1997年考研數(shù)學二真題

1997 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 理工數(shù)學二試題詳解及評析理工數(shù)學二試題詳解及評析 一、填空題一、填空題 （1）已知( ) () 2 cos,0 ,0 x xx f x a x = = 在0 x =處連續(xù)，則a = . 【答】 1 2 e . 【詳解】 由題設( )( ) 0 lim0 , x f xf =即 () 2 2 0 0 lncos tan1 lim lim 22 0 lim cos x x x x x xx x axeee = （2）設 1 ln, 1 x y x = + 則 0 |x y = = . 【答】 3 2 . 【詳解】 由題意得 ()() () () () 2 2 2 22 2 11 ln 1ln 1 22 1 , 2 11 11 2 1 1 yxx x y xx x y x x =+ = + = + 于是 0 |x y = = 3 2 （3） ()4 dx xx = . 【答】 2arcsin 2 x C+或 2 arcsin 2 x C + 【詳解】 方法一： () () 2 2 arcsin 2 4 42 dxdxx C xx x =+ 方法二： 考研數(shù)學助手 您考研的忠實伴侶 () ()() 22 2 4 44 arcsin 2 dxdxdx xx xxx x C = =+ （5）已知向量組()()() 123 1,2, 1,1 ,2,0, ,0 ,0, 4,5, 2t=得秩為 2，則t = . 【答】 3. 【詳解】 方法一： 由于秩() 123 ,2,r =則矩陣 1211 200 0452 t 的任一個三階子陣的行列式的值為零， 即 121 200, 045 t = 解得t =3. 方法二： 12111210 2000422 04520452 tt + 秩() 123 ,225rt = += 即 t =3. 二、選擇題二、選擇題 （1）設0 x 時， tanxx ee與 n x是同階無窮小，則n為 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4 【 】 【答】 應選（C）. 【詳解】 方法一： 由于0 x 時， () 23 4 1 2!3! x xx exo x= +， 則 ()() () ()()() 23 tan4 tan22333 tantan 1tan 2!3! 11 tantantan 23! x xx xx exo x eexxxxxxo x = + =+ 又 () 33 1 tan, 3 xxxo x=+ 所以 tanxx ee () 33 1 3 xo x+ 從而 tanxx ee與 3 x為同階非等價無窮小. 應取3,n = 故選（C）. 方法二： () () () tan tan 000 22 12 00 2 0 1 tan limlimlim sec12sectan limlim 1 2tan lim 1 xx xx nnn xxx nn xx n x ee eexx xxx xxx nxnnx x n nx = = = (2)設在區(qū)間, a b上( )( )( ) 0,0,0f xfxfx，令( ) 1 , b a Sf x dx= ( )()( )( ) () 23 1 , 2 Sf bbaSf af bba=+ ，則 （A） 123. SSS (B) 213. SSS (C) 312. SSS (D) 231. SSS ( )( ) ( )( ) (),. f bf a f xf axaaxb ba += =+ =+= 即 213 SSS 故應選（A）. （5）設( )( ) 2 2,0,0 , 2,0,0 x xxx g xf x xxx x 則( )gf x 為 （A） 2 2,0 2,0 xx x x + （B） 2 2,0 2,0 xx x x + （C） 2 2,0 2,0 xx x x （D） 2 2,0 2,0 xx x x + 而0 x 0 x 時， ( )0.f xx= 故 ( ) 2 2,0 2,0 xx gf x x x + 故5a = 時，旋轉體體積最小. 七、七、已知函數(shù)( )f x連續(xù)，且 ( ) 0 lim2, x f x x =設( )() 1 0 ,xf xt dt=求( ) x的連續(xù)性. 【詳解】 由題設，知( )( )00,00f= 令 ,uxt= 得( ) ( ) () 0 0 x f u du xx x = 即 ( ) ( ) ( ) () 0 0 0, 0 x f u du xx x x x = = = 從而 ( ) ( )( ) () 0 2 0 x xf xf u du xx x = 由導數(shù)定義有 ( ) ( ) ( ) 0 2 00 0limlim 22 x xx f u du f xA xx = 由于 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 00 22 0000 limlimlimlim 0 22 xx xxxx xf xf u duf u du f x x xxx AA A = = 從而知( )x在0 x =處連續(xù). 八、八、就k的不同取值情況，確定方程sin 2 xxk =在開區(qū)間0, 2 內根的個數(shù)，并證明你 的結論. 【詳解】 設( )sin , 2 f xxx = 則 ( )f x在0, 2 上連續(xù). 由( ) 1cos0, 2 fxx = = 得( )f x在0, 2 內的唯一的駐點 0 2 cosxar = 由于當() 0 0,xx時，( ) 0fx . 所以( )f x在 0 0,x上單調減少，在 0, 2 x 上單調增加. 因此 0 x是( )f x在0, 2 內的唯一的最小值點， 最小值為() 000 sin 2 yf xxx =. 又因( )00 2 ff = ， 故在0, 2 內( )f x的取值范圍為) 0,0 y. 故