高斯平面直角坐標(biāo)系的建立

1、. 空間數(shù)據(jù)的地理參照系和控制基礎(chǔ)4、高斯克呂格投影高斯克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。它是將一橢圓柱橫切于地球橢球體上，該橢圓柱面與橢球體表面的切線為一經(jīng)線，投影中將其稱為中央經(jīng)線，然后根據(jù)一定的約束條件即投影條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)規(guī)定范圍內(nèi)的點(diǎn)投影到橢圓柱面上，從而得到點(diǎn)的高斯投影(圖3-2-5)。 將一球橢球體地球裝在橢圓柱內(nèi)上下切點(diǎn)為中央經(jīng)線。高斯投影的條件為：(1)中央經(jīng)線和地球赤道投影成為直線且為投影的對(duì)稱軸；(2)等角投影；(3)中央經(jīng)線上沒有長度變形。根據(jù)高斯投影的條件推導(dǎo)出的高斯克呂格投影的計(jì)算公式為：式中：X、Y為點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系的縱、橫坐標(biāo)；、為點(diǎn)的地理坐標(biāo)，以弧度

2、計(jì)，從中央經(jīng)線起算；S為由赤道至緯度處的子午線弧長；N為緯度處的卯酉圈曲率半徑；其中為地球的第二偏心率，a、b則分別為地球橢球體的長短半軸。高斯投影由于是等角投影，故沒有角度變形，其沿任意方向的長度比都相等，其面積變形是長度的兩倍。對(duì)高斯克呂格投影長度變形的研究可以依下述長度比表達(dá)式進(jìn)行： 由該長度比公式可以分析出高斯投影變形具有以下特點(diǎn)：(1)中央經(jīng)線上無變形；(2)同一條緯線上，離中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，變形越大；(3)同一條經(jīng)線上，緯度越低，變形越大；由此可見，高斯投影的最大變形處為各投影帶在赤道邊緣處，為了控制變形，我國地形圖采用分帶方法，即將地球按一定間隔的經(jīng)差(6或3)劃分為若干相互不重疊的

3、投影帶，各帶分別投影。1：2.5萬至1：50萬的地形圖均采用6分帶方案，即從格林尼治零度經(jīng)線起算，每6為一個(gè)投影帶，全球共分為60個(gè)投影帶。我國領(lǐng)土位于東經(jīng)72到136之間，共包括11個(gè)投影帶(13帶22帶)。1：1萬及更大比例尺地形圖采用3分帶方案，全球共分為120個(gè)投影帶。圖34給出了高斯投影的6帶和3帶分帶方案。為了制作地圖和使用地圖的方便，通常在地圖上都繪有一種或兩種坐標(biāo)網(wǎng)，即經(jīng)緯線網(wǎng)和方里網(wǎng)。經(jīng)緯線網(wǎng)即指由經(jīng)線和緯線所構(gòu)成的坐標(biāo)網(wǎng)，又稱地理坐標(biāo)網(wǎng)。在1：1萬1：20萬比例尺的地形圖上，經(jīng)緯線只以圖廓線的形式直接表現(xiàn)出來，并在圖角處注出相應(yīng)度數(shù)。為了在用圖時(shí)加密成網(wǎng)，在內(nèi)外圖廓間還繪有

4、加密經(jīng)緯網(wǎng)的加密分劃短線(圖式中稱“分度帶”)，必要時(shí)對(duì)應(yīng)短線相連就可以構(gòu)成加密的經(jīng)緯線網(wǎng)。1：25萬地形圖上，除內(nèi)圖廓上繪有經(jīng)緯網(wǎng)的加密分劃外，圖內(nèi)還有加密用的十字線。我國的1：50萬1：100萬地形圖，在圖面上直接繪出經(jīng)緯線網(wǎng)，內(nèi)圖廓上也有供加密經(jīng)緯線網(wǎng)的加密分劃短線。方里網(wǎng)是由平行于投影坐標(biāo)軸的兩組平行線所構(gòu)成的方格網(wǎng)。因?yàn)槭敲扛粽锢L出坐標(biāo)縱線和坐標(biāo)橫線，所以稱之為方里網(wǎng)，由于方里線同時(shí)又是平行于直角坐標(biāo)軸的坐標(biāo)網(wǎng)線，故又稱直角坐標(biāo)網(wǎng)。直角坐標(biāo)網(wǎng)的坐標(biāo)系以中央經(jīng)線投影后的直線為X軸，以赤道投影后的直線為Y軸，它們的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，坐標(biāo)系中就出現(xiàn)了四個(gè)象限。縱坐標(biāo)從赤道算起向北為

5、正、向南為負(fù)；橫坐標(biāo)從中央經(jīng)線算起，向東為正、向西為負(fù)。我國位于北半球，全部X值都是正值。在每個(gè)投影帶中則有一半的Y坐標(biāo)值為負(fù)。為了避免Y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，規(guī)定縱坐標(biāo)軸向西平移500km(半個(gè)投影帶的最大寬度不超過500km)。這樣，全部坐標(biāo)值都表現(xiàn)為正值了。1 緒論坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇對(duì)一項(xiàng)工程來說是一項(xiàng)首先必須進(jìn)行的工作，同時(shí)坐標(biāo)系統(tǒng)選擇的適當(dāng)與否關(guān)系到整個(gè)工程的質(zhì)量問題，因此對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)的研究是一項(xiàng)非常重要和必須的工作。我國規(guī)范規(guī)定：所有國家的大地點(diǎn)均按高斯正形投影計(jì)算其在帶內(nèi)的平面直角坐標(biāo)。在1：1萬和更大比例尺測(cè)圖的地區(qū)，還應(yīng)加算其在帶內(nèi)的直角坐標(biāo)系。我們通常將這種控制點(diǎn)在帶或帶內(nèi)的坐標(biāo)系稱為國

6、家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，國家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)往往不能滿足工程建設(shè)的需要，所以必須針對(duì)不同的工程采用適合它的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。線路獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法研究主要是研究線路工程中如何建立坐標(biāo)系統(tǒng)而使其精度能滿足工程需要。由于線路測(cè)量的特點(diǎn)是跨度較長，當(dāng)采用國家統(tǒng)一坐標(biāo)系時(shí)往往會(huì)因?yàn)殡x開中央子午線較遠(yuǎn)而使變形量超限，因此必須采用獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。由于線路工程的不同，因此需采用的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)也不盡相同。所以針對(duì)不同的線路工程應(yīng)采用不同的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。當(dāng)線路工程是南北走向時(shí)由于線路基本上位于中央子午線上,因此不必要對(duì)多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換銜接問題進(jìn)行研究。當(dāng)線路工程是東西走向時(shí)由于線路跨度較長而往往需要建立多個(gè)

7、獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)，因此需要對(duì)多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換銜接問題進(jìn)行研究。公路、鐵路、架空送電線路以及輸油管道等均屬于線型工程，它們的中線統(tǒng)稱線路。一條線路的勘測(cè)和設(shè)計(jì)工作，主要是根據(jù)國家的計(jì)劃與自然地理?xiàng)l件，確定線路經(jīng)濟(jì)合理的位置。為達(dá)此目的，必須進(jìn)行反復(fù)地實(shí)踐和比較。 線路在勘測(cè)設(shè)計(jì)階段首先要進(jìn)行控制測(cè)量工作，由于在線路控制測(cè)量過程中，每條線路所在測(cè)區(qū)的位置不同且距離不可能很短,有的可能跨越一個(gè)投影帶,二個(gè)投影帶甚至更多,所以,在線路控制測(cè)量中,投影長度變形很容易超限，這就需要我們采取一定的措施來使投影長度變形減弱，將投影長度變形控制在允許的范圍之內(nèi)。最有效的方法就是建立與測(cè)區(qū)相適應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)。坐標(biāo)

8、系統(tǒng)是所有測(cè)量工作的基礎(chǔ)，所有測(cè)量成果都是建立在其上的,因此坐標(biāo)系統(tǒng)選擇的適當(dāng)與否關(guān)系到整個(gè)工程的質(zhì)量問題。對(duì)于線路工程而言，使投影長度變形控制在允許的精度范圍之內(nèi)是建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)主要解決的問題，因此，獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立主要是根據(jù)線路的長度和所在測(cè)區(qū)的不同而建立與本測(cè)區(qū)和本線路相適應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)，從而使其投影長度變形控制在允許范圍之內(nèi)。本文以線路控制測(cè)量為例，詳細(xì)論述了線路獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立方法。 2 高斯平面直角坐標(biāo)系的建立我們已經(jīng)知道，大地坐標(biāo)系是以橢球面為基準(zhǔn)面的坐標(biāo)系，它可以用來確定地面點(diǎn)在橢球面上的位置，但是如果用于大比例尺測(cè)圖控制網(wǎng)以及工程控制網(wǎng)則不適應(yīng)。因此通常是將橢球面上的元素

9、，如大地坐標(biāo)、長度、方向等轉(zhuǎn)化至平面上，采用平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算，本章就高斯平面直角坐標(biāo)系的建立及相關(guān)問題進(jìn)行了討論。2.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)參考橢球 具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測(cè)元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在該面上進(jìn)行計(jì)算，它是大地測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素如圖1O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸； a為長半軸；b為短半軸； 子午圈（或徑圈或子午橢圓）； 平行圈（或緯圈）； 赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)（元素） （圖1：橢球參數(shù)示意圖）來決定的，即： 橢

10、圓的長半軸： a橢圓的短半軸： b橢圓的扁率： (2-1) 橢圓的第一偏心率： (2-2) 橢圓的第二偏心率： (2-3)其中：a、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度，如=0時(shí)，橢球變?yōu)榍蝮w；=1時(shí)，則為平面。e和e/是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。五個(gè)參數(shù)中，若知道其中的兩個(gè)參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應(yīng)已知一個(gè)長度元素（如a或b），人們習(xí)慣于用和表示橢球的形狀和大小，便于級(jí)數(shù)展開。引入下列符號(hào)：(2-4)式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點(diǎn)處的子午線曲率半徑）。 兩個(gè)常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，

11、V第二基本緯度函數(shù)。(2-5)傳統(tǒng)大地測(cè)量利用天文大地測(cè)量和重力測(cè)量資料推求地球橢球的幾何參數(shù)，自1738年（法國）布格推算出第一個(gè)橢球參數(shù)以來，200多年間各國大地測(cè)量工作者根據(jù)某一國或某一地區(qū)的資料，求出了數(shù)目繁多，數(shù)值各異的橢球參數(shù)。由于衛(wèi)星大地測(cè)量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數(shù)成為可能，自1970年以后的橢球參數(shù)都采用了衛(wèi)星大地測(cè)量資料。長半經(jīng)變化于6378135m6378145m之間，扁率分母變化于298.25298.26之間，可見精度已很高。比較著名的有30個(gè)橢球參數(shù)，其中涉及我國的如表1示：（表1：橢球參數(shù)表）橢球參數(shù)年代長半徑m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283

12、297.8美、阿根廷、比利時(shí)、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、朝鮮等1975年大地坐標(biāo)系19756378140298.2571975年國際第三個(gè)推薦值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系統(tǒng)我國1954年北京坐標(biāo)系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標(biāo)系應(yīng)用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應(yīng)用的是WGS-84系橢球參數(shù)。2.1.2地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系由(2-2)和(2-3)式得：并得：(2-6) 推得： 同理可得：(2-8) 。2.2.1高斯投影與高斯平面直角坐標(biāo)地球投影 所謂地球投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括

13、坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。 (2-9)式中L，B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而是該點(diǎn)投影后的平面(投影面)直角坐標(biāo)。式(2-9)表示了橢球面上一點(diǎn)同投影面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間坐標(biāo)的解析關(guān)系，也叫做坐標(biāo)投影公式。投影問題也就是建立橢球面元素與投影面相對(duì)應(yīng)元素之間的解析關(guān)系式。投影的方法很多，如高斯投影、蘭勃脫投影等。我國采用高斯投影。高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國測(cè)量學(xué)家高斯于18251830年首先提出的。實(shí)際上，直到1912年，由德國另一位測(cè)量學(xué)家克呂格推導(dǎo)出實(shí)用的坐標(biāo)投影公式后，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯-克呂格投影。想象有一橢圓柱面橫套（圖2：橫軸橢圓柱等角

14、投影示意圖）在地球橢球體外面，并與某一條子午線（稱中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定的投影方法將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。我國規(guī)定按經(jīng)差和度進(jìn)行投影分帶，大比例尺測(cè)圖和工程測(cè)量一般采用帶投影。特殊情況下工程測(cè)量控制網(wǎng)也可用帶或任意帶。高斯投影帶自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國帶中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至，共計(jì)12帶，帶號(hào)用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，則與n的關(guān)系為。（圖3：高斯投影分帶示意圖）高斯投影帶是自子午線每隔經(jīng)差自西向東分帶，它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合

15、，一部分同帶分界子午線重合，帶號(hào)用n/表示，帶中央子午線用L表示，關(guān)系是：。在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標(biāo)系。在我國坐標(biāo)均為正，坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330KM。為避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加500KM。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面冠以帶號(hào)，這種坐標(biāo)稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)。如某點(diǎn)Y=19123456.789m，該點(diǎn)位于19帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)是：首先去掉帶號(hào)，再減去500KM，最后得y=-376543.211m。由于分帶造成了邊界子午線兩側(cè)的控

16、制點(diǎn)和地形圖處于不同的投影帶內(nèi)，為了把各帶連成整體，一般規(guī)定各投影帶要有一定的重疊度，其中每一帶向東加寬，向西加寬，這樣在上述重疊范圍內(nèi)，控制點(diǎn)將有兩套相鄰帶的坐標(biāo)值，地形圖將有兩套公里格網(wǎng)，從而保證了邊緣地區(qū)控制點(diǎn)間的互相應(yīng)用，也保證了地圖的拼接和使用。由于高斯投影是正形投影，故保證了投影的角度不變性、圖形的相似性以及在某點(diǎn)各方向上長度比的同一性；由于采用了同樣法則的分帶投影，既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡單公式和數(shù)表進(jìn)行由于變形引起的各項(xiàng)改正的計(jì)算，且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進(jìn)行。高斯投影這些優(yōu)點(diǎn)使它得到廣泛的推廣和具有國際性。2.2.2高斯投影坐標(biāo)正

17、反算公式2.2.2. 1高斯投影坐標(biāo)正算公式： B, x,y高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線，即式中，x為的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開為的級(jí)數(shù)，收斂。（2-10） 式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。由第三個(gè)條件知：分別對(duì)和q求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式(2-11)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數(shù)應(yīng)相等，即(2-12) (2-12)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數(shù)。由第二條件知:位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)等于投影前

18、從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長X，即(2-10)式第一式中，當(dāng)時(shí)有：(2-13)顧及(對(duì)于中央子午線)得：(2-14,15) (2-16)依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17) 2.2.2. 2高斯投影坐標(biāo)反算公式 x,y B,投影方程：(2-18) 高斯投影坐標(biāo)反算公式推導(dǎo)要復(fù)雜些。由x求底點(diǎn)緯度(垂足緯度),對(duì)應(yīng)的有底點(diǎn)處的等量緯度，求x,y與的關(guān)系式，仿照式有，由于y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開為y的冪級(jí)數(shù)；又由于是對(duì)稱投影，q必是y的偶函數(shù)，必是y的奇函數(shù)。(2-19) 是待定系數(shù)，它們都是x的函數(shù).由第三條件知：， ， (2-20)(2-19)式分別對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式上式相等必要充分條件，是同次冪y前的系數(shù)相等，第二條件，當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)在中央子午線上，即x=X，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為底點(diǎn)，其緯度為底點(diǎn)緯度，也就是x=X時(shí)的子午線弧長所對(duì)應(yīng)的緯度，設(shè)所對(duì)應(yīng)的等量緯度為。也就是在底點(diǎn)展開為y的冪級(jí)數(shù)。 由(2-19)1式 依次求得其它各系數(shù)(2-21)(2-21)1 將代入(2-19)1式得(2-22)1(2-22) 將代入(2-19)2式得(2-23)2式