：？ EC=BC,/. Z CEB二Z CBE,而 Z CEB=Z 2+Z BAE, Z CBE=Z 1+Z CBD,/. z 2+z BAE=z 1+Z CBD,T Z BAE=Z CBD,/. z l=z 2.【總纟止升華】此題主要考查了圓周角圮理和等腰三角形的性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問

6、題的關(guān)鍵如圖，AB是00的直色BD是00的弦，延長 BD到C使AC二AB, BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么？【思路點(diǎn)撥】BD二CD，因?yàn)锳B二AC所以這個AABC是等腰三角形，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD,證 明AD是高或是ZBAC的平分線即可.【答案與解析】BD 二 CD?理由是：如圖，連接ADTAB是00的直徑?ZADB二 90。即 AD 丄 BC又 VAC=AB, ?BDC CD?【總纟占升華】解題的關(guān)鍵是正確作岀輔助線 舉一反三:【變式】(？安順)如圖，00的直徑AB垂直于弦CD垂足為E, Z A=22.5,°C=4, CD的長為(sEDD? 8C. 4V2提示：V

7、 ZA=22. 5 °A ZB0C=2ZA=45 °? ? 00的直徑AB垂直于弦 CD, .? .CE二DE, AOCE為等腰直角三角形 ?(E£2)C 二 2 伍，2Z.CD=2CE=4V2?應(yīng)選：c.類型三.圓內(nèi)接四邊形及應(yīng)用仇圓內(nèi)接四邊形 ABCD的內(nèi)心ZB： ZC=>: 3： 4,求如度數(shù).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求得四個角的比值.再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為 360。，從而求 得ZD 的度數(shù).【答案與解析】解：？ ？圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，? ZA ZB： ZC:ZD=2:3:4：3設(shè) ZA=2x,貝U ZB=3x, ZC=4x, ZD二

8、3x,2x+3x+4x+3x=360 ,?x=30 ?ZD二 90 ° ?【總納升華】 此題考査圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360°的運(yùn)用.舉一反三:【變式】如圖，00中，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，ZB0D二110°那么ZBCD的度數(shù)是A. 110 B. 70 C.55°D. 125 °C【 D.第 64 ° 第 3B? 48如圖，弦題圖Cd相交于e點(diǎn)，%. 37 °B. 74第4 題圖那么90 °BCBaoECD38AEB70°A. Z1>Z2>Z3 B. Z3>Z1>

9、;Z2 C. Z2>Z1>Z3 D. Z3>Z2>Z1D. 64C. 110D. 120D. 76 °那么ZA0D等于C. 32第2題圖【穩(wěn)固練習(xí)】一、選擇題1.如圖，ZABC 內(nèi)接于 00, ZA=50°ZABC二60 °, BD是? 0的直徑，BD交AC于點(diǎn)E連結(jié)DC7.在同圓或等圓中，兩個圓心角及它們所對的兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，那么第1題圖2?如以下圖，Zl, Z2, Z3的大小關(guān)系是圓周角和圓心角的關(guān)系一穩(wěn)固練習(xí)根底3.如圖，AC是00的直徑，弦 AB CD假設(shè) ZBAC=32°,貝卩ZA0D 等于A. 69

10、°B. 42 °C. 48 °6. ?灑泉AABC為00的內(nèi)接三角形，假設(shè) ZAOC二160 “A. 80 °B. 160 °C.100 °二、填空題AL-AA 10 H卩D6,那么 ZD 二 8. ?鎮(zhèn)江一模在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中，ZA, ZB, ZC的度數(shù)之比為3: 5:9. 如圖，AB是00的直徑，弦CD丄AB于H, BD/70C,那么ZB的度數(shù)是 第 9題彥第 10題圖10?如圖，AABC內(nèi)接于 OO, AB=BC, ZBAC=30 , AD 為 00 的直徑，AD=2貝U BD=11.如圖，00的直徑MN=10,正方形A

11、BCD四個頂點(diǎn)分別在半徑 0隊(duì)0P和00上,如圖，A、B、C、D、且AC為直12.且 ZP0M=45 ,(那么 AB=?第12題圖解答題13.如以下圖，AB, AC是。0的弦，AD丄BC于D,交00于F, AE為00的直徑，試問兩弦 BE與CF的大小有何關(guān)系，說明理由第11題圖14. ?睞州市一模如圖？ AB是半圓0的直徑，C、D是半圓0上的兩點(diǎn)，且 OD BC, 0D與AC交于點(diǎn)E?(1) 假設(shè)ZD=70 °求ZCAD的度數(shù);AB的長.CFLCD15.如圖，0。中，直徑月啟15cm,有一條長為9cm的動弦Q在湘上滑動點(diǎn)C與兒點(diǎn)。與萬不重合, 交曲于尸，DEL CD交 AB于E?1求

12、證：AEABFx假設(shè)不2在動弦Q滑動的過程中，四邊形前的而積是否為立值？假設(shè)是定值，請給出證明并求這個定值是，請說明理由.1【答案與解析】、選擇題1. 【答案】C;【解析】因?yàn)?ZA=50 , ZABC二 60° , BD是 00 的直徑，所以 ZD=ZA=50 , ZDBC二 40° , ZABD二 60° -40 二 20° , ZACD 二 ZABD 二 20 ° ZAED=ZACD+ZD=20 +50 二 70 ° ZAEB=180 -70 二 110 °2. 【答案】D;【解析】圓內(nèi)角大于圓周角大于圓外角.3. 【

13、答案】A：【解析】？ ？ ?弦 AB CD, ZBAC二 32° , A ZC二ZA=32 , ZA0D 二 2ZC 二 64 ° .4. 【答案】B;【解析】ZACD二 64° -27。二 37° , ZA0D=2ZACD=74 .5. 【答案】A；【解析】ZBAD二丄ZBOD二69。，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得ZDCE二ZBAX69。26. 【答案】D；【解析】如圖，V ZA0C=160 ,A ZABC=izA0CAixi60 二 80 °2 2VZABC+ZAB 8180。,/.ZAB，0180 -ZABC二 180 °

14、;80 =100 °/. ZABC 的度數(shù)是：80 °或 100 ° . 應(yīng)選D.二、填空題7. 【答案】它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等；8. 【答案】80 °【解析】設(shè)每一份是 X那么ZA=3x, Z凸5x, ZC=6x?根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，得ZA+ZC=180 , ZB+ZD二180° ,貝U 3x+6x二180° ,解得X二20° .所以 ZD=9x - 5x=4x=80 ° ?9. 【答案】60 °10. 【答案】/3 :ii?【答案】V5:12.【解析】如圖，【答案】90 °

15、:第11題設(shè) AB二x，在 RtzJAOD 中：X2 + (2x) 2 =52 ,x=V5,即AB的長=許【解析】如圖，連結(jié) AB、BCJ那么 ZCAD + ZEBD +?ZACE=ZCBD +ZEBD?ZABE二ZABC=90 .三、解答題13.【答案與解析】BE=CF.理由：TAE為00的直徑，AD丄BC,?ZABE二 90 ° =ZADC, 又 ZAEB=ZACB,? ZBAE二 ZCAF,:.BE = CF .?BE二 CF?A14?【答案與解析】解:(1) V0A=0D, ZD 二 70° , AZ0AD=ZD=70° ,A ZA0D=180 °ZOAD - ZD=40 ,TAB是半圓0的直徑，AZC=90o ,?OD BC,A ZAE0=ZC=90 °即0D丄AC,? AD=CDA VAC=8, 0E 丄 AC,?AE=iAC二 4,設(shè) OA 二 x,那么 0E=OD - DE=x - 2,?在 RtAOAE 中，OE