排列組合的21種例題優(yōu)化版

1、5 2高考數(shù)學(xué)復(fù)習 解排列組合應(yīng)用題的 21 種策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌 握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效 途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.例 1.a, b, c , d , e五人并排站成一排，如果 a, b 必須相鄰且 b 在 a 的右邊，那么不同的排法種數(shù)有a、60 種 b、48 種 c、36 種 d、24 種1.解析：把a, b視為一人，且 b 固定在 a 的右邊，則本題相當于 4 人的全排

2、列，a44=24種，答案： d .2.相離問題插空法:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把 規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是a、1440 種 b、3600 種 c、4820 種 d、4800 種2.解析：除甲乙外，其余 5 個排列數(shù)為 a 種，再用甲乙去插 6 個空位有 a 種，不同的5 6排法種數(shù)是a5 a 2 =3600 5 6種，選b.3. 定序問題縮倍法 :在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方 法.例 3.a, b, c , d , e五人并排站

3、成一排，如果 b 必須站在 a 的右邊（ a, b 可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是a、24 種 b、60 種 c、90 種 d、120 種3.解析： b 在 a 的右邊與 b 在 a 的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是 5 個元素全排列數(shù)的一半，即12a55=60種，選b.4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另 一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例 4.將數(shù)字 1，2，3，4 填入標號為 1，2，3，4 的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格 的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有a、6 種 b、9 種 c、11 種 d、23 種4. 解析：先把

4、 1 填入方格中，符合條件的有 3 種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填 入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有 33 1=9 種填法，選 b .5. 有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.2 33 3 3例 5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需 2 人承擔，乙丙各需一人承擔，從 10 人中選出 4 人承擔 這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是a、1260 種 b、2025 種 c、2520 種 d、5040 種（2）12 名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口 4 人，則不同的分配方案 有a、c 4 c 4c 12 84

5、4種 b、3c 4 c 4 c 12 844種 c、c 4 c 4 a3 12 8 3種 d、c 4 c 4 c 4 12 8 4a33種5.解析：先從 10 人中選出 2 人承擔甲項任務(wù)，再從剩下的 8 人中選 1 人承擔乙項任務(wù)，第三步從另外的 7 人中選 1 人承擔丙項任務(wù)，不同的選法共有 6.答案： a .c 2 c 1c 1 10 8 7=2520 種，選 c .6.全員分配問題分組法:例 6.（1）4 名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到 3 所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有 多少種？（2）5 本不同的書，全部分給 4 個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為a、480 種 b、

6、240 種 c、120 種 d、96 種7.解析：把四名學(xué)生分成 3 組有 c 種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有 a 種，故4 3共有c2 a34 3=36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.8.答案：b.7.名額分配問題隔板法:例 7.10 個三好學(xué)生名額分到 7 個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？9.解析：10 個名額分到 7 個班級，就是把 10 個名額看成 10 個相同的小球分成 7 堆，每 堆至少一個，可以在 10 個小球的 9 個空位中插入 6 塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為c 69=84種.

7、8.限制條件的分配問題分類法:例 8.某高校從某系的 10 名優(yōu)秀畢業(yè)生中選 4 人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)， 其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？10.解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案a 48種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有 3 種方法，然后安排其余學(xué)生有a 方法，所以共有 3 a ；若乙參加而甲不參加同理也有 3 a 8 8 8種；2 4 3 3 25 1 1 31 1 3 1 1 3 1 31 1 2 1 1若甲乙都參加，則先安排甲乙，有 7 種方法，然后再安排其余 8 人到另外兩個城

8、市有a 28種，共有 7 a 方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 a +3 a +3 a +7 a8 8 8 8 8=4088種.9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別 計數(shù)，最后總計.例 9.（1）由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù) 字的共有a、210 種 b、300 種 c、464 種 d、600 種（2） 從 1，2，3，100 這 100 個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被 7 整除，這兩個數(shù) 的取法（不計順序）共有多少種？（3） 從 1，2，3，100 這 100 個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被

9、 4 整除的取法（不計順序） 有多少種？11.解析：按題意，個位數(shù)字只可能是 0、1、2、3 和 4 共 5 種情況，分別有 a 、a a a5 4 3 3、a a a 、 a a a 和 a a 3 3 3 2 3 3 3 3個，合并總計 300 個,選b.12.解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被 7 整除時，他們的乘積就能被 7 整除，將這100 個數(shù)組成的集合視為全集 i,能被 7 整除的數(shù)的集合記做a =7,14,21,98共有14個元素,不能被 7 整除的數(shù)組成的集合記做 a =1,2,3,4, i,100共有 86 個元素；由此可知，從a中任取 2 個元素的取法有c 214，從a中

10、任取一個，又從 ai中任取一個共有c c ，兩種情形共符合要求的取法有 c +c c 14 86 14 14 86=1295種.13. 解 析 ： 將i =1,2,3,100分 成 四 個 不 相 交 的 子 集 ， 能 被 4 整 除 的 數(shù) 集a =4,8,12, 100；能被 4 除余 1 的數(shù)集b =1,5,9,97，能被 4 除余 2 的數(shù)集c =2,6,98，能被4 除余 3 的數(shù)集d =3,7,11,99，易見這四個集合中每一個有 25 個元素；從 a 中任取兩個數(shù)符合要；從 b , d 中各取一個數(shù)也符合要求；從 c 中任取兩個 數(shù)也符合要求 ；此外其 它取法都不符 合要求；

11、所以符合要求 的取法共有c 2 +c 1 c 1 +c 2 25 25 25 25種.10. 交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式43 3 21 5n( a b ) =n ( a) +n ( b ) -n ( a b ).例 10.從 6 名運動員中選出 4 人參加 4100 米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒， 共有多少種不同的參賽方案？14,解析：設(shè)全集=6 人中任取 4 人參賽的排列，a=甲跑第一棒的排列，b=乙跑第 四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n( i ) -n ( a) -n ( b ) +n ( a b ) =a

12、-a -a +a =2526 5 5 4種.11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的 元素。例 11.1 名老師和 4 名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少 種？15.a1 a43 4=72種.12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.例 12.（1）6 個不同的元素排成前后兩排，每排 3 個元素，那么不同的排法種數(shù)是a、36 種 b、120 種 c、720 種 d、1440 種（2）8 個不同的元素排成前后兩排，每排 4 個元素，其中某 2 個元素要排在前排，某 1 個元 素排在后排，有多少種

13、不同排法？16.解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成 6 個不同的元素排成一排，共種，選c.17.解析：看成一排，某 2 個元素在前半段四個位置中選排 2 個，有a 24種，某 1 個元素排在后半段的四個位置中選一個有 a 種，其余 5 個元素任排 5 個位置上有 a 種，故共4 5有a1 a 2 a5 4 4 5=5760種排法.13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:抽取兩類混合元素不能分步抽.例 13.從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不 同的取法共有a、140 種 b、80 種 c、70 種 d、35 種18.解析

14、1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有c 3 -c 3 -c 3 9 4 5=70種,選.c解析 2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型 1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型 1 臺；故不同的取法有c 2 c 1 +c 1c 2 =70 5 4 5 4臺,選c.14.選排問題先取后排 :從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可23 2 32 2 244，四個面共有 4c用先取后排法.例 14.（1）四個不同球放入編號為 1，2，3，4 的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？ （2）9 名乒乓球運動員，其

15、中男 5 名，女 4 名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的 分組方法？19.解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有c 種，“再排”在四4個盒中每次排 3 個有a 種，故共有 c a 4 4 4=144種.20.解析：先取男女運動員各 2 名，有c c 種，這四名運動員混和雙打練習有 a 5 4 2中排法，故共有c 2 c 2 a2 5 4 2=120種.15.部分合條件問題排除法 :在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合 條件數(shù)，即為所求.例 15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有a、70 種 b、64 種 c、58 種 d、52 種（2）四面體

16、的頂點和各棱中點共 10 點，在其中取 4 個不共面的點，不同的取法共有 a、150 種 b、147 種 c、144 種 d、141 種21.解析：正方體 8 個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成c 48四面體，但 6 個表面和 6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有c8-12 =58個.22.解析：10 個點中任取 4 個點共有 c 種，其中四點共面的有三種情況：在四面體10的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為c4 46 6個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共 3 個；過棱上三點與對棱中點的三角形共 6 個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是c 4 -4c 4 10 6-3 -

17、6 =141種.16.圓排問題線排法 :把 n 個不同元素放在圓周 n 個無編號位置上的排列，順序（例如按順時 鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列n個普通排列：a , a , a 1 2 3, a ; a , a , a , , a , ; a , a , , a n 2 3 4 n n 1n -1在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同， n 個元素的圓排列數(shù)有n!n種.因此可將某個元素固定展成線排，其它的 n -1元素全排列.例 16.5 對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少

18、種不同站法？43223.解析：首先可讓 5 位姐姐站成一圈，屬圓排列有 a 種，然后在讓插入其間，每位均4可插入其姐姐的左邊和右邊，有 2 種方式，故不同的安排方式24 25 =768種不同站法.說明：從 n個不同元素中取出 m個元素作圓形排列共有1ma mn種不同排法.17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約 束，可逐一安排元素的位置，一般地 n 個不同元素排在 m 個不同位置的排列數(shù)有 mn 種方法. 例 17.把 6 名實習生分配到 7 個車間實習共有多少種不同方法？24.解析：完成此事共分 6 步，第一步；將第一名實習生分配到車間有 7 種不

19、同方案，第 二步：將第二名實習生分配到車間也有 7 種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有 7 6 種不同方案.18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例 18.馬路上有編號為 1，2，3，9 九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二 盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？25.解析：把此問題當作一個排對模型，在 6 盞亮燈的 5 個空隙中插入 3 盞不亮的燈 c 種5方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有 10 種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型， 裝盒模型可使問題容易解決.19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例

20、19.設(shè)有編號為 1，2，3，4，5 的五個球和編號為 1，2，3，4，5 的盒子現(xiàn)將這 5 個球投入 5 個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同 的方法？26.解析：從 5 個球中取出 2 個與盒子對號有 c 種，還剩下 3 個球與 3 個盒子序號不能5對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下 3，4，5 號球與 3，4，5 號盒子時，3 號球不能裝入 3 號盒子，當 3 號球裝入 4 號盒子時，4，5 號球只有 1 種裝法，3 號球裝入 5 號盒子時，4，5 號球也只有 1 種裝法，所以剩下三球只有 2 種裝法，因此總共裝法數(shù)為20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例 20.（1）30030 能被多少個不同偶數(shù)整除？（2）正方體 8