1.5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)練習1解析版

1、5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)基礎初探教材整理1“五點法”作正弦函數(shù)的圖像閱讀教材P25P27 “例1”以上部分，完成下列問題.n 在函數(shù)y = sin x,x 0,2 n 的圖像上，起著關鍵作用的有五個關鍵點：（0,0） , p, 1 ,3 n（n，0） , 2，_ 1 ， （2 n，0）.描出這五個點后，函數(shù)y=sin x, x 0,2 n 的圖像就基本上確定了 .因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線順次將它們連接起來，就得到這個函數(shù)的簡圖我們稱這種畫正弦函數(shù)曲線的方法為“五點法” 如圖1 5 1.23判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”) 函數(shù)y= sin x在

2、0,2 n 和4 n, 6n 上的圖像形狀相同，只是位置不同.()(2) 函數(shù)y= sin x的圖像介于直線 y= 1和y = 1之間.()(3) 函數(shù)y= sin x的圖像關于x軸對稱.()(4) 函數(shù)y= sin x的圖像與y軸只有一個交點.()【解析】由函數(shù)y = sin x的圖像可知，y= sin x的圖像不關于x軸對稱，與y軸只有一個交點，且圖像介于直線y= 1和y= 1之間，在0,2 n 和4 n, 6n 上的圖像形狀相同，而位置不同.【答案】V (2) V (3) X (4) V教材整理2正弦函數(shù)的性質(zhì)閱讀教材P28P29 “例2”以上部分，完成下列問題.性質(zhì)定義域R值域1,1取

3、大值與最小值rnr,當 x= 2k n + ( k Z)時，ymax= 1 ；3 n當 x= 2k n + (k Z)時，ymin= 1周期性周期函數(shù)，T= 2n單調(diào)性nn在2kn _, 2kn + ( k Z)上是增加的；,n3 n,在2kn + 2 , 2kn+ ?(k Z)上是減少的奇偶性奇函數(shù)對稱性n圖像關于原點對稱，對稱中心 (kn, 0) , k Z;對稱軸x kn+邁,k Z判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1)正弦函數(shù)y sinx的定義域為R()正弦函數(shù)y sinx是單調(diào)增函數(shù).(正弦函數(shù)y sinx是周期函數(shù).()正弦函數(shù)y sinx的最大值為1,最小值:1.(【解析】

4、 由正弦函數(shù)性質(zhì)知，(3)(4)均正確，對于(2),正弦函數(shù)在nn2k n , 2k n + (k Z)上是單調(diào)增函數(shù)，在 R上不具有單調(diào)性.【答案】 V (2) X (3) V (4) V用“五點法”畫出函數(shù)y=3 sin小組合作型五點法作圖X(X 0,2 n )的圖像.【精彩點撥】借助于五點作圖法按下列次序完成:列表 描點連線成圖【自主解答】（1）列表，如下表所示：X0nTn3n2ny= sinx01010y= 3 sin x32343描點，連線，如圖所示:. n3 n, r .1.解答本題的關鍵是要抓住五個關鍵點.使函數(shù)中X取0, 2 ,n,牙,2 n,然后相應求出y值，再作出圖像.2五

5、點法作圖是畫三角函數(shù)的簡圖的常用方法，作圖過程中要注重整體代換思想的運 用，特別是在取值、描點上，這五點主要指函數(shù)的零點及最大值、最小值點，連線要保持平 滑，注意凸凹方向.再練一題1.作出函數(shù) y= 1 + 2sin x, x 0,2 n 的簡圖.【解】按五個關鍵點列表：x0n2n3n22nsin x010101 + 2sin x11131利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點連線作圖，如圖:與正弦函數(shù)有關的定義域問題求下列函數(shù)的定義域.12 . 1. sin x【精彩點撥】先根據(jù)條件，求出sin x的取值范圍，再借助于單位圓或正弦線或正弦函數(shù)的圖像解決.【自主解答】 為使函數(shù)有意義，需滿足 1 2sin 2

6、x0,即 sin 2 xw 2,nnt 3 n5 n結合單位圓可知，4 + 2knw+ 2k冗或三+ 2knw xwz + 2-(ke Z .原函數(shù)的定義域為nn3 n5 n7 + 2kn，T+ 2kn u -4 + 2kn，v + 2k n (ke Z)-1log l 10,(2)為使函數(shù)有意義，需滿足sin xsin x0,1sin xw 二，即2正弦函數(shù)和單位圓如圖所示:sin x0.、n疋義域為x 2knxW2k n , k Z U65 nx 2kn x 0.一nx的取值范圍是. ： 3n 3 n即sin x-，如圖所示，在區(qū)間 一2，一廠 上，適合條件的n4 n所以該函數(shù)的定義域是2

7、kn 3, 2kn + y(k Z).正弦函數(shù)的周期性與奇偶性求下列函數(shù)的周期，并判斷其奇偶性.n y = sin 2x+ (x RR ;(2) y = |sin x|( x R).n 【精彩點撥】 (1)利用代換z = 2x + ，將求原來函數(shù)的周期轉化為求y= sin z的周期求解，或利用公式求解.(2)作出函數(shù)圖像觀察求解.n【自主解答】法一：令z = 2x + -, x R,. z R,函數(shù)y = sin z的最小正周期是 2 n,就是說變量 z只要且至少要增n加到Z + 2 n,函數(shù)y= sin z( z R)的值才能重復取得，而z + 2 n= 2x +石+ 2 n= 2(x +n

8、)n+ ，所以自變量 x只要且至少要增加到x+n，函數(shù)值才能重復取得，從而函數(shù)f(x)=nsin 2x + (x R 的周期是 n.n tf(x) = sin 2x + 中,co = 2,2n T=1 |2|nnnn又 sin 2x + -3 豐 sin 2x + -3，且 sin 2x + 豐 一 sin 2x+ ,n y= sin 2x + y 是非奇非偶函數(shù).作出y= |sin x|的圖像如圖：由圖像可知，y= |sin x|的周期為n.其圖像關于y軸對稱， y = |sin x|是偶函數(shù).1. 利用周期函數(shù)的定義求三角函數(shù)的周期，關鍵是抓住變量“ x”增加到“ x +，函 數(shù)值重復出現(xiàn)

9、，T是函數(shù)的一個周期這一理論依據(jù).2. 常見三角函數(shù)周期的求法2 n 對于形如函數(shù)y = Asin( + 0) , 3工0的周期求法，通常用定義 T=來求解；1 3 1(2)對于形如y=|Asin 3x|的周期情況，常結合圖像法來解決.再練一題3求下列函數(shù)的周期，并判斷其奇偶性.X n f(x) = 2sin 2石；(2)f(x) = |sin 2 x|.【解】 在f (x) = 2sin2nT=4n.又 f( X)豐一 f(x)，且 f( X)豐 f(x),(2)作出f(x) = |sin 2 x|的圖像如圖：x nf (x) = 2sin 2 6是非奇非偶函數(shù)n由圖知，y =|sin 2

10、x|的周期為，又其圖像關于 y軸對稱，因而是偶函數(shù).正弦函數(shù)的單調(diào)性(1)比較下列各組三角函數(shù)值的大小.sin3r 與sinsin 1 , sin 2 , sin 3 , sin 4(由大到小排列).ny = sin x(2)求函數(shù)y = sin _ x的單調(diào)遞增區(qū)間.【精彩點撥】(1)將所給角通過誘導公式化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用的單調(diào)性比較大小.n 將 x視為z,利用y = sin z的單調(diào)性求解.3 n2 n【自王解答】 sin 了 = sin ,sinn=sin 7，2 nnsin 亍sin T，所以sin3nTsin因為 sin 2 = sin( n 2) , sin 3 = si

11、n( n 3),n且 0n 3n 2sin 1sin( n 3)0，即卩 sin2si n 1si n 3si n 4.(2) y = sinnx = sin x - .k z,得nn3由 2k n W XW2k n +石n,2 62252kn + 3nWXW2kn + 3n, k乙所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn + |n，2kn + |n ，k 乙1. 比較sin a與sin卩的大小時，可利用誘導公式，把sin a與sin卩轉化為同 一單調(diào)區(qū)間上的正弦值，再借助于正弦函數(shù)的單調(diào)性來進行比較.n2. 比較sin a與cos卩的大小，常把cos卩轉化為sin 士卩后，再依據(jù)單調(diào)性 進行比較.3

12、當不能將兩角轉到同一單調(diào)區(qū)間上時，還可以借助于圖像或值的符號比較.4. 在求形如y= A si n( cox + 0 )( A0, co 0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應米用“換兀法” 整體代換，將“ ox+ 0”看作一個整體“ z”，即通過求y = A sin z的單調(diào)區(qū)間求原函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.再練一題4.比較sin辛n與sin警的大小.55【解】21 n/ sin = sin5nn4n + T = sinT，42 n sin5 = sin 82n5= sinn2nnfnr、/、八tt亍又y=sin x在，三上單調(diào)遞增.n 221 n 42 n/ sinsin，即 sinsin 5555探究共研型

13、與正弦函數(shù)有關的值域問題探究1求函數(shù)值域時首先應注意什么？【提示】求解函數(shù)值域時首先應看函數(shù)的定義域，在函數(shù)定義域內(nèi)來求值域.探究2 對于y= A sin 2x + Bsin x + C型的函數(shù)怎樣求值域？【提示】利用換元法轉化為二次函數(shù)求最值.求下列函數(shù)的值域. y = 3 2 sin x;(2) y = sin 2x +3sin x+ 4.【精彩點撥】(1)利用|sin x| 1即可求解.(2)配方求解，要注意|sin x| 1這一情況.【自主解答】T 1sin x 1,/ 1 sin x 1,1 3 2 sin x 5,函數(shù)y = 3 2 sin x的值域為1,5.令 t = sin x

14、,則一1 t 1,y=12+ .3t+ 4= tF 2+ 2,3 n2 n此時 sin x，即 x = 2kn + 或 x = 2kn + -7，k z.當 t = 1 時，ymin = 1 , 3.3 n此時 sin x = 1，即 x=2kn + , k 乙廠51廠函數(shù) y = sin 2x+,3sin x + 才的值域為4,3,2 .此類求復合函數(shù)最大值、最小值問題關鍵在于依據(jù)函數(shù)值的計算過程，把原函數(shù)轉化為兩個基本初等函數(shù)的最大 （?。┲祮栴}解答過程要特別注意：內(nèi)函數(shù) （本例中t = sin x）的5值域恰好是外函數(shù) 本例中y = t2+3t + 4的定義域.再練一題5. 求函數(shù) y

15、= sin 2x 4 sin x 1的值域.【解】 y = sin 2x 4 sin x 12=（sin x 2） 5.由一1sin x 1,得當sin x = 1時函數(shù)的最大值為4,當sin x = 1時，函數(shù)的最小值為4,所以函數(shù)的值域為4,4.構建體系1.正弦函數(shù)y= sinx, x R的圖像上的一條對稱軸是 ()【導學號：66470015】A.y軸B. x軸C.直線x=n2D.直線x =n正弦函 數(shù)的圖 像及其 性質(zhì)正弦函數(shù)的圖像及畫法 正弦函數(shù)的周期及奇偶性I正弦函數(shù)的單調(diào)性應用比豐殳大小3RWn【解析】結合函數(shù)y = sin x, x R的圖像可知直線 x=2是函數(shù)的一條對稱軸.【

16、答案】C2. 函數(shù)f(x) = 3 + sin x的最小正周期是()nA. B.n3nC.D. 2 n【解析】由3+ sin(2 n+ x) = 3+ sin x知f (x)的最小正周期為2 n.【答案】Dn n3. f (x) =- 2 sin x在 ,上的最大值為 .n nj nn nj【解析】f (x) = 2 sin x在,上是減少的，所以f (x) ma尸一 2 sin = 一 J 2.【答案】一 .24. 函數(shù)f(x) = sin 2x + 1的奇偶性是 .2 2【解析】f ( x) = sin( x) + 1 = sin x+ 1 = f (x),所以f(x)為偶函數(shù).【答案】偶函數(shù)5. 比較下列各組數(shù)的大小.(1) sin 2