第三章線性系統(tǒng)的時域分析

1、 0,)( 1tt 0,tt 0, 2 1 2 tt 0,)(tt s 1 2 1 s 3 1 s 1 22 s A tAsin 0 t Mp超調量 允許誤差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 圖3-2表示性能指標td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應曲線 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h d t r t p t s t % i(t) + r(t) c(t) + （a） 電路圖 R C R(s) C(s) （b）方塊圖 I(s) R(s) C(s) （c）等效方塊圖 圖(a)所示的RC電路，其微分方 程為，其中C(t)為電路輸出電 壓，r(t)

2、為電路輸入電壓， T=RC為時間常數(shù) 當初使條件為零時，其傳遞函 數(shù)為 )(trU dt du RC c c )()()(trtCtCT 1 1 )( )( )( TSsR sC s 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 則系統(tǒng)的輸出為 對上式取拉氏反變換，得 S sR 1 )( 1 111 1 1 )()()( TSSSTS sRssC )0(1)( tetc T t 圖3-4指數(shù)響應曲線 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t)=1-ec(t) Ttd69. 0 Ttr20. 2 誤差帶）%5(3Tts 不存在

3、和 % p t 1 1 )( )( )( TSsR sC s 1)(sR 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 則系統(tǒng)的輸出為 對上式取拉氏反變換，得 1 1 )( )( )( TSsR sC s 1 1 )( TS sC )0( 1 )( te T tc T t r(t)c(t) r(t) c(t) t 0 圖3-5 一階系統(tǒng)的斜坡響應 單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 則系統(tǒng)的輸出為 對上式取拉氏反變換，得 1 1 )( )( )( TSsR sC s 2 1 )( s sR TS T S T SSTS sRssC 1 11 1 1 )()()( 2 22 )0)(1 ()

4、()()( 1 teTtctrte t T 3 1 )( S sR T S T S T S T S T S D S C S B S A STS sRssC 1 1 1 1 ) 1 1 ()()()( 22 23233 )0)(1 ( 2 1 )( 1 22 teTTtttc t T )0( )1 ()()()( 1 2 teTTttctrte t T 單位加速度函數(shù)的拉氏變換為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 則系統(tǒng)的輸出為 對上式取拉氏反變換，得 1 1 )( )( )( TSsR sC s 0 tTeTt T t 0)1 ( 2 1 22 teTTtt T t 01 te T t )0( 1 te T

5、T t )(t S 1 2 1 S 3 1 S 2 2 1 t 1 1 TS 微 分 等價關系： 系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響 應的導數(shù)； 系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響 應的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。 )( 1 t t 1 積 分 凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱之為二階系統(tǒng) + 圖3-6 隨動系統(tǒng)原理圖 輸入電位計 輸出電位計 r c 發(fā)送 反饋信號 SM c ia 輸入裝置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 i 放大器 電動機 齒輪傳動 負載 誤差測量裝置 Ra (1) 該系統(tǒng)的任務：控制機械負載的位置,使其與參考位

6、置相協(xié)調。 (2) 工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸 出位置信號，轉換為與位置成正比的電信號。 KsKACm i 1 KbS r(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) (s) c(s) 3-113-103-12 KbS(s) 圖3-7 隨動系統(tǒng)方塊圖 不考慮負載力矩的情況下，控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 增益 阻尼系數(shù) 開環(huán)增益 機電時間常數(shù) 相應的閉環(huán)傳遞函數(shù) 為了使結果具有普遍意義，將上式表示為標準形式 ) 1( )( STS K sG m amAS iRCKKK 1 a bm R KC fF FKK 1 FJTm KSST K sG sG s s s m

7、r c 2 )(1 )( )( )( )( 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s m n T K KTm2 1 自然頻率（或無阻尼振蕩頻率） 阻尼比（相對阻尼系數(shù)） S(S+2n) n2 R(s) C(s) 圖3-8 標準形式的二階系統(tǒng)方塊圖 _ 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s n 02 2 2 nnS S 1 2 2, 1 nn S 傳遞函數(shù) 自然頻率（或無阻尼振蕩頻率） 阻尼比（相對阻尼系數(shù)） 二階系統(tǒng)的特征方程 二階系統(tǒng)的單位階躍響應 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s 02 2 2 nnS S1 2 2 , 1

8、nn S 0 10 1 1 0 圖3-9二階系統(tǒng)極點分布 左半平面0 01 =1 兩個相等根 jn =0 d=n jn =0 j 右半平面1 兩個不等根 0 (1) 欠阻尼 令 衰減系數(shù)， 阻尼振蕩頻率 當 ， 10 d nn j jS 2 2, 1 1 n 2 1 nd S sR 1 )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )()( 1 )()( 1 1 2 )()()( dn n dn n dn n dn n nn n SS S S SS S S SSS sRssC 1 2 1 瞬態(tài)分量 arccos 1 2 arctg )0()sin( 1 1 1 sin 1 cos1)( 2

9、 2 tte tteth d t dd t n n 對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為 穩(wěn)態(tài)分量 穩(wěn)態(tài)分量為1，表明系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)誤差 瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項 包絡線決定收斂速度 2 11 t n e 0 )0(sin1)(ttth n n (2) 無阻尼 單位階躍響應 這是一條平均值為1的正、余弦形式等幅振蕩，其振蕩頻率為 （由系統(tǒng)本身的結構參數(shù)確定），稱為無阻尼振蕩頻率 (3) 臨界阻尼 1 nn n n n SSSSS sC 1 )( 11 )( )( 22 2 )0()1 (11)( tteeteth n tt n t nnn 穩(wěn)態(tài)值為1的無超調單調上升過程

10、1 )1()1( )1()1( 1 )( )( 2 3 2 21 22 2 21 2 nn nn nn A S A S A SSS SSSSS sC )1(12 1 )1( 1 1 22 3 2 2 1 A S A A n 0 ) 1( 12 1 ) 1( 12 1 1)( ) 1( 22 ) 1( 22 22 teeth tt nn j S1 S2 衰減快 慢 基本上由S1決定 圖3-10二階系統(tǒng)的實極點 0 0200400600800100012001400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線 )0()sin( 1 1 1

11、sin 1 cos1)( 2 2 tte tteth d t dd t n n 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n d t(1) 令 arccos 1 , 5 . 0)( 2 arctgth d 2 2 1 )arccos1sin(2 ln 1 dn dn t t 在 值范圍內，近似有 n d t 2 2 . 06 . 01 亦可用 n d t 7 . 01 (2) r t 1)( r th ，求得 0)sin( 1 1 2 rd t te n d r t (3) p t 對時域表達式求導，并令其為零，求得 令 rdt 0)cos()sin( tete d t dd t

12、 n nn 2 1 )( ttg d 整理得 d p t (4)% 超調量在峰值時間發(fā)生，故 2 1 2 1)sin( 1 1 1)( eteth pd t p pn %100%100 )( )()( % 2 1 e h hth p 二階系統(tǒng)超調量與 阻尼比的關系 (5) S t 采用近似算法 當 當 )sin( 1 )()( 2 t e hth d t n 05. 0 n ts 5 . 3 02. 0 n ts 5 . 4 n d t 2 2 . 06 . 01 n r t 2 5 . 11 %103 1時相對誤差不超過 Tts 單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù) 輸入信號 計算增益分別為10，2

13、00，1500時，系統(tǒng)的誤差 作業(yè) P.73 4-2 4-3 )40( )( ss K sG ttr)( 二階系統(tǒng)的動態(tài)校正 兩種常用方法： 1. 比例微分控制 2. 測速反饋控制 1 )(sR)(sC sTd )2( 2 n n ss )(sE ) 12( ) 1( ) 12( ) 1( 2 ) 1 2 (2 ) 1( )2( ) 1( )( 22 n d n d n n n dn n nd SS STK SS ST S S ST SS ST sG 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 22 2 2 22 2 2 )2( ) 1 ( 2 ) 1( )(1 )( )( nndn d nd nndn dn STS T

14、 ST STSS ST sG sG s 比例微分控制 開環(huán)傳遞函數(shù)為 結論： 可通過適當選擇微分時間常數(shù)，不改變自然頻率，增大系統(tǒng)的阻尼比； 1.相當于給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點。 當輸入為單位階躍函數(shù)時 )2( 1 )2( 1 2 )()()( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 nn n nn n n nn SSS S ZSSS SZSS ZS sRssC 時，得單位階躍響應當1 d )1sin(1 1sin 1 )1sin( 1 1 1)( 2 2 2 2 2 tre te z teth dn t dn t d n dn t d nd ndnd 2 2 2 nnd ZZr )1( )(1

15、22 ddnddn arctgZarctg 測速反饋控制 )(sR)(sC sKt )2( 2 n n ss )(sE 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) tn n tnn tnn n t n n n n KKSS SKS SK SS SS sG 2) 12( 1 )2( )2( 1 )2( )( 2 2 2 2 2 2 nt n K K 2 2 開環(huán)增益 閉環(huán)傳遞函數(shù) 22 2 222 2 2)2()(1 )( )( nnt n nntn n SSSKSsG sG s 令 ntt K 2 1 結論： 測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差； 測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率 ； 可增

16、大系統(tǒng)的阻尼比 ； 測速反饋不形成閉環(huán)零點； 1.可適當增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。 比例微分控制與測速反饋控制的比較 附加阻尼的來源 比例微分控制的阻尼作用產生于系統(tǒng)輸入端誤差信號的速度； 測速反饋控制的阻尼作用產生于來源于系統(tǒng)輸出端的響應速度； 使用環(huán)境 比例微分控制對噪聲有明顯的放大作用； 測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端噪聲有濾波作用； 對開環(huán)增益和自然頻率的影響 比例微分控制對開環(huán)增益和自然頻率均無影響； 測速反饋控制會降低開環(huán)增益； 動態(tài)性能 比例微分控制相當于在系統(tǒng)中加入實零點，加快上升時間； 測速反饋控制在相同條件下超調量低于比例微分控制。 例3-2 圖 (a)所示的系統(tǒng)，具

17、有圖 (b)所示的響應，求K和T . )(sR)(sC )(sE ) 1(Tss K 2 1 254. 0% e 4 . 0 )254. 0ln( 254. 0ln 22 2 1 n d p t 14. 1 4 . 013 14. 3 1 22 p n t 解： (1) (2) nn TT K 2 1 , 2 42. 114. 109. 1 09. 1 14. 14 . 02 1 2 1 2 2 n n TK T ttr)( n d K 2 )(sR )(sC )2( 2 n n ss sKd1 解：閉環(huán)傳遞函數(shù) 2 2 2 2 )1 ( )( )( nn nd SS SK sR sC 2 1

18、 )( S sR 22 2 2 1 2 )1 ( )( SSS SK sC nn nd )2( 2 )2( )1 (1 )()()( 2 22 2 2 2 22 2 2 nn ndn nn nd SSS SKSS SSS SK S sCsRsE d n nn ndn SS SS K SS KS sSEe 2 2 2 lim)(lim 2 2 2 00 因此只要令 n d K 2 就可以實現(xiàn)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時無誤差地跟蹤單位斜坡輸入。 St p 1 K )(sR)(sC s1 ) 1( ss K 解： (1)2 . 0 2 1 e 456. 0 ) 1 (ln ) 1 ln( 22 st d p 1

19、srad d /14. 3 2 1 nd srad d n /53. 3 456. 01 14. 3 1 22 設一隨動系統(tǒng)如圖所示，要求系統(tǒng)的超調量為0.2，峰值時間 ， 求: (1) 求增益 和速度反饋系數(shù) (2) 根據(jù)所求的 和 值，計算該系統(tǒng)的 dSr ttt， K 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) KSKS K KSKSS K sR sC s )1 ()( )( )( 22 46.1253. 3 2 2 n K K n 12 178. 0 46.12 153. 3456. 0212 K n (2) St d r 65. 0 14. 3 097. 114. 3 14. 3 arccos14. 3 )

20、05. 0(17. 2 53. 3456. 0 5 . 3 ) 3 ( 5 . 3 St nn S )02. 0(80. 2 53. 3456. 0 5 . 4 ) 4 ( 5 . 4 St nn S St n d 37. 0 53. 3 456. 07 . 017 . 01 3.4 高階系統(tǒng)的時域響應 設高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為 )453(, )( )( 1 1 1 | 1 1 10 mn aSaSaS bSbSbSb sR sC nn nn mm mm 將上式的分子與分母進行因式分解，可得： )463(, )( )( )()( )()( )( )( 21 21 mn sD sM P

21、SPSPS ZSZSZSK sR sC n m 點稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)的零miZi, 2 , 1 點稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極njPj, 2 , 1 S sR 1 )( )473( )2()( )( )( 22 11 1 nkkk r R j q j i m i SSPSS ZSK sC 為復數(shù)極點的對數(shù)。為實極點的個數(shù)，rqrqn,2 將式（3-47）用部分分式展開，得 )483( 2 1)( )( 1 2 2 1 0 r k nkk k nk knkkk q j j j SS CSB PS A S A sC r k r k knk t kknk t k q j tp j tteCteBeAAtC n

22、kknkk j 11 22 1 0 )493 (01cos1sin)( 假設 響應函數(shù)由一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）和二階系統(tǒng)（振蕩 環(huán)節(jié)）組成. 輸入信號（控制信號）所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響 應的穩(wěn)態(tài)分量 。 傳遞函數(shù)極點所對應的拉氏反變換為系統(tǒng)響應的瞬態(tài) 分量。 閉環(huán)極點遠離虛軸，則相應的瞬態(tài)分量衰減得快，系 統(tǒng)的調整時間也就較短。 閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號。 如果所有閉環(huán)的極點均具有負實部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 過渡狀態(tài)結束后，系統(tǒng)的輸出量（被控制量）僅與輸 入量（控制量）有關。 主導極點 如果系統(tǒng)中有一個極點(或一對復數(shù)) 極點距虛軸最近， 且附近沒有閉環(huán)零點；而其它閉環(huán)極點與

23、虛軸的距離都比 該極點與虛軸距離大5倍以上，則此系統(tǒng)的響應可近似地 視為由這個（或這對）極點所產生。 應用主導極點概念，可以導出高階系統(tǒng)相應的近似表 達式。 設一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬 間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當 此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則 稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結 構、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關。 系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應函數(shù)的收斂是一致的 0)( lim tg t 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài) 如果系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) )533( )2()( )(

24、)()( 2 2 11 1 nknkk r k j q j i m i SSPS ZSK ssG nrq 2 r k nknkk knkknkkk q j j j SS CSB PS A sG 1 2 2 2 12 1)( )( 用部分分式展開 系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為 )543 (0,1sin1cos)( 22 11 teCteBeAtg knk t kk q j r k nk t k tp j nkknkk j 閉環(huán)特征方程式的根須都位 于S的左半平面 0)( lim tg t 系統(tǒng)穩(wěn)定 充要條件 不穩(wěn)定 穩(wěn)定 4 . 0 4 s t 0 理論 實際 思考：一個在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng)，會不會因某

25、個參考輸 入信號的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞？ s sR 1 )( 分析：單位階躍函數(shù) )2()( )( )()( 2 2 11 1 nknkk r k j q j i m i SSPSS SSK ssG r k r k knk t kknk t k q j tp j tteCteBeAAtC nkknkk j 11 22 1 0 )493(01cos1sin)( 穩(wěn)態(tài)分量 瞬態(tài)分量 參考輸入 結論：一個在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號作用下仍將繼 續(xù)保持穩(wěn)定 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： )553(00 01 2 2 1 10 aaSaSaSaSa nn nnn 將各項系數(shù)，按下

26、面的格式排成勞斯表 1 0 21 1 321 2 321 3 4321 2 7531 1 6420 fS eeS dddS cccS abbbS aaaaS aaaaS n n n n 1 2121 1 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 , , e edde f b baab c b baab c b baab c a aaaa b a aaaa b a aaaa b 表中 這樣可求得 n+1行系數(shù) 勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號的變化，判別特征 方程式根在S平面上的具體分布，過程如下： (1) 如果勞斯表中

27、第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都 在S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 (2) 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該 特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 0103 . 25175 .41 423 SSS 解：列勞斯表 40 1 42 3 103 . 2 5 .38 0103 . 25 .41 05171 S S S S 由于該表第一列系數(shù)的符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在 S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例3-6 已知某調速系統(tǒng)的特征方程式為 求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。 0)1 (16705175 .41 23 KSSS 解：列勞斯表

28、 )1 (1670 0 5 .41 )1 (16705175 .41 0)1 (16705 .41 05171 0 1 2 3 KS K S KS S 由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為 正值，可得： 0)1 (1670 0)1 (2 .40517 K K 9 .111K 勞斯判據(jù)特殊情況 勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零 或沒有余項 解決的辦法： a. 以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項，據(jù)此算出其余的各項， 完成勞斯表的排列； b. 用因子(s+a)乘以原特征方程，在對新的特征方程進行判斷， 其中a是任意正數(shù)。 c. 如果零上面的系數(shù)與下面的系數(shù)

29、符號相同，則表示該方程中 有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)屬不穩(wěn)定。 2. 若勞斯表出現(xiàn)全零的行，這說明存在一些絕對值相同但符號相 異的特征根。 解決的辦法： 可用全零行上一行的系數(shù)構造一個輔助方程，并將輔助方程對 復變量s求導，用導數(shù)方程的系數(shù)代替全零行。 例3-7 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 022 23 SSS 解：列勞斯表 2 )(0 22 11 0 1 2 3 S S S S 由于表中第一列上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同，表示該方程 中有一對共軛虛根存在，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 例如3-8 一個控制系統(tǒng)的特征方程為 01616201282 23456 SSSSSS

30、 解：列勞斯表 16 0 3 8 166 248 000 16122 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 S S S S S S S 由上表可知，第一列的系數(shù)均為正值，表明該方程在S右半平面上 沒有特征根。 令F(s)=0，求得兩對大小相等、符號相反的根 ，顯然這 個系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 2,2jj 勞斯判據(jù)的應用 勞斯穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況， 而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性 能。換句話說，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對于虛 軸的距離。 希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設該距離為變 量的特征方程式，

31、然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂 線右側。由此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側的根距 離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。 例3-8 用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程 是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線 的右方。 0413102 23 SSS 1S 解：列勞斯表 4 2 .12 10 8130 410 132 0 1 2 3 S S S S 第一列全為正，證明所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。 令 1 ZS 代入原特征方程04) 1( 3) 1(10) 1(2 23 ZZZ 0142 23 ZZZ化簡后得 列勞斯表的第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在

32、 垂直直線 的右方。 1 2 1 14 12 0 1 2 3 S S S S 1S 例3-9 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試回答 時閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ (1) 時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？ )(sR)(sC sKt ）（10) 5( 20 sss )(sGc 1)(sGc s sK sG p c ) 1( )( 解: (1) 當 時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 1)(sGc 0205015 020)10)(5( 23 SSS SSS 20 15 20750 2015 501 0 1 2 3 S S S S 第一列均為正值，S全部位于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 (2) 當 時， 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特

33、征方程為 s sK sG p c ) 1( )( )10)(5( ) 1(20 )()( 2 SSS SK sGsG p c 0) 1(20)10)(5( 2 SKSSS p 020205015 234 pp KSKSSS 排勞斯表 排勞斯表 p p p p p p p Ks K KK K s K K s Ks Kps 20 15/ )20750( 201520 15 20750 20 15 20750 02015 20501 0 9 1 2 3 4 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值 0 p K 5 .37020750 pp KK 020525015 15 20750 0 15 20750

34、 )15 15 20750 (20 p p p p p K K K K K 5 .26 p K5 .260 p K得到 作業(yè) P.73 4-4 (1)，(2) 4-5 4-6 3.6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)穩(wěn)定是前提 穩(wěn)態(tài)誤差的不可避免 1. 摩擦，不靈敏區(qū)，零位輸出等非線性因素 2. 輸入函數(shù)的形式不同(階躍、斜坡、或加速度) 無差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。 有差系統(tǒng)：在階躍函數(shù)作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。 本節(jié)主要討論 系統(tǒng)結構 輸入作用方式 穩(wěn)態(tài)誤差的定義 )(sR )(sC )(sG )(sH )(sE )(sG )()()()(sCsHsRsE )()()

35、(sCsCsE s 輸出的實際值 輸出的希望值(真值很難得到) 誤差傳遞函數(shù) )()(1 1 )( )( )( sGsHsR sE s def e )()(1 )( )()()( sGsH sR sRssE e )()()( 1 sRsLte e 0100200300400500600 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 2 4 . 0 46 . 1 4 )( 2 n ss s S(S+2n) n2 R(s) C(s) 圖3-8 標準形式的二階系統(tǒng)方塊圖 _ 二階系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的響應的誤差曲線 0100200300400500600 -1 -0.8

36、-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 二階系統(tǒng)在階躍輸入作用下的響應的誤差曲線 2 4 . 0 46 . 1 4 )( 2 n ss s )()(1 )( lim)(lim)( 00 sGsH ssR ssEee ss ssss )(ssE公式條件： 的極點均位于S左半平面（包括坐標原點） )()(1 )( )()()( sGsH sR sRssE e 輸入形 式 結構形式 利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)類型 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) )623(, ) 1( ) 1( )()( 1 1 mn STS SK sHsG j n j i m i 系統(tǒng)的開環(huán)增益。:K )( 2 2 1 00 : 復

37、合系統(tǒng)不會碰到。系統(tǒng)在控制工程中一般 種類型的很難使之穩(wěn)定，所以這型以上的系統(tǒng)，實際上時， 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 節(jié)數(shù)為系統(tǒng)中含有的積分環(huán) 注：系統(tǒng)類型與系統(tǒng)的階數(shù)的區(qū)別 令 ) 1() 1()()( 11 00 STSTsHsG j n j s m i 1)()(, 0 00 sHsGS )633()()()()( 00 S K sHsG S K sHsG 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算通式則可表示為 )643( lim )(lim 0 1 0 SK sRS e s s ss 輸入信號 開環(huán)增益有關 系統(tǒng)型別 與 )(sR Kess )()(1 )( lim)(lim 00 sGsH ssR ssEe

38、ss ss 階躍信號輸入 令 .)(,)( 0 00 S R sRRRtr常量。 )653( 1)()(lim1)()(1 )( lim 0 0 0 0 p s s ss K R sRsH R sGsH sSR e )663()()(lim 0 sRsHK s p 靜態(tài)位置誤差系數(shù): p K 1, 0, K K p 因此 1,0 0, 1 0 const K R ess 要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用 型及型以上的系統(tǒng)。 式中 斜坡信號輸入 )613(,)(,)( 2 0 00 則由 S v sRconstvtvtr )673( )()(lim)()( lim )()(1 lim

39、 0 0 00 0 2 0 0 v s ss ss K v sGsSH v sGsSHS v sGsH S v S e )683(lim)()(lim 1 00 S K sGsSHK ss v v K靜態(tài)速度誤差系數(shù) 2 1 00 KKv 20 1 0 0 K v ess 令 式中 因此 加速度信號輸入 )613()(, 2 1 )( 3 0 0 2 0 由式 S a sRconstatatr )693 (lim )()( lim )()(1 lim)(lim 0 0 22 0 0 3 0 00 a ssss ss K a sHsGSS a sHsG S a S sSEe )703(lim)(

40、)(lim 2 0 2 0 v ss a S K sHsGSK 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) a K 3 2 1 , 00 KKa 30 2 1 , 0 0 const K a ess 令 式中 因此 靜態(tài)位置 誤差系數(shù) p K v K 靜態(tài)加速度 誤差系數(shù) a K 靜態(tài)速度 誤差系數(shù) 0 )(Rtrtvtr 0 )( 2 0 2 1 )(tatr K R 1 0 K v0 K a0 ss e 例3-10 一單位反饋控制系統(tǒng)，若要求： 跟蹤單位斜坡輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2; 設該系統(tǒng)為三階，其中一對復數(shù)閉環(huán)極點為 , 求滿足上述要求的開環(huán)傳遞函數(shù)。 11j 解：根據(jù)和的要求，可知系統(tǒng)是型三階系統(tǒng)，因而令

41、其開環(huán) 傳遞函數(shù)為 )( )( 2 CbSSS K sG 因為CK C K K K e v r ss 5 . 0, 5 . 02 1 按定義 C K sGsSHK s v )()(lim 0 相應閉環(huán)傳遞函數(shù) pSpSpS K pSSS K KCSbSS K s 2) 22() 2()(22( )( 23223 所求開環(huán)傳遞函數(shù)為 )43( 2 )( 2 SSS sG 3 2 4 1 5 . 02 22 2 b K C p CKp Cp bp 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 擾動不可避免負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網(wǎng)電壓 波動和環(huán)境溫度的變化等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。它的大小反 映了系統(tǒng)抗干擾能

42、力的強弱。 )(sR )(sG )(sE )( 1 sG)(sG)( 2 sG )(sH )(sC )(sN 控制 對象 控制器 )(sR )(sG )(sE )( 1 sG)(sG)( 2 sG )(sH )(sC )(sN - - N N( (s s) )C C( (s s) ) H H( (s s) ) )( 2 sG )( 1 sG 輸出對擾動的傳遞函數(shù) )()()(1 )( )( )( )( 21 2 sHsGsG sG sN sC sM N 由擾動產生的輸出 )( )()()(1 )( )()()( 21 2 sN sHsGsG sG sNsMsC Nn 輸出對擾動的傳遞函數(shù) )(

43、 )()()(1 )( )(0)( 21 2 sN sHsGsG sG sCsE nn 系統(tǒng)的理想輸出為零，而擾動產生輸出端誤差信號 )( )()()(1 )( )(lim 21 2 0 sN sHsGsG ssG ssEe n s ssn 由終值定理得 令圖3中的 21 )( )(, )( )( 22 2 11 1 s sWK sG s sWK sG 1)(sH 則開環(huán)傳遞函數(shù)為 s sWKsWK sGsGsG )()( )()()( 2211 21 1)0()0(, 2121 WW )( )()( )( )( 2121 22 1 sN sWsWKKs sWKs sEn 下面討論V=0，1和

44、2時系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差 V=0 ，0型系統(tǒng) 當擾動為一階躍信號，即 s N sNNtn 0 0 )(,)( 21 02 1KK NK essn )( )()( )( )(lim 2121 2 0 1 sN sWsWKKs sWss ssEe n s ssn 1 21 KK 1 0 K N essn 由于 1 0, 1 21 1,0 21 注：參考輸入雖然都是I型系統(tǒng)，但抗擾動 的能力不同，產生的穩(wěn)態(tài)誤差相同。 0, 1 21 s N sNNtn 0 0 )(,)(階躍信號 0 )()( )( )(lim 0 2121 22 0 s N sWsWKKs sWsKs ssEe n s ssn V=

45、1 ， I型系統(tǒng) 斜坡信號 2 0 0 )(,)( s N sNtNtn 1 0 2 0 2121 22 0 )()( )( )(lim K N s N sWsWKKs sWsKs ssEe n s ssn 1,0 21 1 00 2121 22 0 )()( )( )(lim K N s N sWsWKKs sWKs ssEe n s ssn 階躍信號 s N sNNtn 0 0 )(,)( 斜坡信號 2 0 2121 22 0 )()( )( )(lim s N sWsWKKs sWKs ssEe n s ssn 2 0 0 )(,)( s N sNtNtn 結論:擾動穩(wěn)態(tài)誤差只與作用點前

46、的 結構和參數(shù)有關。如 中的 時，相應系統(tǒng)的階躍擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零；斜坡穩(wěn)態(tài)誤差 只與 中的增益 成反比。至于擾動作用點后的 ,其增 益 的大小和是否有積分環(huán)節(jié)，它們均對減小或消除擾動引起的 穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么作用。 )( 1 sG)( 1 sG 1 1 )( 1 sG 1 K )( 2 sG 2 K 0,2 21 1, 1 21 2,0 21 結論: 第一種組合的系統(tǒng)具有II型系統(tǒng)的功能，即對于階躍和斜坡擾動 引起的穩(wěn)態(tài)誤差均為零; 第二種組合的系統(tǒng)具有I型系統(tǒng)的功能，即由階躍擾動引起的穩(wěn) 態(tài)誤差為零，斜坡產生的穩(wěn)態(tài)誤差為 1. 系統(tǒng)的第三種組合具有0型系統(tǒng)的功能，其階躍擾動產生的穩(wěn)態(tài) 誤差為 ，斜坡擾動引起的誤差為 1 0 K N 。 1