江蘇省常熟市2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文（含解析）

2020學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高二數(shù)學(xué)（文科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為_(kāi)【答案】1【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出后可得【詳解】因?yàn)椋怨?，填【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題2.已知集合,則_.【答案】.【解析】【分析】分別根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和，再根據(jù)交集的定義求出.【詳解】集合，故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分式不等式和一元二次不等式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.3.已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)，代入點(diǎn)可得，從而可得冪函數(shù)的解析式【詳解】設(shè)，則，所以，填【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)解析式的求法，屬于容易題4.在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則的值是_【答案】【解析】【分析】先由三角函數(shù)的定義可得的值，再利用倍角公式可得的值【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，填【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及二倍角公式，是基礎(chǔ)題5.已知，則值是_【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系式可得的值【詳解】因?yàn)?，所以，故，填【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式，是基礎(chǔ)題6.計(jì)算：_【答案】1【解析】【分析】用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】，填【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以分類如下幾類：（1）；（2）；（3）7.已知在中，分別為角，的對(duì)邊，若，則_【答案】【解析】分析】先求，再利用正弦定理可以得到【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理可以得到，故【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，屬于容易題8.已知函數(shù)，若，則_【答案】【解析】【分析】先求，從而得到，故可得的值【詳解】，故，填【點(diǎn)睛】本題已知分段函數(shù)的函數(shù)值，要求參數(shù)的取值，此類問(wèn)題屬于基礎(chǔ)題9.若定義在上的偶函數(shù)滿足，對(duì)任意恒成立，則_【答案】1【解析】【分析】先由得到函數(shù)的周期，從而，再利用及可得從而得到【詳解】因?yàn)?，故，故為周期函?shù)且周期為，所以，令，則即，因，故，所以，故填【點(diǎn)睛】一般地，定義在上的函數(shù)滿足，總有（ ），則為周期函數(shù)且周期為；如果定義在上的函數(shù)滿足，總有（ ），則為周期函數(shù)且周期為10.已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)得到的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法得到的性質(zhì)，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，所以為上的增函數(shù)，故在上為增函數(shù)且恒成立所以，解答，填【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的討論應(yīng)依據(jù)“同增異減”的原則，注意討論的單調(diào)性的時(shí)候要關(guān)注在給定范圍上的值域必須是外函數(shù) 定義域的子集11.在二維空間中，正方形的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）（為正方形的邊長(zhǎng)），二維測(cè)度（面積）；在三維空間中，正方體的二維測(cè)度（表面積）（為正方形的邊長(zhǎng)），三維測(cè)度（體積）；應(yīng)用合情推理，在四維空間中，“超立方”的三維測(cè)度，則其四維測(cè)度_【答案】【解析】【分析】依據(jù)類比推理得到不同維度空間中兩個(gè)測(cè)度具有一定的關(guān)系（高維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)的兩倍為低維測(cè)度），從而得到，從而得到【詳解】在二維空間中，二維測(cè)度與一維測(cè)度（周長(zhǎng)）的關(guān)系是；在三維空間中，三維測(cè)度與二維測(cè)度的關(guān)系是，故在四維空間中，若“超立方”的三維測(cè)度，則其四維測(cè)度滿足，所以，故（為常數(shù)），類比各個(gè)維度測(cè)度的解析式的形式可得，故，填【點(diǎn)睛】本題考查類比推理，屬于基礎(chǔ)題12.已知，則的最小值是_【答案】0【解析】【分析】利用倍角公式可得，配方后利用可得原式的最小值【詳解】，因?yàn)?，故，故，所以?dāng)時(shí)，有最小值，填【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的中的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.13.設(shè)定義在上的奇函數(shù)滿足：時(shí)，（其中為常數(shù)）.若，則，的大小關(guān)系是_.（用“”連接）【答案】【解析】【分析】先利用求出，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷為上的增函數(shù)，從而得到即，故可得.【詳解】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，故，而，所以，故當(dāng)時(shí)，令，則為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，所以，故，所以為上的增函數(shù)，所以，即，所以，故.填.【點(diǎn)睛】判斷給定的各數(shù)的大小，我們可依據(jù)它們的形式構(gòu)建具體的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷它們的大小，而單調(diào)性可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)討論.14.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】畫出及的圖像，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)確定動(dòng)直線的位置為：與函數(shù)的圖像相切或與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，從而可得實(shí)數(shù)的范圍【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，所以的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又及的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與相切，與有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，從而，解得，當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同解，即，所以，故，綜上，故填【點(diǎn)睛】已知分段函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及各段函數(shù)圖像的特點(diǎn)確定動(dòng)曲線與定曲線之間的關(guān)系，必要時(shí)可結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分類討論圖像的特點(diǎn)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）.（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍.【答案】(1) (2)【解析】試題分析：（1）化簡(jiǎn)z12m(2m1)i，若z是純虛數(shù)，只需12m0且2m10即可；（2）求得12m(2m1)i，得2z=36m(2m1)i，只需即可.試題解析：（1）z12m(2m1)i因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以12m0且2m10，解得m（2）因?yàn)槭莦的共軛復(fù)數(shù)，所以12m(2m1)i所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i因?yàn)閺?fù)數(shù)2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以解得m，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，)點(diǎn)睛:形如的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部.當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)為虛數(shù),當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù).16.在中，角，所對(duì)的邊分別是，且.（1）求角；（2）若，的面積為，為的中點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得，又因?yàn)?，求出，結(jié)合的范圍可求的值利用三角形內(nèi)角和定理可求，利用三角形面積公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，故為等腰三角形，且頂角，故，所以，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所?17.設(shè)函數(shù)，其中，已知.（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的取值范圍.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式把化為，再利用得到滿足的關(guān)系式，結(jié)合可求的值.（2）利用周期變換得到，算出后可得的值域.【詳解】（1），由，則，所以，則，由，可知.（2）因?yàn)?，所以，由，則，所以，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的討論方法求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心等18.如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設(shè)天燃?xì)夤艿?已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形的三個(gè)頂點(diǎn)上，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，現(xiàn)欲在線段上找一處開(kāi)挖工作坑（不與點(diǎn)，重合），為鋪設(shè)三條地下天燃?xì)夤芫€，已知米，記，該三條地下天燃?xì)夤芫€的總長(zhǎng)度為米.（1）將表示成的函數(shù)，并寫出的范圍；（2）請(qǐng)確定工作坑的位置，使此處地下天燃?xì)夤芫€的總長(zhǎng)度最小，并求出總長(zhǎng)度的最小值.【答案】（1）；（2）當(dāng)長(zhǎng)為米時(shí)，此處天燃?xì)夤芫€的長(zhǎng)度最短為米.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得、，從而得到，其中.（2）利用導(dǎo)數(shù)可求的最小值.【詳解】（1）因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，由對(duì)稱性可知，又，由正弦定理，得，又，得，所以 ，由題意，的取值范圍是.（2）令，則，令，得，列表：-0+極小值所以當(dāng)時(shí)，米，有唯一極小值.此時(shí)有最小值米.答：當(dāng)長(zhǎng)為米時(shí)，此處天燃?xì)夤芫€的長(zhǎng)度最短為米.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)背景下的應(yīng)用題，關(guān)鍵在于利用題設(shè)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這些數(shù)學(xué)模型通常是三次函數(shù)、三角函數(shù)或分式函數(shù)，建模時(shí)注意自變量的合適選取及其相應(yīng)的范圍的確定.解模時(shí)可以利用導(dǎo)數(shù)等工具討論其性質(zhì).19.已知函數(shù)，.（1）解方程：；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達(dá)式；（3）若且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，解方程后可得.（2）令，則，分類討論可求的最大值的表達(dá)式.（3）根據(jù)題設(shè)有，利用基本不等式求出的最小值后可得的最大值從而得到的最大值.【詳解】（1）由題意，解得，（舍去）.所以原方程解為：.（2），令，則，設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上， .（3）由題意，得，所以，其中，所以，由知的最大值是，又單調(diào)遞增，所以，即的最大值為.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的值域一般通過(guò)換元來(lái)處理，通過(guò)換元把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的值域，換元時(shí)注意中間變量的范圍.二元等式條件下的最值問(wèn)題，往往利用線性規(guī)劃或基本不等式來(lái)處理.20.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，求證：函數(shù)的極大值小于1.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（3）見(jiàn)證明【解析】分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和，即可得出結(jié)果；（2）先將函數(shù)在時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)方法求出的最大值，即可得出結(jié)果；（3）先由題意得到，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，即可求出其極大值，得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由于，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得