12-1 常數(shù)項級數(shù)

1、無窮級數(shù)無窮級數(shù) 第十二章第十二章 無限項和無限項和 極限的深入極限的深入 aqn q qa S n n 1 1 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具 表示函數(shù)表示函數(shù) 研究性質(zhì)研究性質(zhì) 數(shù)值計算數(shù)值計算 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 冪級數(shù)冪級數(shù) 付氏級數(shù)付氏級數(shù) 內(nèi)容：內(nèi)容： 作用：作用： 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的一、常數(shù)項級數(shù)的概念概念 二、無窮級數(shù)的基本二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的三、級數(shù)收斂的必要條件必要條件 四、四、正項正項級數(shù)及其級數(shù)及其審斂法審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)第一節(jié) 第十一章

2、一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積A. 0 a 1 a 2 a n a ,時n 則則 n aaaaA 210 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （劉徽（劉徽“割圓術(shù)割圓術(shù)”） 引例引例2. 小球從小球從 1 米高處自由落下米高處自由落下, 每次跳起的高度減每次跳起的高度減 少一半少一半, 問小球是否會在某時刻停止運動問小球是否會在某時刻停止運動? 說明道理說明道理. 由自由落體運動方程由自由落體運動方程 2 g 2 1 ts 知知 g 2s t 則小球運動的時間為則小球運動的時間為 1

3、tT 2 2t 3 2t g 2 1 2 1 2 2 )2( 1 21 2 g 12 63. 2 ( s ) 設(shè)設(shè) tk 表示第表示第 k 次小球落地的時間次小球落地的時間, 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定義定義： 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列, 321n uuuu將各項依將各項依 , 1 n n u即即 1n n u n uuuu 321 稱上式為稱上式為無窮級數(shù)無窮級數(shù)， 其中第其中第 n 項項 n u叫做級數(shù)的叫做級數(shù)的一般項一般項, 級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和 n k kn uS 1 稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和. n uuuu 321 次相加次相加

4、, 簡記為簡記為 ,lim存在若SSn n 收斂收斂 , 則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 并稱并稱 S 為級數(shù)的為級數(shù)的和和, 記作記作 1n n uS 1n n uS當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 21nnnn uuSSr 為級數(shù)的為級數(shù)的余項余項. ,lim不存在若 n n S 則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 顯然顯然0lim n n r 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 n k kn uS 1 n uuuu 321 1n n u 發(fā)散發(fā)散 . 稱差值稱差值 例例1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù)) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q

5、 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若,1q 12 n n qaqaqaaS q qaa n 1 時，當(dāng)1q, 0lim n n q由于從而從而 q a n n S 1 lim 因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 , ; 1 q a ,1時當(dāng)q,lim n n q由于從而從而 ,lim n n S 則部分和則部分和 因此級數(shù)因此級數(shù)發(fā)散發(fā)散 . 其和為其和為 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2). 若若,1q ,1時當(dāng)qanSn因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ; ,1時當(dāng)q aaaaa n 1 ) 1( 因此因此 n S n 為奇數(shù)為奇數(shù) n 為偶數(shù)為偶數(shù)

6、從而從而 n n S lim 綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ; 1q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 . 則則 , 級數(shù)成為級數(shù)成為 ,a ,0 不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散. 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 幾何級數(shù)幾何級數(shù) 時當(dāng)，發(fā)散 時當(dāng)收斂 1)( 1),( qD qC )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n 例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性: ; 1 ln) 1 ( 1 n n n 解解: (1) 1 2 ln n S nnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln ) 1ln( n）n(

7、 所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ; 技巧技巧: 利用 “拆項相消拆項相消” 求 和 2 3 ln 3 4 ln n n1 ln 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . ) 1( 1 )2( 1 n nn 解解： ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 nn Sn 2 1 1 1 1 1 n ）n(1 所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 . 3 1 2 1 4 1 3 1 1 11 nn 技巧技巧: 利用 “拆項相消拆項相消” 求 和 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . ) 1( 1 )2( 1 n nn 32 2 5 2 3 2 1 n S n n 2 12 nn SS 2 1 1432

8、2 12 2 5 2 3 2 1 n n 2 1 2 1 2 2 1 13 2 1 2 1 n 1 2 12 n n 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 n 1 2 12 n n 1 2 1 1 2 1 n1 2 12 n n , 2 12 2 1 3 2nn n n S n n 2 12 2 5 2 3 2 1 32 這說明原級數(shù)收斂這說明原級數(shù)收斂, 其和為其和為 3 . , 3lim n n S故 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 2 12 n n n 例例3. 無窮級數(shù)無窮級數(shù)有限項和的有限項和的極限極限 BAxgxf)()(lim( )()(li

9、m(xgxf不存在不存在 cAxcfc)(lim, 0 有,)(limAxf若 ,)(lim,)(limBxgAxf若 不存在)(lim,)(limxgAxf若 極限的運算性質(zhì)極限的運算性質(zhì) 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù) 1n n u 收斂于收斂于 S , 1 n n uS則各項則各項 乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù) 1n n uc也收斂也收斂 , 證證: 令令, 1 n k kn uS則則 n k kn uc 1 , n Sc n n limSc 這說明這說明 1n n uc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . n n Sc lim 說明

10、說明: 級數(shù)各項乘以級數(shù)各項乘以非零常數(shù)非零常數(shù)后其斂散性不變后其斂散性不變 . 即即 其和為其和為 c S . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)設(shè), 1 Su n n 1n n v 則級數(shù)則級數(shù))( 1 n n n vu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 說明說明: (2) 若兩級數(shù)中一個若兩級數(shù)中一個收斂收斂一個一個發(fā)散發(fā)散 , 則則 )( 1 n n n vu 必必發(fā)散發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散但若二級數(shù)都發(fā)散 , )( 1 n n n vu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散. (1) 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .

11、(用反證法可證用反證法可證) 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級數(shù) 的斂散性的斂散性. ， 1n n u 1n n v收斂，且收斂，且 的任何一個自序列 n x為極限。都以ax k n n x原數(shù)列原數(shù)列 必發(fā)散必發(fā)散. . 為極限以axn k n x若有一子列若有一子列發(fā)散，發(fā)散， 序列與子序列關(guān)系序列與子序列關(guān)系 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級 數(shù)的和數(shù)的和. 證證: 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù), 1 n n uS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()( 54321 uu

12、uuu 則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(m m 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和 序列序列 ),2,1(nSn的一個子序列的一個子序列, n n m m S limlimS 推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散. 注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. ,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散. 因此必有因此必有 例如，例如， 用反證法可證用反證法可證 例如例如 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例4.判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性: 1

13、4 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù) )()()( 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 1 1 1 1 nn an 1 2 n n n a 2 發(fā)散發(fā)散 , 從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 . n n 1 2 1 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 發(fā)散！發(fā)散！ 事實上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則則 0)(lim 2 nn n SS n n 2 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 但但 nn SS2 矛盾矛盾! 2 1 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級

14、數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù) , 1 n n uS 則必有則必有.0lim n n u 證證: 1 nnn SSu 1 limlimlim n n n n n n SSu0SS 可見可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 . 例如例如, 1 ) 1( 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n n 其一般項為其一般項為 1 ) 1( 1 n n u n n 不趨于不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散因此這個級數(shù)發(fā)散. n un,時當(dāng) 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注意注意:0lim n n u并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)

15、收斂的充分條件. 例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 雖然雖然，0 1 limlim n u n n n 但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 數(shù)列極限性質(zhì)數(shù)列極限性質(zhì) 反之不真反之不真 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界. 單調(diào)且有界的數(shù)列必有極限！單調(diào)且有界的數(shù)列必有極限！ 四、正項級數(shù)及其審斂法四、正項級數(shù)及其審斂法 若若,0 n u 1n n u 定理定理 1. 正項級數(shù)正項級數(shù) 1n n u收斂收斂部分和序列部分和序列 n S ),2, 1(n有界有界 . 若若 1n n u收斂收斂 , ,收斂則

16、n S ,0 n u部分和數(shù)列部分和數(shù)列 n S n S有界有界, 故故 n S 1n n u從而從而 又已知又已知 故有界故有界. 則稱則稱為為正項級數(shù)正項級數(shù) . 單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂. 證證: “ ” “ ” 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理2 (比較審斂法比較審斂法) 設(shè)設(shè), 1 n n u 1n n v 且存在且存在 , ZN 對一切對一切 ,Nn 有有 (1) 若若強強級數(shù)級數(shù) 1n n v則則弱弱級數(shù)級數(shù) 1n n u (2) 若若弱弱級數(shù)級數(shù) 1n n u則則強強級數(shù)級數(shù) 1n n v 則有則有 收斂收斂 ,也收斂也

17、收斂 ; 發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 . nn vku 是兩個是兩個正項級數(shù)正項級數(shù), (常數(shù)常數(shù) k 0 ), 例例1. 討論討論 p 級數(shù)級數(shù) ppp n 1 3 1 2 1 1(常數(shù)常數(shù) p 0) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若, 1p因為對一切因為對一切, Zn 而而調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 1 1 n n 由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級數(shù)級數(shù) 1 1 n p n n 1 發(fā)散發(fā)散 . 發(fā)散發(fā)散 , p n 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2) 若若 , 1p ppp n p nn 1 3 1 2 1 1 1 1 pp 15 1 8 1 pppp

18、pp 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 ppp 8 8 4 4 2 2 1 n pppp1 3 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 收收斂斂收收斂斂，故故 pp n 1 2 1 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 pppppppp 8 1 8 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 1 1 n n 發(fā)散發(fā)散 p 級數(shù)級數(shù) 1 1 n p n 時，發(fā)散 時，收斂 1 1 p p 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)與與 p 級數(shù)級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù). 若存在若存在 , ZN 對一切對一切,Nn ,

19、1 ) 1( n un , ) 1( 1 )2(p n u p n . 1 收斂則 n n u ; 1 發(fā)散則 n n u 證明級數(shù)證明級數(shù) 1 )1( 1 n nn 發(fā)散發(fā)散 . 證證: 因為因為 2 ) 1( 1 ) 1( 1 n nn ),2, 1( 1 1 n n 而級數(shù)而級數(shù) 1 1 1 n n 2 1 k k 發(fā)散發(fā)散 根據(jù)比較審斂法可知根據(jù)比較審斂法可知, 所給級數(shù)發(fā)散所給級數(shù)發(fā)散 . 例例2 2. . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式) , 1 n n u 1n n v ,liml v u n

20、n n 則有則有 兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ; (2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 , 1 收斂時且 n n v ; 1 也收斂 n n u (3) 當(dāng)當(dāng) l = , 1 發(fā)散時且 n n v . 1 也發(fā)散 n n u 證證: 據(jù)極限定義據(jù)極限定義, 0對, ZN存在 l n n v u )(l 設(shè)兩正項級數(shù)設(shè)兩正項級數(shù) 滿足滿足 (1) 當(dāng)當(dāng) 0 l 時時, ,時當(dāng)Nn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 nnn vluvl)()( , l取由由定理定理 2 可知可知 與 1n n u 1n n v 同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散 ; )(Nn ),

21、()(Nnvlu nn 利用 (3) 當(dāng)當(dāng)l = 時時, , ZN存在,時當(dāng)Nn ,1 n n v u 即即 nn vu 由由定理定理2可知可知, 若若 1n n v 發(fā)散發(fā)散 , ; 1 也收斂則 n n u (1) 當(dāng)當(dāng)0 l 時時, (2) 當(dāng)當(dāng)l = 0時時,由由定理定理2 知知 1n n v收斂收斂 , 若若 . 1 也發(fā)散則 n n u 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 l n n v u ,liml v u n n n , n u n v,liml v u n n n 是兩個是兩個正項級正項級數(shù)數(shù), (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級

22、數(shù)同時收斂或發(fā)散 ; 特別取特別取, 1 p n n v 可得如下結(jié)論可得如下結(jié)論 :對正項級數(shù)對正項級數(shù), n u ,1p l0 ,1p l0發(fā)散 n u (2) 當(dāng)當(dāng) 且且 收斂時收斂時,0l n v (3) 當(dāng)當(dāng) 且且 發(fā)散時發(fā)散時, l n v 也收斂也收斂 ; n u 也發(fā)散也發(fā)散 . n u 收斂 n u 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 p nlun n lim 的斂散性的斂散性. n n n 1 lim 例例3. 判別級數(shù)判別級數(shù) 1 1 sin n n 的斂散性的斂散性 . 解解: n lim sin 1 nn 1 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知 . 1 sin 1 發(fā)散 n n 例例4. 判別級數(shù)判別級數(shù) 1 2 1 1ln n n 解解: n lim 2 2 1 lim n n n 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知. 1 1ln 1 2 收斂 n n n n 1 sin )1ln( 2 1 n 2 1 n 2 n 2 1 1ln n 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxxx tanarcsinsin mn