數學復習點撥利用導數的定義解題

利用導數的定義解題學習導數的定義，要結合瞬時速度、光滑曲線的切線、斜率等實際背景，從物理和幾何兩方面入手，熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題，求導的本質是求極限，在求極限的過程中，要準確分析和把握給定的極限式與導數的關系，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數的定義，這是能夠順利求導的關鍵。例1、求函數在x1處的導數。解析1：（導數定義法），。解析2：（導函數的函數值法），。點評：根據導數的概念求函數的導數是求導數的基本方法。確定y=f(x)在點x= x0處的導數有兩種方法：一是導數定義法，二是導函數的函數值法。例2、對于函數f（x），已知f（3）=2，=-2，則= 。解析：=-2，=-2點評：解答本題的關鍵是通過對進行恒等變形，將其化為可以利用已知導數的定義形式。例3、設函數y=f(x)在點x= x0處可導，試求下列各極限的值。（1）；（2）（3）(4)若，則等于（ ）A.-1 B.-2 C.1 D.解析：（1）（2）（3）（4），故選C. 點評：在導數的定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對應的形式。解決此類問題不能盲目地套用導數的定義，要準確地分析和把握給定的極限式與導數的關系，利用函數f(x)在x=x0處可導的條件，將所求極限的形式恒等變形轉化為已知極限的結構形式，即導數的定義，這是解決這類問題的關鍵，因此，必須深刻理解導數的概念。例4、設，試問f（x）在x=0處是否可導？解析：函數f（x）在x=0的兩側（不包括x=0在內）雖然其對應法則是用同一個式子表示的，但在x=0處其對應值為零，對應法則和兩側的不同，故按導數定義：由已知f（0）=0，即f（x）在x=0處有定義。所以f（x）在x=0處可導，即f（0）=0。點評：對分段表示的非初等函數，在判斷函數在區(qū)間的交接點處是否可導時，都應該從定義出發(fā)求其導數，當交接點的兩側函數的對應法則用不同式子表示時，應分別求函數在該點處的左右導數，看其是否存在且相等，從而決定在該點處函數是否可導。請讀者判斷函數，在x=0處是否連續(xù)、可導？例5、設f（x）x(2|x|)，則的值等于（ ）A.0 B.1 C.2 D.不存在解析：由導數的定義知f（0）2，故應選C.點評：此題也是求分段函數在分段點處的導數，一般要用定義求解，應防止出現(xiàn)以下錯誤： ， 從而f（0）0。例6、設函數在x處可導，證明：= f（x） 證明：= f（x）+ f（x）= f（x）點評：值得注意的是，若極限存在，f(x)在x處的導數不一定存在，讀者可以從函數y=x在x=0處的可導性來說明這一點。但若極限存在，則f(x)在x處可導，讀者可自行證明。例7、(2006年湖南卷)曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是_.解析：由方程組 得曲線的交點是A(1,1).對曲線求導數， 曲線在點A處的切線斜率K1=，切線方程是l1：y=x+2。對曲線求導數，。曲線在點A處的切線斜率K1=，切線方程是l2：y=2x1。又l1、l2與x軸的交點坐標分別為(2,0)，（,0）它們與軸所圍成的三角形的面積為：點評：本題先求曲線的交點，再由導數求過該交點曲線的切線方程，最后求得所圍成的圖形面積。例8、求過點（2，0）與曲線相切的直線方程。錯解：設所求切線的斜率為K，則，故所求直線方程為：，即。若作出曲線及直線的圖象，就可以看出所求的直線和曲線不相切。錯因在于一開始就沒有判定所給的點（2，0）是否在曲線上，而想當然的把該點當作切點來考慮了。事實上點（2，0）根本不在曲線上。正解：設平面上通過點（2，0）的所有直線方程（y軸除外）為：y=K（x-2），切點為（x0，y0），則在切點處，直線和曲線的縱坐標相等且具有相同的斜率，因此有：，解得：K=-1，x0=1，故所求直線方程為：y=-（x-2）即y=-x+2。點評：解答此類問題常見的錯誤是：不能確定所給點的位置，或忽略切點既在曲線上，也在切線上這一關鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大。數學問題的解決，要充分考慮題設條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結論的相應關系。本節(jié)中