常微分方程,中山版

.,常微分方程OrdinaryDifferentialEquation2014-2015學(xué)年第一學(xué)期,劉漢澤修改hnz_liu,.,課程安排：計(jì)劃上課18周（除去節(jié)假日、勞動(dòng)周），從9月1日開始，單周4節(jié)；雙周2節(jié)，上機(jī)。,.,教材及參考資料,教材：常微分方程，(第三版）（2007年教育部精品教材），王高雄等（中山大學(xué)),高教出版社參考書目：1常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社2常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社3常微分方程教程，丁同仁等編，高教出版社4微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。,.,教學(xué)安排,第1周第18周，共54學(xué)時(shí)（含國(guó)慶等假期，實(shí)際課時(shí)更少）考試安排：按學(xué)校、學(xué)院統(tǒng)一安排，總成績(jī)=平時(shí)（30%）+期末（70%），有小論文可以加分，一般每周四課代表收交作業(yè)，并統(tǒng)計(jì)作業(yè)情況。,.,第一章緒論,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域等都有廣泛的應(yīng)用。隨著計(jì)算技術(shù)和計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，常微分方程已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等學(xué)科的任何一個(gè)領(lǐng)域，正發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。,.,動(dòng)力系統(tǒng),Dynamicalsystemdescribestheevolutionofastateovertime/article/History_of_dynamical_systemsCurator:Dr.EugeneM.Izhikevich,Editor-in-ChiefofScholarpedia,thefreepeerreviewedencyclopedia,.,第一章緒論主要內(nèi)容,線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組這些方程都是要把研究問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，統(tǒng)稱代數(shù)方程。,.,在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題比如：某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等研究這些問題所建立的數(shù)學(xué)方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程,.,基本思想:把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式，即求解微分方程。,.,微分方程的歷史,微分方程差不多是和微積分同時(shí)產(chǎn)生牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare及前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Lyapunov等對(duì)現(xiàn)代微分方程理論的建立做出了巨大的貢獻(xiàn),.,與其他學(xué)科的關(guān)系,常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具,.,1.1常微分方程模型,RLC電路數(shù)學(xué)擺人口模型傳染病模型兩生物種群生態(tài)模型Lorenz方程,.,RL電路,.,基爾霍夫(Kirchhoff)第二定律,在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零,.,RLC電路,.,.,數(shù)學(xué)擺,.,.,人口模型,馬爾薩斯(Malthus)假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增加率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記為r,.,人口模型的改進(jìn),Verhulst：引入常數(shù)Nm（環(huán)境最大容納量），假設(shè)：凈相對(duì)增長(zhǎng)率為,.,logistic模型,.,.,傳染病模型,假設(shè)傳染病傳播期間其地區(qū)總?cè)藬?shù)不變，為常數(shù)n，開始時(shí)染病人數(shù)為x0，在時(shí)刻t的健康人數(shù)為y(t)，染病人數(shù)為x(t)假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)的健康人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k,.,SI模型易感染者：Susceptible已感染者：Infective,.,SIS模型,對(duì)無(wú)免疫性的傳染病，假設(shè)病人治愈后會(huì)再次被感染，設(shè)單位時(shí)間治愈率為mu,.,SIR模型（R：移出者（Removed）,對(duì)有很強(qiáng)免疫性的傳染病，假設(shè)病人治愈后不會(huì)在被感染，設(shè)在時(shí)刻t的愈后免疫人數(shù)為r(t)，稱為移出者，而治愈率l為常數(shù),.,兩生物種群生態(tài)模型,意大利數(shù)學(xué)家沃特拉(Volterra)建立了一個(gè)關(guān)于捕食魚與被食魚生長(zhǎng)情形的數(shù)學(xué)模型假設(shè)在時(shí)刻t，被食魚的總數(shù)為x(t)，而捕食魚的總數(shù)為y(t)假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)捕食魚與被捕食魚相遇的次數(shù)為bxy捕食魚的自然減少率同它們的存在數(shù)目y成正比,.,Volterra被捕食-捕食模型,.,兩種群競(jìng)爭(zhēng)模型,.,Lorenz方程,.,Lorenz吸引子，蝴蝶效應(yīng),.,對(duì)初值的敏感性,.,分形（fractal）,.,吸引子,.,總結(jié),微分方程反映量與量之間的關(guān)系，與時(shí)間有關(guān)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)從已知的自然規(guī)律出發(fā)，考慮主要因素，構(gòu)造出由自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系史，即微分方程，從而建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的建立有多種方式研究微分方程的解和解結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，檢查是否與實(shí)際相吻合，不斷改進(jìn)模型由微分方程發(fā)現(xiàn)或預(yù)測(cè)新的規(guī)律和性質(zhì),.,1.2基本概念,1.2.1常微分方程基本概念,.,定義（微分方程）聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程，DE,例1：下列關(guān)系式都是微分方程,微分方程,.,.,如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程，ODE,都是常微分方程,常微分方程,如,.,如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程，PDE,注:本課程主要研究常微分方程，同時(shí)把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程,偏微分方程,如,都是偏微分方程,.,定義微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).,是一階微分方程,是二階微分方程,是四階微分方程,微分方程的階,如:,.,n階微分方程的一般形式為,.,是線性微分方程,線性和非線性,如,如果方程,.,.,是非線性微分方程,如,n階線性微分方程的一般形式,不是線性方程的方程稱為非線性方程,.,微分方程的解,定義,稱為方程的顯式解,.,例,證明:,.,顯式解與隱式解,隱式解,注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解，也叫微分方程的積分,.,例如,有顯式解,和隱式解:,.,通解與特解,定義如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解,例如:,n階微分方程通解的一般形式為,.,注:,.,例,證明:,由于,故,.,又,.,類似可定義方程的隱式通解,如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解,以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解,隱式通解也稱為“通積分”,.,在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解,例如,定義,.,定解條件,為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件,求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題,常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:,當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問題稱為初值問題,.,注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫為,注2:,.,例（P19）,解,由于,且,.,解以上方程組得,.,ODE的定解條件除初值條件外，還有邊值條件。此處略，見教材附錄1，p.370.,.,積分曲線和方向場(chǎng),積分曲線,一階微分方程,稱為微分方程的積分曲線,.,方向場(chǎng),在方向場(chǎng)中,方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.,所規(guī)定的方向場(chǎng),.,例研究下列方程的方向場(chǎng)和積分曲線,.,.,.,微分方程組,.,向量表示,.,駐定與非駐定，動(dòng)力系統(tǒng),駐定（自治）,.,非駐定（非自治）,.,相空間、奇點(diǎn)和軌線,不含自變量、僅由未知函數(shù)組成的空間稱為相空間積分曲線在相空間中的投影稱為軌線稱為平衡解（駐定解、常數(shù)解），奇點(diǎn)、平衡點(diǎn),.,例,.,.,.,.,.,垂直等傾線、水平等傾線,.,課外練習(xí)p27：.2(1、5)p27:3（1、5、8）p27:4,.,第二章一階微分方程的初等解法,重點(diǎn)：會(huì)解常見的一階ODE.難點(diǎn)：方程的化簡(jiǎn)與變形，基礎(chǔ)：函數(shù)的積分與微分。,.,2.1變量分離方程與變量變換,.,定義1,形如,方程,稱為變量分離方程.,.,一、變量分離方程的求解,這樣變量就“分離”開了.,.,例：,分離變量:,兩邊積分:,.,注:,解:,積分得:,.,故方程的所有解為:,.,解:,分離變量后得,兩邊積分得:,整理后得通解為:,.,解:,將變量分離后得,兩邊積分得:,由對(duì)數(shù)的定義有,.,即,故方程的通解為,.,例4,解:,兩邊積分得:,因而通解為:,再求初值問題的通解,所以所求的特解為:,.,二、可化為變量分離方程類型,（I）齊次方程,.,齊次線性方程組,.,非齊次線性方程組,.,.,.,P44,.,例,.,(I)形如,方程稱為齊次方程,求解方法:,.,解:,方程變形為,這是齊次方程,即,將變量分離后得,.,兩邊積分得:,即,代入原來(lái)變量,得原方程的通解為,.,解:,方程變形為,這是齊次方程,將變量分離后得,.,兩邊積分得:,整理后得,變量還原得,故初值問題的解為,.,(II)形如,的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.,分三種情況討論,為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.,.,這就是變量分離方程,.,作變量代換(坐標(biāo)變換),則方程化為,為(1)的情形,可化為變量分離方程求解.,.,解的步驟:,.,解:,解方程組,.,將變量分離后得,兩邊積分得:,變量還原并整理后得原方程的通解為,.,注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.,此外,諸如,.,以及,.,解:,代入方程并整理得,即,分離變量后得,兩邊積分得,變量還原得通解為,.,三、應(yīng)用舉例,例8、雪球的融化設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。,解:,根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得,.,分離變量并積分得方程的通解為,由初始條件得,代入得雪球的體積隨時(shí)間的變化關(guān)系為,.,作業(yè)(9月8日),P42:1,3,5,7P43:2,4,6,.,9月10日,.,自治（駐定）,.,非自治（非駐定）,.,人口模型,馬爾薩斯(Malthus)假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增加率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記為r,.,9月10日,一階微分方程的初等解法變量分離方程齊次微分方程線性微分方程倍努利微分方程恰當(dāng)方程其它,.,變量分離恰當(dāng)微分方程,.,2.2線性方程與常數(shù)變易法,.,一階線性微分方程,.,一一階線性微分方程的解法-常數(shù)變易法,.,代入(1)得,積分得,注求(1)的通解可直接用公式(3),.,解:,將方程改寫為,首先,求齊次方程,的通解,從,分離變量得,兩邊積分得,.,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即,積分得,故通解為,.,解:,但將它改寫為,即,故其通解為,.,解:,先求原方程的通解,.,故所給初值問題的特解為,.,形如,的方程,稱為伯努利方程.,解法:,.,解:,解以上線性方程得,.,例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù),試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.,二線性微分方程的應(yīng)用舉例,電路的Kirchhoff第二定律:,在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,.,則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為,解線性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律,得到,設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0,得通解為:,.,故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為,.,作業(yè),P481:1,3,5,7,9,11,13,15,.,2.3恰當(dāng)方程與積分因子,.,.,一、恰當(dāng)方程的定義及條件,如果恰好碰見方程,就可以馬上寫出它的隱式解,.,定義1,則稱微分方程,是恰當(dāng)方程.,如,是恰當(dāng)方程.,1恰當(dāng)方程的定義,.,需考慮的問題,(1)方程(1)是否為恰當(dāng)方程?,(2)若(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?,(3)若(1)不是恰當(dāng)方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?,2方程為恰當(dāng)方程的充要條件,定理1,為恰當(dāng)方程的充要條件是,.,證明,“必要性”,設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,故有,從而,故,.,“充分性”,即應(yīng)滿足,.,因此,事實(shí)上,.,故,(8),注:若(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為,.,二、恰當(dāng)方程的求解,1不定積分法,.,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,.,即,積分后得:,故,從而方程的通解為,.,2分組湊微法,采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把剩余的項(xiàng)湊成全微分.,-應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.,如,.,.,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,把方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,或?qū)懗?故通解為:,.,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,把方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,.,或?qū)懗?故通解為:,故所求的初值問題的解為:,.,第三周9月15日,.,作業(yè)中存在的問題,積分時(shí)常忘記取絕對(duì)值從頭到尾用一個(gè)常數(shù)符號(hào)變量代換時(shí)用一些常用的常量符號(hào)化簡(jiǎn)不徹底，如對(duì)數(shù)沒合并，去絕對(duì)值時(shí)少正負(fù)號(hào)習(xí)慣用顯函數(shù)表示，化簡(jiǎn)過頭沒有考慮使分母為零的點(diǎn)可能是解,.,P28:8(1),.,P43：2（6）,.,P43：2（7）,.,人口模型,馬爾薩斯(Malthus)假設(shè)：在人口自然增長(zhǎng)的過程中，凈相對(duì)增加率（單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記為r,.,Wewouldliketo“solve”thedynamicsofthesystemtodeterminehowthestatewillevolveinthefuture(i.e.fort=0),.,3線積分法,定理1充分性的證明也可用如下方法:,由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:,.,從而(1)的通解為,.,例4求解方程,解:,故所給方程是恰當(dāng)方程.,.,故通解為:,.,三、積分因子,非恰當(dāng)方程如何求解?,對(duì)變量分離方程:,不是恰當(dāng)方程.,是恰當(dāng)方程.,.,對(duì)一階線性方程:,不是恰當(dāng)方程.,則,是恰當(dāng)方程.,可見,對(duì)一些非恰當(dāng)方程,乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.,.,1定義,例5,解:,對(duì)方程有,.,由于,把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得,即,.,也即,故所給方程的通解為:,2積分因子的確定,即,.,盡管如此,方程,還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.,.,變成,即,.,.,.,3定理,微分方程,.,.,解:,由于,故它不是恰當(dāng)方程,又由于,.,利用恰當(dāng)方程求解法得通解為,.,小結(jié),積分因子是求解微分方程的一個(gè)極為重要的方法絕大多數(shù)方程求解都可以通過尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決一般而言，求微分方程的積分因子比較困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn),.,例7求解方程,解:,方程改寫為:,或:,易看出,此方程有積分因子,.,即,故方程的通解為:,例8求解方程,解:,故方程不是恰當(dāng)方程,.,方法1:,即,故方程的通解為:,.,方法2:,方程改寫為:,容易看出方程左側(cè)有積分因子:,故方程的通解為:,.,方法3:,方程改寫為:,這是齊次方程,即,故通解為:,變量還原得原方程的通解為:,.,方法4:,方程改寫為:,故方程的通解為:,即方程的通解為:,.,作業(yè),P601:（1）,（3）,（5）2：（2），（4）P613，5,.,2.4一階隱方程與參數(shù)表示,.,一階隱式方程,求解,采用引進(jìn)參數(shù)的辦法使其變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的方程類型.,主要研究以下四種類型,.,定義,.,1形如,方程的解法,.,(I)若求得(4)的通解形式為,將它代入(3),即得原方程(2)的通解,(II)若求得(4)的通解形式為,則得(2)的參數(shù)形式的通解為,.,(III)若求得(4)的通解形式為,則得(2)的參數(shù)形式的通解為,.,附注1:,附注2:,.,解:,整理化簡(jiǎn)后得方程,例1求解方程,.,解得(7)的通解為:,將它代入(6)得原方程的通解:,又從,解得(7)的一個(gè)解為:,從,.,將它代入(6)得原方程的一個(gè)解:,故原方程的解為:,通解:,及一個(gè)解:,.,.,例2.求在第一像限中的一條曲線,使其上每一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積均等于2.,解:,因此,切線在坐標(biāo)軸上的,.,因所求曲線在第一象限,由題意得,即,即,.,故得通解為:,它是直線族.,得另一特解為:,這是雙曲線,顯然這才是我們所要求的一條曲線.,.,2形如,方程的解法,.,若求得(10)的通解形式為,則得(9)的參數(shù)形式的通解為,.,例3求解方程,解:,方程變形為:,.,即,解以上微分方程得:,因而:,故方程的通解參數(shù)形式為,習(xí)慣通解記成:,.,1形如,方程的解法,即滿足:,.,兩邊積分得,于是得到原方程參數(shù)形式的通解為,.,解的步驟:,“關(guān)鍵一步也是最困難一步”,.,例4求解方程,解,.,故原方程參數(shù)形式的通解為,由于,積分得,.,9月17日,.,2形如,方程的解法,解的步驟:,“關(guān)鍵一步也是最困難一步”,.,例5求解微分方程,解,由于,.,故原方程參數(shù)形式的通解為,積分得,.,注:方程有多種解法,用一(1)型,.,作業(yè),P69-70：1,3,.,請(qǐng)認(rèn)真閱讀P70的“本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)”能用初等解法的微分方程是很有限的，如Riccati方程一般沒有初等解法,.,第三章一階微分方程的解的存在定理,.,問題,.,解不唯一,.,.,解不存在,AsolutiontothisdifferentialequationdoesnotexistforanyT=0,.,對(duì)于給定的微分方程,它的通解一般有無(wú)限多個(gè),而給定初始條件后,其解可能不存在；若存在，其解可能唯一,也可能不唯一,滿足初始條件的微分方程解的存在唯一性定理是最基本的定理它是數(shù)值解的前提解對(duì)初值的連續(xù)依賴性,.,例:證明初值問題,的解存在且唯一。,滿足,.,取,.,唯一性證明:設(shè)有兩個(gè)解,這就證明了解的唯一性。,.,3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法,.,一存在唯一性定理,1定理1考慮初值問題,.,Lipschitzcontinuous,.,.,證明思路,(2)構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列,.,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),.,這是為了,即,.,.,下面分五個(gè)命題來(lái)證明定理,為此先給出,積分方程的解,如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù),則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.,積分方程,.,命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程,證明:,即,.,反之,故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得,且,.,構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列,問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通,即上述的積分是否有意義?,注,.,命題2,證明:(用數(shù)學(xué)歸納法),.,.,命題3,證明:,考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),它的前n項(xiàng)部分和為,.,對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),.,.,于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有,.,Weierstrass判別法,.,現(xiàn)設(shè),命題4,證明:,.,即,.,命題5,證明:,由,.,.,綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.,.,第四周,9月22日,.,存在唯一性定理,1定理1考慮初值問題,.,命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程,構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列,命題2,.,命題3,命題4,命題5,.,存在唯一性定理的說(shuō)明,.,.,.,.,3一階隱方程解存在唯一性定理,定理2,考慮一階隱方程,則方程(3.5)存在唯一解,滿足初始條件,.,三近似計(jì)算和誤差估計(jì),求方程近似解的方法：Picard逐步逼近法,這里,.,注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明,則,.,解,由于,由(3.19),.,.,.,code,%Untitled6.mclearx,y=ode45(riccati,0,10,0);plot(x,y);%riccati.mfunctionY=riccati(x,y)Y=x*x+y*y;,.,解,.,解,與初值問題等價(jià)的積分方程為,.,其迭代序列分別為,取極限得,即初值問題的解為,.,作業(yè),P1021,.,9月24日,.,3.2解的延拓,.,問題提出,對(duì)于初值問題,.,例如初值問題,.,1飽和解及飽和區(qū)間,定義1,.,2局部李普希茨(Lipschitz)條件,定義2,.,對(duì)定義2也可如下定義,注,.,3解的延拓定理,定理,.,證明,.,定義函數(shù),.,以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進(jìn)行下去.直到無(wú)法延拓為止.,它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.,最后得到一條長(zhǎng)長(zhǎng)的積分曲線,.,推論1,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.,推論2,.,證明,.,推論3,.,例1討論方程,解,該方程右側(cè)函數(shù)確定在整個(gè)xy平面上且滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理?xiàng)l件.其解為,.,例2,解,.,注,.,3.3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理,.,解對(duì)初值的連續(xù)性解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性解對(duì)初值的可微性,內(nèi)容:,.,G,圖例分析(見右),解對(duì)初值的對(duì)稱性:,Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí),對(duì)應(yīng)的解是如何變化的?當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí),方程的解變化是否也是很小呢？,.,證明,則由解的唯一性知,即此解也可寫成:,且顯然有:,.,按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個(gè)問題:,.,一解對(duì)初值的連續(xù)性,定義,設(shè)初值問題,1.解對(duì)初值的連續(xù)依賴性,.,初值問題,.,引理如果函數(shù)于某域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L(zhǎng)），則對(duì)方程的任意兩個(gè)解及,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式.其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。,證明,則,.,于是,因此,兩邊取平方根即得,.,2定理1(解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理),條件:I.在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;II.是(1)滿足的解,定義區(qū)間為a,b.,結(jié)論:對(duì),使得當(dāng),時(shí),方程(1)過點(diǎn)的解在a,b上也有定義,且,方程,.,思路分析：,.,記積分曲線段S：,顯然S是xy平面上的有界閉集.,第一步:找區(qū)域D,使,且在D上滿足Lips.條件.,G,(見下圖),由已知條件,對(duì),存在以它為中心的圓,使在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為.根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng)時(shí),有,對(duì),記,則以為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點(diǎn)沿S運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí),掃過的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域D,b,a,.,.,第二步:證明在a,b上有定義.,假定利用引理2及的連續(xù)性可得:,.,第三步:證明,.,根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:,3定理2(解對(duì)初值的連續(xù)性定理),條件:在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部Lips.條件;,方程,.,證明,令,.,.,二解對(duì)初值的可微性,.,1解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理,.,2解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,3解對(duì)初值可微性定理,.,作業(yè),P1021,2,.,9月24日,.,3.4奇解,.,一、包絡(luò)和奇解,1包絡(luò)的定義,定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：,曲線族(3.23)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在,曲線(3.23)中,但過這曲線的每一點(diǎn)有(3.23)中的一條曲線和它在這點(diǎn)相切.,.,例如,單參數(shù)曲線族：,（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖,R,從圖形可見,此曲線族的包絡(luò)顯然為:,.,注:并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).,例如:單參數(shù)曲線族:,(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.,如圖,從圖形可見,此曲線族沒有包絡(luò).,.,問題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族:,如何判斷它是否有包絡(luò)?,如果有包絡(luò),如何求?,.,2包絡(luò)的求法,曲線族(3.23)的包絡(luò)包含在下列兩方程,注:,.,解:,記,則,即,.,因此c-判別曲線包括兩條曲線(3.32)和(3.33),.,x,y,O,.,例2:,求直線族:,的包絡(luò).,這里,是參數(shù),是常數(shù).,解:,記,則,消去參數(shù),得,的c-判別曲線:,經(jīng)驗(yàn)證,是曲線族,的包絡(luò).,如圖:,.,O,x,y,.,3奇解,定義2:,微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.,注:一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡(luò).,例如:,.,.,4奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程組,注:,.,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,從,消去p(實(shí)際上p=0),得到p-判別曲線,即,由于方程的通解為:,.,三、克萊羅（Clairaut）方程,1定義3:,形如,的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.,.,為求它的解,令,得,經(jīng)化簡(jiǎn),得,2克萊羅(Clairaut)方程的求解,這是y已解出的一階微分方程.,.,如果,則得到,于是,Clairaut方程的通解為:,如果,它與等式,聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:,或,其中c為參數(shù).,消去參數(shù)p便得方程的一個(gè)解.,.,結(jié)果:,Clairaut方程,的通解,是一直線族,此直線族的包絡(luò),或,是Clairaut方程的奇積分曲線,所對(duì)應(yīng)的解是奇解.,如果令,則,因此,求得此解的過程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)一樣.,易驗(yàn)證,此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò),.,例4:,求解方程,解:,這是Clairaut方程,因而它有通解:,其中,因?yàn)?所以,從,中消去參數(shù)c,得到原方程的奇解:,.,x,y,O,如圖:,故,此方程的通解是直線族:,而奇解是通解的包絡(luò):,.,作業(yè),P1111：（1），（3），（5）2：（2），（4）,.,3.5數(shù)值解,歐拉方法,.,歐拉方法有1階精度,.,改進(jìn)歐拉方法,.,.,龍格-庫(kù)塔方法,.,四階龍格-庫(kù)塔公式,.,精確解為,.,歐拉方法,.,改進(jìn)歐拉方法,.,二階龍格-庫(kù)塔公式,.,四階龍格-庫(kù)塔公式,.,.,作業(yè),在你的計(jì)算機(jī)上安裝Matlab熟悉三種算法讀懂三種算法的程序代碼驗(yàn)算能否找另外一個(gè)類似的微分方程初值問題并求解,.,第五周,9月29日（星期二）,.,第三章學(xué)習(xí)要點(diǎn),解的存在惟一性定理解的一些基本性質(zhì)一階微分方程奇解求奇解的兩種方法兩種數(shù)值解法,.,基本要求,理解有關(guān)定理的內(nèi)容掌握逐步逼近法,.,解的存在唯一性定理,1定理1考慮初值問題,.,命題1初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程,構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列,命題2,.,命題3,命題4,命題5,.,存在唯一性定理的說(shuō)明,.,注,定理3.1中的兩個(gè)條件是保證初值問題的解存在惟一的充分條件，而非必要條件,.,反例一,.,反例二,.,P88,.,P88,.,P88,.,P89,.,.,.,P89,.,.,解的延拓定理,.,.,.,10月10日補(bǔ)10月8日周四課第六周,.,解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,解對(duì)初值可微性定理,.,證明,因此,解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立,即,.,即,和,于是,.,設(shè),.,即,是初值問題,的解,根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,則,.,的解,不難求得,.,即,和,于是,.,.,即,是初值問題,的解,根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,.,的解,不難求得,.,初值問題,.,P102,.,P103,.,下求,.,.,.,.,解,由公式得,例,.,（見P102）,.,包絡(luò)和奇解,在一階微分方程里，奇解=包絡(luò)一般的曲線族不一定有包絡(luò)（同心圓族）C-判別曲線有時(shí)除去包絡(luò)外，還有其他曲線（如(y-c)2-(2/3)(x-c)3=0,P105例2）P-判別曲線是否是方程的奇解，尚需進(jìn)一步檢驗(yàn)(如P108例4，該方程沒有奇解),.,第四章高階微分方程,重點(diǎn)線性微分方程的基本理論常系數(shù)方程的解法某些高階微分方程的降階方法二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法,.,第七周,10月13日星期二,.,4.1線性微分方程的一般理論,.,4.1.1引言n階非齊次（齊次）線性微分方程,定義1,稱為n階齊次微分方程,.,例,.,解的存在唯一性定理（P121）,定理1,.,4.1.2齊線性方程的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),定理2,疊加原理,.,證明:,故有,.,解:,.,問題在什么條件下，能夠成為n階齊次線性微分方程的通解？它將具有什么特性？函數(shù)線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),.,線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),.,例,.,定義2,朗斯基(Wronsky)行列式,.,函數(shù)的線性相關(guān)性與Wronsky行列式的關(guān)系,定理3,證明:,使得,.,由線性代數(shù)理論知,要使方程組存在非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,.,注,定理3的逆不成立.,如函數(shù),事實(shí)上,若有恒等式,則,.,推論,定理4,證明:,“反證”,（定理3的逆否命題）,.,現(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù),由定理2知,又因?yàn)?.,由解的唯一性定理知,.,由定理4易得下面結(jié)論,推論1,推論2,.,總結(jié),n階齊次線性微分方程（4.2）的n個(gè)解構(gòu)成的朗斯基行列式或者恒等于零，或者在方程的系數(shù)為連續(xù)的區(qū)間內(nèi)處處不等于零注意恒等式,.,由定理1知,方程(4.2)滿足初始條件,又因?yàn)?由此得定理5,.,齊線性方程線性無(wú)關(guān)解的存在性,定理5,通解的結(jié)構(gòu),定理6,.,考慮方程組,以這組常數(shù)構(gòu)造,.,由解的唯一性定理得:,即,推論,基本解組:,注:,基本解組不是唯一的.,.,例1,因而有,證明:,由于,.,微分上述行列式,得,這時(shí)行列式最后一行的元素是,.,則,.,即,從而,所以,故,這是著名的劉維爾公式,.,解:,由劉維爾公式得,不講,.,由此可得,則,就是二階方程的另一解,又因?yàn)?從而通解為,.,解:,由上面導(dǎo)出的二階方程的通解公式可得,不講,.,4.1.3非齊次線性方程與常數(shù)變易法,非齊線性微分方程,對(duì)應(yīng)齊線性微分方程,.,齊線性微分方程解的性質(zhì),性質(zhì)1,證明:,因?yàn)?所以,由微分性質(zhì)兩式相加得,.,性質(zhì)2,證明:,則,故,.,通解的結(jié)構(gòu),定理7,證明:,這些任常數(shù)是相互獨(dú)立的,(4.14)為方程(4.1)的解,由定理6的證明過程易知,由性質(zhì)1知,故(4.14)為方程(4.1)的通解.,.,則由性質(zhì)2知,由定理6知,故,即方程(4.1)的任一解都可由(4.14)表出,(4.14)包括了(4.1)的所有解.,.,一階線性非齊次微分方程的解法-常數(shù)變易法,.,常數(shù)變易法,則,為方程(4.2)的通解.,此時(shí)(4.15)變?yōu)?將它代入(4.1),.,在理論上,這些限制條件可以任意給出,但為了運(yùn)算方便,我們按下面方法來(lái)給出這n-1個(gè)條件,令,得,.,和表達(dá)式,繼續(xù)上面做法,直到獲得第n-1個(gè)條件,和表達(dá)式,.,.,因而方程組的解可唯一確定,設(shè)由上面方程求得,積分得,.,.,例3,解:,利用常數(shù)變易法,令,解得,因此,故通解為,.,例4,解:,對(duì)應(yīng)的齊線性方程為:,將該齊次方程改寫成:,積分得:,所以,故方程有基本解組:,將原方程改寫成:,.,解得,因此,故原方程的通解為,.,P131,1,2,3(1)(2),.,10月15日周四,.,注,定理3的逆不成立.,如函數(shù),事實(shí)上,若有恒等式,則,.,P124：但是，如果是齊次方程（4.2）的解，那么我們有下面的定理.,.,定理4,證法:,“反證”,.,現(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù),由定理2知,又因?yàn)?.,由解的唯一性定理知,.,與P123的反例并不矛盾！,.,4.2常系數(shù)線性方程的解法,常系數(shù)齊次線性微分方程的求解能夠徹底解決只須解一個(gè)代數(shù)方程而不必通過積分計(jì)算某些特殊非齊次線性微分方程，可通過代數(shù)運(yùn)算和微分運(yùn)算求通解這一節(jié)的內(nèi)容與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)理論、電磁振蕩理論有緊密的關(guān)系,.,4.1.1復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解,1復(fù)值函數(shù),復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)求導(dǎo)法則相同,.,2復(fù)指數(shù)函數(shù),歐拉公式:,性質(zhì):,定義,.,3復(fù)值解,(1)定義,.,(2)定理8,.,(3)定理9,若方程,和,的解.,.,4.2.2常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程,1常系數(shù)齊線性方程的求解方法(Euler待定系數(shù)法),考慮方程,稱(4.19)為n階常系數(shù)齊線性方程.,我們知道,一階常系數(shù)齊線性方程,有解,.,受此啟發(fā),對(duì)(4.19)償試求指數(shù)函數(shù)形式的解,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)稱為方程(4.19)的特征方程,它的根為方程(4.19)的特征根.,.,(1)特征根是單根的情形,由于,.,故解組(4.22)線性無(wú)關(guān).,.,則因方程的系數(shù)實(shí)常數(shù),復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn),相應(yīng)方程(4.19)有兩個(gè)復(fù)值解,.,由定理8知,它的實(shí)部和虛部也是方程的解,這樣,對(duì)方程的一對(duì)共軛復(fù)根:,由此求得(4.19)的兩個(gè)實(shí)值解為,(2)特征根是重根的情形,.,