等比數(shù)列教學設計說明

1、等比數(shù)列教學設計（共 2 課時）一、教材分析 ：1 、內容簡析： 本節(jié)主要內容是等比數(shù)列的概念及通項公式， 它是繼等差數(shù)列后有一個特殊數(shù)列， 是研 究數(shù)列的重要載體， 與實際生活有密切的聯(lián)系， 如細胞分裂、 銀行貸款問題等都要用等比數(shù) 列的知識來解決， 在研究過程中體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想、 函數(shù)思想和方程思想， 在 高考中占有重要地位。2 、教學目標確定 ： 從知識結構來看， 本節(jié)核心內容是等比數(shù)列的概念及通項公式， 可從等比數(shù)列的 “等比” 的特點入手，結合具體的例子來學習等比數(shù)列的概念，同時，還要注意“比”的特性。在學 習等比數(shù)列的定義的基礎上， 導出等比數(shù)列的通項公式以及一些常用的

2、性質。 從而可以確定 如下教學目標（三維目標） ：第一課時：（1 ）理解等比數(shù)列的概念 ，掌握等比數(shù)列的通項公式及公式的推導（ 2 ）在教學過程中滲透方程、函數(shù)、特殊到一般等數(shù)學思想，提高學生觀察、歸納、猜 想、證明等邏輯思維能力（ 3 ）通過對等比數(shù)列通項公式的推導，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)意識、創(chuàng)新意識第二課時：（ 1 ）加深對等比數(shù)列概念理解，靈活運用等比數(shù)列的定義及通項公式，了解等比中項概 念，掌握等比數(shù)列的性質（ 2 ）運用等比數(shù)列的定義及通項公式解決問題，增強學生的應用3 、教學重點與難點： 第一課時：重點：等比數(shù)列的定義及通項公式 難點：應用等比數(shù)列的定義及通項公式，解決相關簡單問題第二課時

3、： 重點：等比中項的理解與運用，及等比數(shù)列定義及通項公式的應用 難點：靈活應用等比數(shù)列的定義及通項公式、性質解決相關問題二、學情分析 ： 從整個中學數(shù)學教材體系安排分析， 前面已安排了函數(shù)知識的學習， 以及等差數(shù)列 的有關知識的學習， 但是對于國際象棋故事中的問題，學生還是不能解決， 存在疑問。 本課 正是由此入手來引發(fā)學生的認知沖突， 產生求知的欲望。 而矛盾解決的關鍵依然依賴于學生 原有的認知結構在研究等差數(shù)列中用到的思想方法， 于是從幾個特殊的對應觀察、 分析、 歸納、概括得出等比數(shù)列的定義及通項公式。高一學生正處于從初中到高中的過度階段， 對數(shù)學思想和方法的認識還不夠， 思維能力 比較

4、欠缺， 他們重視具體問題的運算而輕視對問題的抽象分析。 同時， 高一階段又是學生形 成良好的思維能力的關鍵時期。因此，本節(jié)教學設計一方面遵循從特殊到一般的認知規(guī)律， 另一方面也加強觀察、分析、歸納、概括能力培養(yǎng)。多數(shù)學生愿意積極參與， 積極思考， 表現(xiàn)自我。所以教師可以把盡可能多的時間、 空間 讓給學生， 讓學生在參與的過程中， 學習的自信心和學習熱情等個性心理品質得到很好的培 養(yǎng)。這也體現(xiàn)了教學工作中學生的主體作用。三、教法選擇與學法指導 ：由于等比數(shù)列與等差數(shù)列僅一字之差， 在知識內容上是平行的， 可用比較法來學習等比 數(shù)列的相關知識。 在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎上，

5、牢固掌握數(shù)列的 相關知識。因此，在教法和學法上可做如下考慮：1 、教法：采用問題啟發(fā)與比較探究式相結合的教學方法教法構思如下：提出問題 作用于原來的認知結構 引發(fā)認知沖突 在原有認知的基礎上分 析 觀察 分析 在特殊情況下 歸納概括 一般情況下 得出結論 例題和練習 總結提高。在教師的精心組織下， 對學生各種能力進行培養(yǎng)， 并以促進學生發(fā)展， 又以學生的發(fā)展帶動其學習。 同時， 它也能促進學生學會如何學習，因而特別有利于培養(yǎng)學生的探索能力。2、學法指導： 學生學習的目的在于學會學習、 思考，達到創(chuàng)新的目的， 掌握科學有效的學習方法，可 增強學生的學習信心，培養(yǎng)其學習興趣， 提高學習效率， 從而

6、激發(fā)強烈的學習積極性。 我考 慮從以下幾方面來進行學法指導：（1 ） 把隱含在教材中的思想方法顯化。如等比數(shù)列通項公式的推導體現(xiàn)了從特殊 到一般的方法。 其通項公式 an a1qn 1 是以 n 為字變量的函數(shù)， 可利用函數(shù) 思想來解決數(shù)列有關問題。思想方法的顯化對提高學生數(shù)學修養(yǎng)有幫助。（2 ） 注重從科學方法論的高度指導學生的學習。通過提問、分析、解答、總結， 培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。訓練邏輯思維的嚴密性和 深刻性的目的。四、教學過程設計 ：第一課時1 、 創(chuàng)設情境，提出問題 （閱讀本章引言并打出幻燈片） 情境 1 ：本章引言內容提出問題：同學們，國王有能力滿足發(fā)明者的

7、要求嗎？ 引導學生寫出各個格子里的麥粒數(shù)依次為： 1，2， 22 ,23,24, ， 263（1）于是發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是 1+ 2+22 +23 +263情境 2 ：某人從銀行貸款 10000 元人民幣，年利率為 r ，若此人一年后還款，二年后 還款，三年后還款，還款數(shù)額依次滿足什么規(guī)律？2）2310000(1+r),10000 (1 r ) 2 ,10000 (1 r )3,情境 3 ：將長度為 1 米的木棒取其一半， 將所得的續(xù)取其一半，各次取得的木棒長度依次為多少？半再取其一半，1,1,1,2,4,8,再將所得的木棒繼3）(12)問：你能算出第 7 次取一半后的長度是多少嗎？觀察、歸

8、納、猜想得2、自主探究，找出規(guī)律：學生對數(shù)列（ 1），（ 2），（ 3）分析討論，發(fā)現(xiàn)共同特點：從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一常數(shù)。 也就是說這些數(shù)列從第二項起， 每一項與前一項的比都具有“相等”的特點。于是得到等比數(shù)列的定義：般地，如果一個數(shù)列從第二項起， 每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列。 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比， 公比常用字母 q （q 0）表示，即 an:an 1 q（n N,n 2,q 0） 。1 如數(shù)列（ 1 ），（ 2），（ 3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是 2，1+r, 12 點評：等比數(shù)列與等差數(shù)列僅一字之差， 對比知從 第二項起

9、 ，每一項與前一 項之“ 差”為常數(shù) ，則為等差數(shù)列，之“ 比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱 為“公差”或“公比”。3、觀察判斷，分析總結： 觀察以下數(shù)列，判斷它是否為等比數(shù)列，若是，找出公比，若不是，說出理 由，然后回答下面問題：1，3，9，27 ，1111, , , , 2481，-2，4，-8，-1，-1，-1 ，-1，1，0，1，0， 思考：公比 q能為 0 嗎？為什么？首項能為 0 嗎？公比 q 1 是什么數(shù)列？ q 0 數(shù)列遞增嗎？ q 0 數(shù)列遞減嗎？ 等比數(shù)列的定義也恰好給出了等比數(shù)列的遞推關系式： 這一遞推式正是我們證明等比數(shù)列的重要工具。選題分析； 因為等差數(shù)列公差 d

10、可以取任意實數(shù)， 所以學生對公比 q 往往忘卻它不能取 0 和能取 1 的特殊情況，以致于在不為具體數(shù)字(即為字母運算)時不會討論以上兩種情況，故給出問題以揭示學生對 公比 q有防患意識，問題 是讓學生明白 q 0 時等比數(shù)列的單調性不定，而 q 0 時數(shù)列為擺動數(shù)列， 要注意與等差數(shù)列的區(qū)別。備選題：已知 x R則x,x2,x3, xn ，成等比數(shù)列的從要條件是什么？4、觀察猜想，求通項：方法 1：由定義知道 a2 a1q,a3 a2q a1q2,a4 a3q a1q3, 歸納得：等 比數(shù)列的通項公式為： an a1qn 1 (n N )說明：推得結論的這一方法稱為 歸納法 ，不是公式的證明

11、，要想對這一方式的結論給出嚴格的證明， 需在學習數(shù)學歸納法后完成， 現(xiàn)階 段我們只承認它是正確的就可以了)方法 2 ：迭代法根據等比數(shù)列的定義有23anan 1 q an 2 qan 3 qa22a1n1q方法 3 ：由遞推關系式或定義寫出： a2 q, a a2a1q,a4a3q,anan 1q ，通過觀察發(fā)現(xiàn) a2 ?a3 ?a4a1 a2 a3anan 1q q q qn1qann 1 n 1n q ，即： an a1q ( n a1N)此證明方法稱為“ 累商法 ”，在以后的數(shù)列證明中有重要應用)公式an a1qn 1 (n N )的特征及結構分析：1) 公式中有四個基本量： a1,n,

12、q,an ，可“知三求一”，體現(xiàn)方程思想。2) a1的下標與的 qn 1上標之和 1 (n 1) n，恰是 an 的下標，即 q的指數(shù)比項數(shù)少 1 。5、問題探究：通項公式的應用例、已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列， a3 2,a8 64，求 a14的值。 44備選題：已知數(shù)列 an 滿足條件： an p（4）n，且 a44 。求 a8的值5 256 、課堂演練：教材 138 頁 1 、2 題備選題 1：已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列， a1 a3 10,a4 a6 5，求 a4的值 4備選題 2：公差不為 0 的等差數(shù)列 an 中， a2 , a3 ,a6依次成等比數(shù)列， 則公比等于7、歸納總結：（1

13、）等比數(shù)列的定義，即 an qn 1 （q 0）a1（2）等比數(shù)列的通項公式 an a1qn 1 （n N ） 及推導過程。8、課后作業(yè)：必作：教材 138 頁練習 4；習題 1（2 ）（4）2、3、4、5選作： 1 、已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列，且 a1 a2 a3 7,a1a2a3 8，求 an2 、已知數(shù)列 an 滿足 a1 1,an 1 2an 1（1 ）求證： an 1 是等比數(shù)列；。（2）求 an 的通項 an 。第二課時1、 復習回顧 ：上節(jié)課，我們學習了（打出幻燈片）（1） 等比數(shù)列定義： an :an 1 q（n N,n 2,q 0）（ 2） 通項公式： an a1qn 1

14、（n N ,q 0）（3）若 an n 1 ，數(shù)列 an 是等比數(shù)列嗎？ an a1 （n 1）n 1對不對？an 1 n n（注意：考慮公比 q 為常數(shù)）2、 嘗試練習 ：在等比數(shù)列 an 中（1） a2 18,a4 8 ，求 a1,q（2） a5 a1 15,a4 a2 6,求 an（3）在2 與8 之間插入一個數(shù) A，使2，A，8成等比數(shù)列，求 A （鼓勵學生嘗試用不同的方法求解，相互討論分析不同的解法，然后歸納出等比數(shù)列的性質） 3 、性質探究 ：（1）若 a,G,b 成等比數(shù)列，則 G2 ab有，稱 G 為a,b 的等比中項，即 Gab （a與 b同號）；思考： a2是誰的等比中項？

15、 a3呢？ an 呢？總結歸納得到性質（ 2 ）2（2）an an 1 an 1（n 2）逆向思考：若數(shù)列 an 滿足 an2 an 1 an 1（n 2） ，它一定是等比數(shù)列嗎？（3）若m n p q，則am an ap aq（m,n, p, q為正整數(shù)）（4）an am qn m（nf m,n,m N ）4 、靈活運用 ：下面我們來看應用等比數(shù)列性質可以解決那些問題。例1、 在等比數(shù)列 an 中，a3 a5 100，求 a4變式 1、等比數(shù)列 an 中，若 a2 2,a6 162，則 a10變式 2 、等比數(shù)列an中，若 a7a125，則 a8a9a10a11變式 3、等比數(shù)列an中，若

16、a1a2a3 7,a1a2a38 ，則 anan bn 是等比數(shù)列例2、 已知數(shù)列 an , bn 是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證：變式 1 、已知數(shù)列 an , bn 是項數(shù)相同的等比數(shù)列，問數(shù)列an bn 是等比數(shù)列嗎？變式 2 、已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，若取出所有偶數(shù)項組成一個新數(shù)列，此數(shù)列還是等比數(shù)列 嗎？若是，它的首項和公比分別為多少？變式 3、已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，若取出 a10,a20,a30, 組成一個新數(shù)列，此數(shù)列還是等比 數(shù)列嗎？若是，它的首項和公比分別為多少？變式 4 、已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列，若每一項乘以非零常數(shù) C 組成一個新數(shù)列，此數(shù)列還是等 比數(shù)列嗎？若是，它的首項和公比分別為多少？（通過上述問題的討論求解，歸納、總結、推廣得出等比數(shù)列的一些性質）例3、 三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為 14 ，它們的積為 64 ，求這三個數(shù)備選題、有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，其和為 19 ，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為 12 ，求 這四個數(shù)。5 、課堂演練：教材 138 頁 3、 4、5備選題：已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列，且 an f 0,a2a4 2a3a5 a4a6 25則 a3 a5 備選題：有四