導(dǎo)數(shù)選擇題之構(gòu)造函數(shù)法解不等式的一類題

導(dǎo)數(shù)選擇題之構(gòu)造函數(shù)法解不等式的一類題一、單選題1定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，且f(x)+2018為奇函數(shù)，則不等式f(x)+2018ex0的解集為 A (-,0) B (0,+) C (-,1e) D (1e,+)2設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x0時，f(x)0成立的x的取值范圍是（ ）A (-,-1)(0,1) B (-,-1)(-1,0)C (0,1)(1,+) D (-1,0)(0,+)3定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，若對任意的正實數(shù)x，都有2f(x)+xf(x)2恒成立，則使x2f(x)-f(1)0時恒有xf/x-fx，且f2=0，則不等式fx0的解集為()A (-2，0)(0，2) B (-，-2)(2，+)C (-，-2)(0，2) D (-2，0)(2，+)5定義在-1,+上的函數(shù)fx滿足fxsinx+x+1的解集為（ ）A -,0 B -1,0 C 0,+ D -1,16設(shè)定義在R上的函數(shù)y=fx滿足任意xR都有fx+2=-fx，且x0,4時，有fxfxx，則f2016、4f2017、2f2018的大小關(guān)系是 （ ）A 2f2018f2016f20164f2017C 4f20172f2018f2016 D 4f20172f20186,，且f(1)=2，則f(x)3-1x2的解集為A xx2 B x-1x1C xx1 D x-2x1-f(x),f(0)=0,f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式exf(x)ex-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為( )A (-,-1)(0,+) B (0,+) C (-,0)(1,+) D (1,+)9已知定義在R上的函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為fx，滿足fxfx，且f0=2，則不等式fx2ex的解集為（ ）A -,0 B 0,+ C -,2 D 2,+10定義在0,+上的函數(shù)f(x)滿足xfx+10,f(2)=-ln2，則不等式fex+x0的解集為A 0,2ln2 B 0,ln2 C ln2,+ D ln2,111已知定義在(0,+)上的函數(shù)f(x)滿足xf(x)-f(x)(m-2018)f(2)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）A (0,2018) B (2018,+) C (2020,+) D (2018,2020)12已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對于xR，均有f(x)f(x)，則有（ ）A e2017f(2017)e2017f(0) B e2017f(2017)f(0)，f(2017)f(0)，f(2017)e2017f(0) D e2017f(2017)f(0)，f(2017)0,則不等式f(2017+x)-(x+2017)2f(-1)0，則不等式(x+2018)2f(x+2018)-2017 B x|x-2017C x|-2018x-2014 D x|-2018x015已知函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)是y=fx，若x0,+，都有xfx3f2 B 2f1f2C 4f3f216已知函數(shù)f(x)滿足條件：當(dāng)x0時，f(x)+12xf(x)1，則下列不等式正確的是（ ）A f1+34f2 B f2+34f4C f1+89f3 D f2+4f(x)tanx成立.則有（ ）A 2f(4)f(3) B 3f(6)2cos1f(1)C 2f(4)6f(6) D 3f(6)0，若1a3，則（ ）A f(4a)f(3)f(log3a) B f(3)f(log3a)f(4a) C f(log3a)f(3)f(4a) D f(log3a)f(4a)0時，lnxf(x)0成立的x的取值范圍是（ ）A (-2,0)(0,2) B (-,-2)(2,+) C (-2,0)(2,+) D (-,-2)(0,2)參考答案1B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex，則得g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)f(x)+2018為奇函數(shù)得g(0)，轉(zhuǎn)化不等式為g(x)g(0)，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex，則g(x)=f(x)-f(x)ex0，所以g(x)在R上單獨遞減，因為f(x)+2018為奇函數(shù)，所以f(0)+2018=0f(0)=-2018,g(0)=-2018.因此不等式f(x)+2018ex0等價于g(x)0，選B.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如f(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)0構(gòu)造g(x)=exf(x)，xf(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)0構(gòu)造g(x)=xf(x)等2A【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)gx=fxx，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用f(x)f(x)x可判斷x0時函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式組可得結(jié)果.詳解：設(shè)gx=fxx，則gx的導(dǎo)數(shù)為gx=xfx-fxx2，因為x0時，f(x)fx成立，所以當(dāng)x0時，gx恒大于零，當(dāng)x0時，函數(shù)gx=fxx為減函數(shù)，又g-1=f-1-1=0函數(shù)gx的圖象性質(zhì)類似如圖，數(shù)形結(jié)合可得，不等式fx0xgx0，x0gx0或x0gx0，可得0x1或x0成立的x的取值范圍是(-,-1)(0,1)，故選A.點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題. 聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).3A【解析】【詳解】分析：構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x2f(x)-x2，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解詳解：設(shè)g(x)=x2f(x)-x2，則g(x)=2xf(x)+x2f(x)-2x =x(2f(x)+xf(x)-2)，由已知當(dāng)x0時，g(x)=x(2f(x)+xf(x)-20，g(x)在(0,+)上是減函數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，g(x)=x2f(x)-x2也是偶函數(shù)，g(0)=0，不等式x2f(x)-f(1)x2-1即為x2f(x)-x2f(1)-1，即g(x)g(1)，g(x)1，即x1故選A點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造如g(x)=xf(x)，g(x)=f(x)x，g(x)=exf(x)，g(x)=f(x)ex等等4B【解析】分析：設(shè)g(x)=f(x)x，結(jié)合求導(dǎo)法則，以及題中的條件，可以斷定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求出不等式的解集即可.詳解：設(shè)g(x)=f(x)x，所以g(x)=xf(x)-f(x)x2，因為當(dāng)x0時，有xf(x)-f(x)0恒成立，所以當(dāng)x0時g(x)0，所以g(x)在(0,+)上遞增，因為f(-x)=f(x)，所以g(-x)=f(-x)-x=-g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)在(-,0)上遞增，因為f(2)=0，所以g(2)=f(2)2=0，當(dāng)x0時，f(x)0等價于f(x)x0，所以g(x)0=g(2），所以x2，當(dāng)x0等價于f(x)x0，所以g(x)0=g(-2)，所以x-2，所以原不等式的解集為(-,-2)(2,+)，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，結(jié)合題中所給的條件，結(jié)合商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號的關(guān)系，得到相應(yīng)的結(jié)果，在求xg0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、定義域，分析可得答案.詳解：根據(jù)題意，設(shè)gx=fx-sinx-x，則gx=fx-cosx-1，又由函數(shù)fx定義在-1,+上，且有fx1+cosx，則gx=fx-cosx-1sinx+x+1fx-sinx-x1gxg0，則-1x0，即不等式的解集為-1,0.故選：B.點睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)gx=fx-sinx-x，并分析其單調(diào)性.6C【解析】根據(jù)題意，函數(shù)y=fx滿足任意tR都有fx+2=-fx，則有fx+4=-fx+2=fx，則fx是周期為4的函數(shù)，則有f2016=f4, f2017=f1,f2018=f2，設(shè)gx=fxx，則導(dǎo)數(shù)為gx=fxx-fxxx2=xfx-fxx2，又由x0,4時，fxfxx，則有xfx-fx0，則有g(shù)x=xfx-fxx2g2g4，即f1f22f44，又由2016=f4, f2017=f1,f2018=f2，則有f2017f20182f20164，變形可得4f20172f2018f2016，故選C.【方法點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).7C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)Fx=x2fx-3x2+1，由2f(x)+xf(x)6可得Fx在0,+遞增，結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化原不等式為x1,從而可得結(jié)果.【詳解】由fx3-1x2得x2fx-3x2+10，令Fx=x2fx-3x2+1，F(xiàn)x=2xfx+x2fx-6x=x2xfx+xfx-6，x0時，F(xiàn)x0,Fx遞增，又F1=f1-2=0,時，不等式f(x)3-1x2等價于FxF1fx是偶函數(shù)，F(xiàn)x也是偶函數(shù)，x1,可得x1或x3-1x2的解集為x|x1或x1-fxfx+fx-10則gx0，y=gx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增exfxex-1，gx-1，g0=e0f0-e0=-1gxg0，x0則不等式的解集為0，+故選B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵。9A【解析】分析：先構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.詳解：令g(x)=f(x)ex，因為g(x)=f(x)-f(x)ex2exg(x)g(0)x0因此解集為(-,0) ，選A.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如f(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)0構(gòu)造g(x)=exf(x)，xf(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)0，g(x)在（0，+）上單調(diào)遞增，原不等式等價于g(ex)g(2)，利用單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】設(shè)g(x)=f(x)+lnx，由xfx+10可得g(x)=f(x)+1x0，所以g(x)在（0，+）上單調(diào)遞增，又因為g(2)=f(2)+ln2=0，不等式fex+x0等價于g(ex)=f(ex)+x0=g(2)，因此ex2，xln2，即等式fex+x0的解集為ln2,+，故選C.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).11D【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)x，x(0,+)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得h(x) 在(0,+)上單調(diào)遞減，將2f(m-2018)(m-2018)f(2)，m-20180，轉(zhuǎn)化為f(m-2018)m-2018f(2)2，即h(m-2018)h(2)，從而可得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】令h(x)=f(x)x，x(0,+)，則h(x)=xf(x)-f(x)x2.xf(x)-f(x)0h(x)(m-2018)f(2)，m-20180f(m-2018)m-2018f(2)2，即h(m-2018)h(2).m-20180，解得2018m2020.實數(shù)m的取值范圍為(2018,2020)故選D【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或不等式的解集問題，往往要根據(jù)已知和所求合理構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)進(jìn)行求解，如本題中的關(guān)鍵是利用“xf(x)-f(x)(m-2018)f(2)”的聯(lián)系構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)x.12D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)gx=fxex，由fxfx可得函數(shù)gx=fxex在R上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)gx=fxex，則gx=fxex-exfxex2=fx-fxex，因為xR，均有fxfx，并且ex0,gxg0,g2017f(0)， f(2017)e2017f0,f2017e2017f0，故選D.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).13B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x2 ，將不等式轉(zhuǎn)化為 g(2017+x)g(-1)，再根據(jù)g(x)定義域以及單調(diào)性化簡求解.【詳解】令g(x)=f(x)x2,x0g(x)=x2f(x)-2xf(x)x4=xf(x)-2f(x)x30因為f(2017+x)-(x+2017)2f(-1)0，所以(2017+x)2g(2017+x)-(2017+x)2g(-1)0,因為g(x)在(-,0)單調(diào)遞減，所以2017+x0g(2017+x)g(-1)2017+x-1-2018x-2017，選B.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如f(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)0構(gòu)造g(x)=exf(x)，xf(x)f(x)構(gòu)造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)0構(gòu)造g(x)=xf(x)等14C【解析】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),求導(dǎo)可知函數(shù)是區(qū)間(0,+)上的增函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為x+20180求得x的范圍.詳解：x2f(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),xf(x)+2f(x)0,x0,x2f(x)0,則函數(shù)g(x)=x2f(x)是區(qū)間(0,+)上的增函數(shù).由不等式(x+2018)2f(x+2018)f(4)，得x+20184，解得x0，得x-2018，即x(-2018,-2014).故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)解不等式的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意求得對應(yīng)的不等式的解集.15D【解析】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)gx=fxx2x0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：令gx=fxx2x0，則：gx=fxx2-fx2xx4=xfx-2fxx3，由x0,+，都有xfx2fx成立，可得gxg2，即f112f222，則4f1f2.本題選擇D選項.點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.16C【解析】【分析】令gx=x2fx-x2，得到gx在0,+遞增，有g(shù)10在x 0,+恒成立， gx在0,+上是增函數(shù)， 13 g1g3得f1+80，那么在不等式的兩邊同時乘以cosx不等號不變，（fx-fxtanx）cosx=fxcosx-fxsinx=f(x)cosx0，所以原函數(shù)gx=f(x)cosx單增函數(shù)，由此g6g4g1g3，g6=32f(6)，g4=22f(4)，g3=12f(3)，g1=f1cos1，所以g4g322f412f32f4f(3)，所以A錯g6g132f6cos1f13f62cos1f(1)，所以B錯g6g432f66f(