剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題解答

第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一 選擇題1. 一繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，某時(shí)刻的角速度為w，角加速度為a，則其轉(zhuǎn)動(dòng)加快的依據(jù)是：（ ）A. a 0 B. w 0，a 0 C. w 0 D. w 0，a a 2 C. a 1 a 2。 4. 一半徑為R，質(zhì)量為m的圓柱體，在切向力F作用下由靜止開(kāi)始繞軸線作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則在2秒內(nèi)F對(duì)柱體所作功為： （ ） A. 4 F2/ m B. 2 F2 / m C. F2 / m D. F2 / 2 m解：答案是A。簡(jiǎn)要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律： ，得：所以：5. 一電唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤(pán)正以w 0的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，現(xiàn)將一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2的唱片置于轉(zhuǎn)盤(pán)上，則共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)為： （ ）A B C D解：答案是A。簡(jiǎn)要提示：角動(dòng)量守恒6. 已知銀河系中一均勻球形天體，現(xiàn)時(shí)半徑為R，繞對(duì)稱(chēng)軸自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，由于引力凝聚作用，其體積不斷收縮，假設(shè)一萬(wàn)年后，其半徑縮小為r，則那時(shí)該天體的：（ ）A. 自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；B. 自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減?。籆. 自轉(zhuǎn)周期減小，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加；D. 自轉(zhuǎn)周期增加，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能減小。解：答案是C。簡(jiǎn)要提示： 由角動(dòng)量守恒，得轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率增大，所以轉(zhuǎn)動(dòng)周期減小。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為可得Ek Ek0。7. 繩子通過(guò)高處一固定的、質(zhì)量不能忽略的滑輪，兩端爬著兩只質(zhì)量相等的猴子，開(kāi)始時(shí)它們離地高度相同，若它們同時(shí)攀繩往上爬，且甲猴攀繩速度為乙猴的兩倍，則 （ ）A. 兩猴同時(shí)爬到頂點(diǎn)B. 甲猴先到達(dá)頂點(diǎn)C. 乙猴先到達(dá)頂點(diǎn)D. 無(wú)法確定誰(shuí)先誰(shuí)后到達(dá)頂點(diǎn)解：答案是B。簡(jiǎn)要提示：考慮兩個(gè)猴子和滑輪組成的系統(tǒng)，滑輪所受的外力（重力和支撐力）均通過(guò)滑輪質(zhì)心，由于甲乙兩猴的重量（質(zhì)量）相等，因此在開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)對(duì)于通過(guò)滑輪質(zhì)心并與輪面垂直的轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，而在兩猴攀繩過(guò)程中，系統(tǒng)受到的合外力矩始終保持為零，因此系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)滑輪關(guān)于上述轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為w ，乙猴相對(duì)于繩子的向上速率為v0，繩子向甲這一邊運(yùn)動(dòng)的速率為v，則甲相對(duì)繩子向上運(yùn)動(dòng)的速率為2v0，因此甲和乙相對(duì)地面向上運(yùn)動(dòng)的速率分別為（2v0 - v）和（v0 + v）。根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律，有式中，w = v / R ，這樣可解出。故甲猴和乙猴相對(duì)于地面的速率分別為2 v0 - v=8 v0/5和v0 + v=7 v0/5，故甲猴先到達(dá)頂點(diǎn)。二 填空題1. 半徑為30cm的飛輪，從靜止開(kāi)始以0.5rad s2的角加速度勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則飛輪邊緣上一點(diǎn)在轉(zhuǎn)過(guò)2400時(shí)的切向加速度為 ；法向加速度為 。解：答案是 0.15 m s2； 0.4p m s2。簡(jiǎn)要提示：。由，得： 2. 一質(zhì)量為0.5 k g、半徑為0.4 m的薄圓盤(pán)，以每分鐘1500轉(zhuǎn)的角速度繞過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，今在盤(pán)緣施以0.98N的切向力直至盤(pán)靜止，則所需時(shí)間為 s。解：答案是 16 s。簡(jiǎn)要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得： m1lm2填空題3圖3 . 一長(zhǎng)為l，質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿，兩端附著小球m1和m2（m1m2），細(xì)桿可繞通過(guò)桿中心并垂直桿的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，先將桿置于水平然后放開(kāi)，則剛開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度應(yīng)為 。解：答案是 。簡(jiǎn)要提示：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得： 4. 如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為r的繞有細(xì)線的圓柱可繞固定水平對(duì)稱(chēng)軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，若質(zhì)量為m的物體縛在線索的一端并在重力作用下，由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m下降h的距離時(shí)，m的動(dòng)能與M的動(dòng)能之比為 。解：答案是 。rMm填空題4圖計(jì)算題5圖qAB簡(jiǎn)要提示：由， 得：計(jì)算題5圖qABmgN2N15. 如圖所示，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿AB，A端靠在光滑的豎直墻壁上，B端置于粗糙水平地面上靜止，桿身與豎直方向成q 角，則A端對(duì)墻壁的壓力為 。解：答案是 。簡(jiǎn)要提示：受力分析如圖所示，由剛體平衡條件得：所以： 6. 一位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0的花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員以角速度w 0自轉(zhuǎn)，其角動(dòng)量為 ；轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 。當(dāng)其收回手臂使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減為J0 /3時(shí)，則其角動(dòng)量變?yōu)?；轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變?yōu)?。解：答案是J0w 0； ； 3w 0； 簡(jiǎn)要提示：角動(dòng)量守恒7. 一圓形轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，臺(tái)上有一輛玩具小汽車(chē)相對(duì)臺(tái)面由靜止啟動(dòng)，當(dāng)其繞軸作順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)將作 轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)汽車(chē)突然剎車(chē)停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的 守恒；而 和 不守恒。解：答案是逆時(shí)針；角動(dòng)量；動(dòng)量；機(jī)械能三 計(jì)算題1. 一細(xì)桿繞其上端在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，桿與豎直方向的夾角。求：(1) 桿擺動(dòng)的角速度和角加速度；(2) 距上端0.5m處的一點(diǎn)的速度和加速度。解：(1) ; (2) ；rArCACB計(jì)算題2圖2. 如圖所示，半徑rA = 0.1 m的A輪通過(guò)皮帶B與半徑rC = 0.25 m的C輪連在一起。已知A輪以0.5p rad s2的角加速度由靜止勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶不滑動(dòng)，求：(1) C輪達(dá)到每分鐘100轉(zhuǎn)所需的時(shí)間；(2) 此時(shí)兩輪邊緣上一點(diǎn)的速度、加速度分別為多少？解：(1) 皮帶不滑動(dòng)，所以；得： ，(2) ；3. 一塊勻質(zhì)長(zhǎng)方形薄板ABCD，邊長(zhǎng)分別為a、b，質(zhì)量為M，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求：(1) 薄板對(duì)x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2) 薄板對(duì)邊長(zhǎng)AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(3) 薄板對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：薄板的質(zhì)量面密度為rS =M/ab(1) 所以：ABCDoyx計(jì)算題3圖同理： 所以： (2) 由平行軸定理：(3) 由薄板垂直軸定理： Rrr計(jì)算題4圖4. 在質(zhì)量為M，半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)上挖出兩個(gè)半徑為r的圓孔，圓孔中心在半徑R的中點(diǎn)，如圖所示，求剩余部分對(duì)過(guò)大圓盤(pán)中心且與盤(pán)面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：由補(bǔ)償法： 由平行軸定理： 其中： 得： 計(jì)算題5圖BAJ, ro5. 如圖所示，半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪A可繞水平光滑軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，輪上纏繞有不能伸長(zhǎng)的輕繩，繩一端系有質(zhì)量為m的物體B，B可在傾角為q 的光滑斜面上滑動(dòng)，求B的加速度和繩中張力。解：物體B運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程定滑輪A的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程及 聯(lián)立解得B的加速度方向沿斜面向下。繩中張力為6. 如圖所示，質(zhì)量為m1的物體可在傾角為的光滑斜面上滑動(dòng)。m1的一邊系有勁度系數(shù)為k的彈簧，另一邊系有不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩繞過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r的小滑輪與質(zhì)量為m2（m1）的物體相連。開(kāi)始時(shí)用外力托住m2使彈簧保持原長(zhǎng)，然后撤去外力，求m2由靜止下落h距離時(shí)的速率及m2下降的最大距離。km1Jm2計(jì)算題6圖解：在m2由靜止下落h距離的過(guò)程中機(jī)械能守恒，因此有式中，解得m2由靜止下落h距離時(shí)的速率 下降到最低時(shí)，、速率為零，代入上式，得到m2下降的最大距離7. 質(zhì)量為M長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻直桿可繞過(guò)端點(diǎn)o的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖所示，若M = 6 m，求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完全非彈性碰撞和完全彈性碰撞后桿的角速度大小。LoMomv計(jì)算題7圖解：（1）完全非彈性碰撞時(shí)，質(zhì)點(diǎn)射入桿內(nèi)，與桿一起轉(zhuǎn)動(dòng)。在此過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)和桿系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，設(shè)系統(tǒng)繞端點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w ，因此解出 （2）完全彈性碰撞時(shí)，碰撞前后系統(tǒng)關(guān)于端點(diǎn)o的角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后質(zhì)點(diǎn)的水平速度為v，直桿繞端點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w ，因此有得到 （1）碰撞前后系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因此有由上式得到 （2）將（2）式和（1）式兩邊相除，得到 （3）再由（3）式和（1）式解得8. 如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，一端懸掛在o點(diǎn)上，可繞水平軸在豎直面內(nèi)無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，在同一懸掛點(diǎn)，有長(zhǎng)為l的輕繩懸掛一小球，質(zhì)量也為m，當(dāng)小球懸線偏離鉛垂方向某一角度由靜止釋放，小球在懸點(diǎn)正下方與靜止細(xì)棒發(fā)生彈性碰撞。若碰撞后小球剛好靜止，試求繩長(zhǎng)l應(yīng)為多少？Llmo計(jì)算題8圖解：在碰撞過(guò)程中，小球和棒都在垂直位置，因此系統(tǒng)受到的關(guān)于轉(zhuǎn)軸o的合外力矩為零，因此系統(tǒng)在碰撞前后瞬間的角動(dòng)量守恒。設(shè)碰撞后瞬間細(xì)棒繞轉(zhuǎn)軸o轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，由角動(dòng)量守恒，有另外由于沒(méi)有摩擦和阻尼，因此系統(tǒng)在碰撞期間的機(jī)械能也守恒。即小球的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為棒的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 或解 設(shè)碰撞后小球的速率為v，則由角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，有求得 令，則解得 9. 轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心豎直軸以角速度w 0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，現(xiàn)有質(zhì)量為m的小鋼球以每秒n個(gè)的速率垂直落入轉(zhuǎn)臺(tái)上半徑為r的圓軌道內(nèi)，求轉(zhuǎn)臺(tái)的加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系。解：由角動(dòng)量守恒，初始時(shí)角動(dòng)量為：，t時(shí)刻系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量為： ；所以角速度為： 10. 在一半徑為R、質(zhì)量為M、可繞中心豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)的邊上，站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，求當(dāng)人沿圓盤(pán)的邊緣走完一周回到原有位置時(shí)，圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為多大？解：設(shè)人相對(duì)于圓盤(pán)的速率為v，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，由角動(dòng)量守恒定律得： ；所以圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 11. 質(zhì)量為5kg、半徑為25cm的輪子，裝在一根長(zhǎng)為40