三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教案

1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 賈斐三維目標(biāo) 1、通過學(xué)生的探究,明了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來龍去脈,理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程;培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算能力,滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想. 2、通過誘導(dǎo)公式的具體運(yùn)用,熟練正確地運(yùn)用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題,體會(huì)數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用. 3、進(jìn)一步領(lǐng)悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學(xué)思想,通過一題多解,一題多變,多題歸一,提高分析問題和解決問題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):五個(gè)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用,三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等. 教學(xué)難點(diǎn):六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值. 復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一及其用途.思路2.在前面的學(xué)習(xí)中,我們知道終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等,即公式一,并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到360(0到2)內(nèi)的角的三角函數(shù)值,求銳角三角函數(shù)值,我們可以通過查表求得,對于90到360(到2)范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)怎樣求解,能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解,這一節(jié)就來探討這個(gè)問題.新知探究提出問題 由公式一把任意角轉(zhuǎn)化為0,360)內(nèi)的角后,如何進(jìn)一步求出它的三角函數(shù)值? 活動(dòng):在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函數(shù)值學(xué)生記住了,對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學(xué)用表或是用計(jì)算器求得.教師可組織學(xué)生思考討論如下問題:0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90到360的角能否與銳角相聯(lián)系?通過分析與的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生得出解決設(shè)問的一種思路:若能把求90,360)內(nèi)的角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求有關(guān)銳角的三角函數(shù)值,則問題將得到解決,適時(shí)提出,這一思想就是數(shù)學(xué)的化歸思想,教師可借此向?qū)W生介紹化歸思想.圖1討論結(jié)果:通過分析,歸納得出:如圖1.=提出問題銳角的終邊與180+角的終邊位置關(guān)系如何?它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何?任意角與180+呢? 活動(dòng):分為銳角和任意角作圖分析:如圖2.圖2 引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓,并和學(xué)生一起討論探究角的關(guān)系.無論為銳角還是任意角,180+的終邊都是的終邊的反向延長線,所以先選擇180+為研究對象. 利用圖形還可以直觀地解決問題,角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系是關(guān)于原點(diǎn)對稱的,對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(x,y)和P(-x,-y).指導(dǎo)學(xué)生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義,導(dǎo)出公式二: sin(180+)=-sin,cos(180+)=-cos. 并指導(dǎo)學(xué)生寫出角為弧度時(shí)的關(guān)系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan. 引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特點(diǎn),明了各個(gè)公式的作用. 討論結(jié)果:銳角的終邊與180+角的終邊互為反向延長線. 它們與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱. 任意角與180+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.提出問題有了以上公式,我們下一步的研究對象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何?活動(dòng):讓學(xué)生在單位圓中討論-與的位置關(guān)系,這時(shí)可通過復(fù)習(xí)正角和負(fù)角的定義,啟發(fā)學(xué)生思考:任意角和-的終邊的位置關(guān)系;它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對照公式二的推導(dǎo)過程,由學(xué)生自己完成公式三的推導(dǎo),即:sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.教師點(diǎn)撥學(xué)生注意:無論是銳角還是任意角,公式均成立.并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn),得出公式三的用途:可將求負(fù)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值.討論結(jié)果:根據(jù)分析下一步的研究對象是-的正弦和余弦.-角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱,它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).提出問題下一步的研究對象是什么?-角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何? 活動(dòng):討論-與的位置關(guān)系,這時(shí)可通過復(fù)習(xí)互補(bǔ)的定義,引導(dǎo)學(xué)生思考:任意角和-的終邊的位置關(guān)系;它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系及其坐標(biāo).探索、概括、對照公式二、三的推導(dǎo)過程,由學(xué)生自己完成公式四的推導(dǎo),即:sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.強(qiáng)調(diào)無論是銳角還是任意角,公式均成立.引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn),得出公式四的用途:可將求-角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值.讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),概括說明,加強(qiáng)記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一四:+k2(kZ),-,的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步簡記為:“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”.點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的是任意角.討論結(jié)果:根據(jù)分析下一步的研究對象是-的三角函數(shù);-角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱,它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)互為相反數(shù).示例應(yīng)用例1 利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos225;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040). 活動(dòng):這是直接運(yùn)用公式的題目類型,讓學(xué)生熟悉公式,通過練習(xí)加深印象,逐步達(dá)到熟練、正確地應(yīng)用.讓學(xué)生觀察題目中的角的范圍,對照公式找出哪個(gè)公式適合解決這個(gè)問題.解：(1)cos225=cos(180+45)=-cos45=;(2)sin=sin(4)=-sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5+)=-(-sin)=;(4)cos(-2 040)=cos2 040=cos(6360-120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=.點(diǎn)評:利用公式一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進(jìn)行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.變式訓(xùn)練 利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos(-51015);(2)sin().解:(1)cos(-51015)=cos51015=cos(360+15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2;(2)sin()=sin(-32)=sin=.例2 2007全國高考,1cos330等于( )A. B. C. D.答案:C變式訓(xùn)練化簡:解:=.例3 化簡cos315+sin(-30)+sin225+cos480.活動(dòng):這是要求學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形、求值與證明的題目.利用誘導(dǎo)公式將有關(guān)角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),再求值、合并、約分.解:cos315+sin(-30)+sin225+cos480=cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120)=cos(-45)-sin45+cos120=cos45+cos(180-60)=-cos60=-1.點(diǎn)評:利用誘導(dǎo)公式化簡,是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化,最終達(dá)到統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓(xùn)練求證:.分析:利用誘導(dǎo)公式化簡較繁的一邊,使之等于另一邊.證明:左邊=tan=右邊.所以原式成立.規(guī)律總結(jié):證明恒等式,一般是化繁為簡,可以化簡一邊,也可以兩邊都化簡.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)13.解答:1.(1)-cos;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos706.點(diǎn)評：利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).點(diǎn)評：先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),再求值.3.(1)-sin2cos;(2)sin4.點(diǎn)評：先利用誘導(dǎo)公式變形為角的三角函數(shù),再進(jìn)一步化簡.課堂小結(jié)