空間幾何中的向量方法

1、1.第一講：空間幾何中的向量方法空間向量的坐標運算Jra若(1) a b (a1bi,a2 b,a3 b?)；坐標運算與法向量(2) a b (a1b1,a2 b2,a3 b?)；(3) a ( ai, a2,a?),(4) a b a1b1 a2b2 a3b3 ；(5) a/ba1bi,a2b2,a3b3,(b 0,R)；(6) a baibia?b?:. 2 2 aia2a3 ；(8) cos a,ba2ba3b3例1已知a(2, 3,5),b2 2 a?4),-a求Jra的坐標.2若 A(X1,力，乙)，B(X2, y2, Z2),則(X2 X1, y2Y1,Z2 乙)練習1:已知PA垂

2、直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分別是AB,PC的中點，且PA=AD=1，I求向量mN的坐標.、空間直角坐標系中平面法向量的求法 1、方程法例1已知AB利用直線與平面垂直的判定定理構造三元一次方程組，由于有三個未知數，兩個方程， 要設定一個變量的值才能求解，這是一種基本的方法，容易接受，但運算稍繁，要使法 向量簡潔，設值可靈活，法向量有無數個，他們是共線向量，取一個就可以。(2, 2,1), AC (4,5,3),求平面 ABC 的法向量。解：設n (x, y,z)，則由nn 的=o 即2x 2y z 4x 5y 3z=0,得n AC=01取 n (,1,1)21x 不妨設z 1，得 2

3、，y=-12. 矢量積公式y(tǒng)2 Z2%Z2 、込,法向量取與向量a b共線的即可。用這一方法解答例1，先把平面內的兩個向量坐標對齊寫(2,2,1)(4,5,3)蒙住第一列，把后兩列看成一個二階行列式，計算2 31就是向量a b的x坐標，蒙住第二列，把前后兩列看成一個二階行列式，計算 為a b的y坐標，蒙住第三列，把前兩列看成一個二階行列式,2 3 4 12，作計算2 5 4 22作為z坐標，所以Ta4b(1, 2,2)，可以取n (1, 2,2)，它與前面方程法求得的1. 44y1Z1X1Z1X1y1(x1, %,乙)山化皿衛(wèi)),a bJJy2Z2X2 Z2X2y2,其中行列式1 n (3，1

4、,1)是共線向量。優(yōu)點：操作步驟清晰，容易記住，開始覺得不習慣，多練幾次后，速度快、結果 準。例2 已知A(3,0,0) ,B(0,4,0) ,C(0,0,2)，試求平面ABC的一個法向量.練習：已知平面 經過三點A(1,2,3)、B(2,0, 1)、C(3， 2,0),試求平面 的一個法向量.第二講：立體幾何的向量方法平行與垂直、平行設直線l,m的方向向量分別為，平面的法向量分別為（1）線線平行：l/m （2）線面平行：1（3） 面面平行：II PD 底面 ABCD，PD DC，E 是例1：四棱錐P ABCD，底面ABCD是正方形,PC的中點，求證：PA /平面EDB .二、垂直a1,a2,

5、a3，設直線m的方向向量分別為bD,b2,b3，1、線線垂直設直線l的方向向量分別為則1 ma=2、線面垂直jJ設直線l的方向向量分別為a=a1,a2 , a3，設平面的法向量分別為u5,上小3，則l 3、面面垂直設平面 的法向量分別為u u1,u2,u3，設平面 的法向量分別為v v1,v2,v3，則（一）證明線線垂直例2：已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱長都為1, M是底面上BC邊上的中點，N是側1棱CC1上的點，且CNCG，求證：AB1 MN .4變式1：已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱長都為 1，若側棱CC1的中點 D，求證:AB1 AD .（二）證明線面垂直第三講：立

6、體幾何的向量方法-角度例2：如圖所示，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，0為AC與BD的交點，G為CC1的中變式訓練2：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB, D1B1的中點,點，求證：AiO 平面 GBD .（三）證明面面垂直例 3:在 四 面 體AB BEF 平面 ABCCD 中求證：EF 平面 BiAC.AB 平面 BCD ,BC CD, BCD 90：, ADB 30；,E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面 BEF 平面ABC .變式訓練3:在正棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是三角形PAB的重心，E、F 分別是BC、PB上的點，且BE :

7、 FB=1:2，求證：平面 GEF 平面PBC .一、空間向量三種角的向量求解方法iid 41、 異面直線所成的角：設異面直線1(2的方向向量分別為 a和b，則h與12夾角 滿足，其中 的范圍是.I2、線面角：設直線l的方向向量為a和平面 的法向量為n，則直線I與平面 的夾角 滿足，其中，的范圍是.4H3、 二面角：設平面的法向量為n，設平面的法向量為m，則平面與平面所成二面角滿足，其中 的范圍是.二、典型例題例1：在Rt ABC中， BCA 90：，現(xiàn)將 ABC沿著平面的法向量平移到A1B1C1的位置，已知BC CA CC1，取AB,、AG的中點D1、F1，求BD1與AF1所成角的余弦值練習

8、1：正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1,求B1C1與面AB1C所成角的余弦值例3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF PB交PB于F,求二面角C-PB-D的大小.練習2：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60： ,AB 2AD ,PD 底面 ABCD .(1)證明：PA BD.若PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值.練習3:在四棱錐 P-ABCD，底面ABCD為矩形，PA 底面ABCD，AP AB 2,BC 2 2, E,F分別是AD，PC的中點.證明：PC 平面BEF.求平面BEF與平面BAP的夾角大小第四講：立體幾何的向量方法-距離(1) 點面距離的向量公式I平面 的法向量為n，點P是平面 外的一點，點 A為平面 內的一點，則點 P至U平面 的距離d等于;(2) 線面、面面距離的向量公式平面II直線l，平面 的方向量為,P I，平面與直線I間的距離d就是mp在向量n方向射影的絕對值，即d；(3)異面直線的距離向量公式設向量n與異面直線 a b都垂直，M a, P b，則兩異面直線 a、b間的距離d就i是mp在向量n方向射影的絕對值，即d.例1:正方形ABCD的邊長為4, CG 平面AB