數(shù)學復習點撥利用導數(shù)的定義解題

利用導數(shù)的定義解題學習導數(shù)的定義，要結(jié)合瞬時速度、光滑曲線的切線、斜率等實際背景，從物理和幾何兩方面入手，熟練掌握概念的本質(zhì)屬性，把握其內(nèi)涵與外延，才能靈活地應(yīng)用概念進行解題，求導的本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，要準確分析和把握給定的極限式與導數(shù)的關(guān)系，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是能夠順利求導的關(guān)鍵。例1、求函數(shù)在x1處的導數(shù)。解析1：（導數(shù)定義法），。解析2：（導函數(shù)的函數(shù)值法），。點評：根據(jù)導數(shù)的概念求函數(shù)的導數(shù)是求導數(shù)的基本方法。確定y=f(x)在點x= x0處的導數(shù)有兩種方法：一是導數(shù)定義法，二是導函數(shù)的函數(shù)值法。例2、對于函數(shù)f（x），已知f（3）=2，=-2，則= 。解析：=-2，=-2點評：解答本題的關(guān)鍵是通過對進行恒等變形，將其化為可以利用已知導數(shù)的定義形式。例3、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x= x0處可導，試求下列各極限的值。（1）；（2）（3）(4)若，則等于（ ）A.-1 B.-2 C.1 D.解析：（1）（2）（3）（4），故選C. 點評：在導數(shù)的定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對應(yīng)的形式。解決此類問題不能盲目地套用導數(shù)的定義，要準確地分析和把握給定的極限式與導數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)f(x)在x=x0處可導的條件，將所求極限的形式恒等變形轉(zhuǎn)化為已知極限的結(jié)構(gòu)形式，即導數(shù)的定義，這是解決這類問題的關(guān)鍵，因此，必須深刻理解導數(shù)的概念。例4、設(shè)，試問f（x）在x=0處是否可導？解析：函數(shù)f（x）在x=0的兩側(cè)（不包括x=0在內(nèi)）雖然其對應(yīng)法則是用同一個式子表示的，但在x=0處其對應(yīng)值為零，對應(yīng)法則和兩側(cè)的不同，故按導數(shù)定義：由已知f（0）=0，即f（x）在x=0處有定義。所以f（x）在x=0處可導，即f（0）=0。點評：對分段表示的非初等函數(shù)，在判斷函數(shù)在區(qū)間的交接點處是否可導時，都應(yīng)該從定義出發(fā)求其導數(shù)，當交接點的兩側(cè)函數(shù)的對應(yīng)法則用不同式子表示時，應(yīng)分別求函數(shù)在該點處的左右導數(shù)，看其是否存在且相等，從而決定在該點處函數(shù)是否可導。請讀者判斷函數(shù)，在x=0處是否連續(xù)、可導？例5、設(shè)f（x）x(2|x|)，則的值等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.不存在解析：由導數(shù)的定義知f（0）2，故應(yīng)選C.點評：此題也是求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)，一般要用定義求解，應(yīng)防止出現(xiàn)以下錯誤： ， 從而f（0）0。例6、設(shè)函數(shù)在x處可導，證明：= f（x） 證明：= f（x）+ f（x）= f（x）點評：值得注意的是，若極限存在，f(x)在x處的導數(shù)不一定存在，讀者可以從函數(shù)y=x在x=0處的可導性來說明這一點。但若極限存在，則f(x)在x處可導，讀者可自行證明。例7、(2006年湖南卷)曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是_.解析：由方程組 得曲線的交點是A(1,1).對曲線求導數(shù)， 曲線在點A處的切線斜率K1=，切線方程是l1：y=x+2。對曲線求導數(shù)，。曲線在點A處的切線斜率K1=，切線方程是l2：y=2x1。又l1、l2與x軸的交點坐標分別為(2,0)，（,0）它們與軸所圍成的三角形的面積為：點評：本題先求曲線的交點，再由導數(shù)求過該交點曲線的切線方程，最后求得所圍成的圖形面積。例8、求過點（2，0）與曲線相切的直線方程。錯解：設(shè)所求切線的斜率為K，則，故所求直線方程為：，即。若作出曲線及直線的圖象，就可以看出所求的直線和曲線不相切。錯因在于一開始就沒有判定所給的點（2，0）是否在曲線上，而想當然的把該點當作切點來考慮了。事實上點（2，0）根本不在曲線上。正解：設(shè)平面上通過點（2，0）的所有直線方程（y軸除外）為：y=K（x-2），切點為（x0，y0），則在切點處，直線和曲線的縱坐標相等且具有相同的斜率，因此有：，解得：K=-1，x0=1，故所求直線方程為：y=-（x-2）即y=-x+2。點評：解答此類問題常見的錯誤是：不能確定所給點的位置，或忽略切點既在曲線上，也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大。數(shù)學問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系。本節(jié)中