《變化率與導(dǎo)數(shù)》優(yōu)質(zhì)課ppt課件

變化率與導(dǎo)數(shù) 問題1氣球膨脹率 在吹氣球的過程中 可發(fā)現(xiàn) 隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加 氣球的半徑增加得越來越慢 從數(shù)學(xué)的角度 如何描述這種現(xiàn)象呢 結(jié)論 隨著氣球體積逐漸變大 它的平均膨脹率逐漸變小 一 平均變化率 當空氣容量從V1增加到V2時 氣球的平均膨脹率是多少 問題2高臺跳水 在高臺跳水運動中 運動員相對于水面的高度h 單位 m 與起跳后的時間t 單位 s 存在函數(shù)關(guān)系 如果用運動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運動狀態(tài) 那么 在0 t 0 5這段時間里 在1 t 2這段時間里 思考 求t1到t2時的平均速度 平均變化率 令 x x2 x1 f f x2 f x1 則 容易看出點B C之間的曲線較點A B之間的曲線更加 陡峭 如何量化陡峭程度呢 該比值近似量化B C之間這一段曲線的陡峭程度 稱該比值為曲線在B C之間這一段平均變化率 B A C 說明 1 平均變化率就是 兩點 x1 f x1 x2 f x2 連線的斜率 以直代曲思想 數(shù)形結(jié)合思想 平均變化率 一般的 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為 其幾何意義是表示曲線上兩點連線 即曲線割線 的斜率 結(jié)論 例1 已知函數(shù)f x 2x 1 g x 2x 分別計算在區(qū)間 3 1 0 5 上f x 及g x 的平均變化率 例2 已知函數(shù)f x x2 分別計算f x 在下列區(qū)間上的平均變化率 1 1 3 2 1 2 3 1 1 1 4 1 1 001 4 3 2 1 2 001 5 0 9 1 6 0 99 1 7 0 999 1 變題 1 99 1 9 1 999 思考 為何趨近于2呢 2的幾何意義是什么 數(shù)學(xué)應(yīng)用 二 導(dǎo)數(shù)的概念 在高臺跳水運動中 平均速度不能反映他在這段時間里運動狀態(tài) 需要用瞬時速度描述運動狀態(tài) 我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度 又如何求瞬時速度呢 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢 如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢 求 從2s到 2 t s這段時間內(nèi)平均速度 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢 如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢 當 t趨近于0時 即無論t從小于2的一邊 還是從大于2的一邊趨近于2時 平均速度都趨近于一個確定的值 13 1 從物理的角度看 時間間隔 t 無限變小時 平均速度就無限趨近于t 2時的瞬時速度 因此 運動員在t 2時的瞬時速度是 13 1 表示 當t 2 t趨近于0時 平均速度趨近于確定值 13 1 從2s到 2 t s這段時間內(nèi)平均速度 探究 1 運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示 2 函數(shù)f x 在x x0處的瞬時變化率怎樣表示 定義 函數(shù)y f x 在x x0處的瞬時變化率是 稱為函數(shù)y f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù) 記作 或 即 求導(dǎo)數(shù)一般方法 一差 二比 三極限 題1將原油精煉為汽油 柴油 塑膠等各種不同產(chǎn)品 需要對原油進行冷卻和加熱 如果第xh時 原油的溫度 單位 為f x x2 7x 15 0 x 8 計算第2h和第6h 原油溫度的瞬時變化率 并說明它們的意義 解 在第2h和第6h時 原油溫度的瞬時變化率就是 和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 所以 同理可得 在第2h和第6h時 原油溫度的瞬時變化率分別為 3和5 它說明在第2h附近 原油溫度大約以3 h的速率下降 在第6h附近 原油溫度大約以5 h的速率上升 例1 1 求函數(shù)y 3x2在x 1處的導(dǎo)數(shù) 2 求函數(shù)f x x2 x在x 1附近的平均變化率 并求出在該點處的導(dǎo)數(shù) 3 質(zhì)點運動規(guī)律為s t2 3 求質(zhì)點在t 3的瞬時速度 典例分析 1 曲線的切線 如圖 曲線C是函數(shù)y f x 的圖象 P x0 y0 是曲線C上的任意一點 Q x0 x y0 y 為P鄰近一點 PQ為C的割線 PM x軸 QM y軸 為PQ的傾斜角 P Q 割線 切線 T 請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時 割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況 我們發(fā)現(xiàn) 當點Q沿著曲線無限接近點P即 x 0時 割線PQ有一個極限位置PT 則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線 設(shè)切線的傾斜角為 那么當 x 0時 割線PQ的斜率 稱為曲線在點P處的切線的斜率 即 這個概念 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法 切線斜率的本質(zhì) 函數(shù)平均變化率的極限 注意 曲線在某點處的切線 1 與該點的位置有關(guān) 2 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解切線 因此 切線方程為y 2 2 x 1 即y 2x 求曲線在某點處的切線方程的基本步驟 1 先利用切線斜率的定義求出切線的斜率 2 利用點斜式求切線方程 例2 已知曲線上一點P 1 2 用斜率的定義求過點P的切線的傾斜角和切線方程 故過點P的切線方程為 y 2 1 x 1 即y x 1 練習(xí) 求曲線上一點P 1 1 處的切線方程 答案 y 3x 4 即點P處的切線的斜率等于4 2 點P處切線方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 練習(xí) 如圖已知曲線上一點 求 1 點處的切線斜率 2 點處的切線方程 小結(jié)