普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文（浙江卷解析）

2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（浙江卷，解析版）選擇題部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)（A）（B）（C）（D）答案D【命題意圖】本題考查集合運(yùn)算，需先求出集合Q的具體的范圍，然后求交集.【解析】由題，所以，所以，所以，故選D.（2）已知函數(shù)（A）0（B）1（C）2（D）3答案B【命題意圖】本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算，直接利用已知條件中的等量關(guān)系求解.【解析】由題，得到，解得，所以，故選B.（3）設(shè)為虛數(shù)單位，則（A）（B）（C）（D）答案C【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于容易題.【解析】由，故選C.（4）某程度框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（A）（B）（C）（D）答案A【命題意圖】本題考查程序框圖的有關(guān)知識，同時(shí)考查識圖、用圖能力.【解析】由題開始k=k+1=1+1=2,s=21+2=4，不滿足條件需繼續(xù)循環(huán)，則k=k+1=2+1=3,s=24+3=11，k=k+1=3+1=4,s=211+4=26，k=k+1=4+1=5,s=226+5=57，此時(shí)滿足條件，應(yīng)輸出S，所以判斷框內(nèi)應(yīng)為，故選A.（5）設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，（A）11（B）8（C）5（D）11（A）11（B）8（C）5（D）11答案A【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算.【解析】由題數(shù)列為等比數(shù)列，即，因?yàn)椋杂?，故選A.（6）設(shè)則“xsin2 x1”是“xsin x1”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件答案B【命題意圖】本題主要考查充要條件的判斷.【解析】因?yàn)?，不一定能推出成立，但?dāng)成立時(shí)，因?yàn)椋杂?，即，一定成?故選B.（7）若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組則x+y的最大值為（A）9（B）（C）1 （D）答案A【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)最值問題，利用已知條件畫出可行域求解.【解析】已知約束條件形成的可行域如圖所示當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過的交點(diǎn)點(diǎn)時(shí)取得最大值為9，故選A.（8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）（B）（C）（D）答案B【命題意圖】本題主要考查空間幾何體的三視圖及利用三視圖求解幾何體的體積等知識.【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱臺組合形成的，由圖中數(shù)據(jù)可知四棱柱的體積為，底層正四棱臺的體積，所以該組合體的體積為，故選B.（9）已知x0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（A）（B）（C）（D）9答案B【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題及函數(shù)的單調(diào)性的判斷.【解析】由題可知已知函數(shù)是由函數(shù)與組合而成的，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)在上均為增函數(shù)，所以也是上的增函數(shù)，又因?yàn)?，所以有函?shù)的草圖可知，故選B.（10）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線（a0，b0）的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足F1P F2=60，=a，則該雙曲線的漸近線方程為（A）xy=0（B）xy=0(C) xy=0(D) xy=010答案D【命題意圖】本題主要考查雙曲線定義，余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.【解析】由題設(shè)，則由雙曲線的定義可知，在中由余弦定理可得，在中，在中，由以上四式消掉即可求出，可知選D.非選擇題部分（共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。（11）在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是，.11答案45,46【命題意圖】本題主要考查莖葉圖的有關(guān)知識.【解析】由題甲的數(shù)據(jù)分別為28、31、39、42、45、55、57、58、66，其中位數(shù)為45，乙的數(shù)據(jù)為29、34、35、42、46、48、53、55、67，其中位數(shù)為46.（12）函數(shù)f(x)=sin2 (2x)的最小正周期是.答案【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換及三角函數(shù)的最小正周期.【解析】由題，所以最小正周期為.（13）已知平面向量，1, =2，（2），則的值是.13答案【命題意圖】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算.【解析】由題，所以有，因?yàn)?，所以，由，所以的值?（14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么位于表中的第n行第n+1列的數(shù)是.14答案【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的有關(guān)知識.【解析】由題，第一列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以第n行的第一個(gè)數(shù)為，由表可得數(shù)列的第n行的公差為n，所以第n行的第n+1個(gè)數(shù)為.（15）若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是.15答案18【命題意圖】本題主要考查利用基本不等式求解范圍問題.【解析】由題均為正數(shù)，令，則有，解得，即，所以的最小值為18.（16）某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增x,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是.16答案20【命題意圖】本題考查二次不等式的實(shí)際應(yīng)用問題，考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力.【解析】由題知7月份的銷售額為500（1+x），8月份的銷售額為，所以9月10月份的銷售總額為500（1+x）+.所以由題可得，令整理可得，解得t的最小值為，所以x的最小值為.（17）在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，P，Q，M，N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點(diǎn).在A，P，M，C中任取一點(diǎn)記為E，在B，Q，N，D中任取一點(diǎn)記為F.設(shè)G為滿足向量的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊形ABCD外（不含邊界）的概率為. 17答案【命題意圖】本題主要考查古典概率的有關(guān)知識.【解析】由題可知E總共存在四種可能的位置，F(xiàn)有四種可能的位置，以O(shè)為起點(diǎn)，所有的終點(diǎn)組成的基本事件總數(shù)為(AD),(AN),(AQ),(AB),(PD),(PN),(PQ),(PB),(MD),(MN),(MQ),(MB),(CD),(CN),(CQ),(CB)共16種，而由平行四邊形法則可知滿足條件的事件有(AD),(AN), (AQ),(AB) (PB),(PD),（MD），（MB），(CD)，(CN)，(CQ)，(CB)共12種，因此對應(yīng)的點(diǎn)G構(gòu)成的集合中點(diǎn)落在平行四邊形ABCD的外部的概率為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（18）（本題滿分14分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為ABC的面積，滿足S（a2b2c2）.（）求角C的大小;（）求sinAsinB的最大值.【命題意圖】本題主要考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識同時(shí)考查三角運(yùn)算求解能力.【答案】（）解：由題意可知absinC=,2abcosC.所以tanC=.因?yàn)?C，所以C=.（)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)=sinA+cosA+sinA=sin(A+).當(dāng)ABC為正三角形時(shí)取等號，所以sinA+sinB的最大值是.【點(diǎn)評】在解三角形時(shí)，常常將正弦定理、余弦定理結(jié)合在一起用，要注意恰當(dāng)?shù)倪x取定理，簡化運(yùn)算過程，提高解題速度，痛恨死要注意與平面幾何中的有關(guān)性質(zhì)，定理結(jié)合起來挖掘題目中的隱含條件.（19）（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150.（）若S5S.求S6及a1;（）求d的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的概念、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及分析問題解決問題的能力.【答案】（）解：由題意知S6=-3,A6=S6-S5=-8所以解得a1=7所以S6= -3,a1=7()解：因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.故d的取值范圍為d-2或d2.【點(diǎn)評】等差數(shù)列中，通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式聯(lián)系著五個(gè)基本量，這五個(gè)基本量中，知道其中的三個(gè)可以求得另外的兩個(gè)，往往要解方程或方程組，除掌握這個(gè)基本運(yùn)算關(guān)系，還要注意運(yùn)算中利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體代換，這樣可以簡化運(yùn)算過程.（20）（本題滿分14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB2BC，ABC120，E為線段AB的中線，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn).（）求證：BF平面ADE;（）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值.【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力.【答案】()證明：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知FGCD，F(xiàn)G=CD.BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE.故四邊形BEGF為平行四邊形,所以BFEG因?yàn)槠矫鍭DE,BF平面ADE.所以BF/平面ADE.（)解：在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a,則AB=CD=2a，AD=AE=EB=a,連CE.因?yàn)锳BC=120,在BCE中，可得CE=a,在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因?yàn)镃D2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M為DE中點(diǎn)，所以AMDE.由平面ADE平面BCD,可知AM平面BCD,AMCE.取AE的中點(diǎn)N，連線NM、NF，所以NFDE,NFAM.因?yàn)镈E交AM于M,所以NF平面ADE,則FMN為直線FM與平面ADE新成角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,則cos=.所以直線FM與平面ADE所成角的余弦值為.【點(diǎn)評】空間角的計(jì)算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算的，直線與平面所成的角是平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角（直線與平面垂直或平行包括直線在平面內(nèi)事，成直角或0角，我們往往在斜線上取一點(diǎn)向平面引垂線，以形成由平面的斜線、垂線及斜線在平面上的射影組成的直角三角形，這里的關(guān)鍵是引平面的垂線.（21）（本題滿分15分）已知函數(shù)f（x）（xa）2（xb）（a，bR，ab）.（）當(dāng)a1，b2時(shí)，求曲線yf（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程;（）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，x3是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，且x3x1，x3x2.證明：存在實(shí)數(shù)x4，使得x1，x2，x3，x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求x4.【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的極值的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識.【答案】()解：當(dāng)a=1,b=2時(shí)，因?yàn)閒(x)=(x-1)(3x-5).故f(2)=1.又f（2）0，所以f（x）在點(diǎn)（2，0）處的切線方程為yx2.（）證明：因?yàn)閒（x）3（xa）（x），由于ab.故a.所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為xa，x.不妨設(shè)x1a，x2，因?yàn)閤3x1，x3x2，且x3是f（x）的零點(diǎn)，故x3b.又因?yàn)閍2（b），x4（a），所以a，b依次成等差數(shù)列，所以存在實(shí)數(shù)x4滿足題意，且x4.【點(diǎn)評】本題是一道創(chuàng)新性很強(qiáng)的一道問題，解決此類問題需要靈活的運(yùn)用所學(xué)的知識準(zhǔn)確的進(jìn)行條件之間的轉(zhuǎn)換.另外在解決曲線的切線問題時(shí)，要注意曲線“在點(diǎn)p處的切線”是以點(diǎn)P為切點(diǎn)，而“過點(diǎn)P的切線”，點(diǎn)P可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，點(diǎn)P可能不在已知的曲線上，切線可能不止一條.（22）（本題滿分15分）已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)F在直線l：xmy0上. （）若m2，求拋物線C的方程;（）設(shè)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂直，垂足為A1，B1，AA1F，BB1F的重心分別為G，H.求證：對任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外.【命題意圖】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.【答案】（）解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F（，0）在直線l上，得pm2，又m2，故p4.所以拋物線C的方程為y28x.（）證明：因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)F在直線l上，所以p=m2，所以拋物線C的方程為y22m2x.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得y22m3ym40，由于m0