高三數(shù)學(xué)一輪第九章《立體幾何》94精品練習(xí)

第9章 第4節(jié)一、選擇題1(文)(09福建)設(shè)m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個(gè)充分而不必要條件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2答案B解析如圖(1)，l，ml，l1l，滿足m且l1，故排除A；如圖(2)，l，mnl，滿足m，n，故排除C.在圖(2)中，mnll2滿足m，nl2，故排除D，故選B.點(diǎn)評(píng)l1與l2相交，ml1，nl2，m與n相交，由面面平行的判定定理可知；但當(dāng)m、n，l1，l2，l1與l2相交，時(shí)，如圖(3)，得不出ml1且nl2.(理)設(shè)a，b是兩條直線，是兩個(gè)平面，則ab的一個(gè)充分條件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， Da，b，答案C解析對(duì)于A，如圖正方體、分別為平面ABCD與平面ADD1A1，a、b分別為直線B1B和C1C.a與b也可能平行，對(duì)于B，a，a，又b，ab，對(duì)于D，a與b也可能平行，故選C.2(2010鄭州檢測(cè))已知，是三個(gè)不同的平面，命題“，且”是真命題如果把，中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有()A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)答案C解析依題意得，命題“ab，且ab”是真命題(由“若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”可知)；命題“a，且acc”是假命題(直線c可能位于平面內(nèi)，此時(shí)結(jié)論不成立)；命題“b，且cbc”是真命題(因?yàn)閎，因此在平面內(nèi)必存在直線b1b；又c，因此cb1，cb)綜上所述，其中真命題共有2個(gè)，選C.3(2010東北三校模擬)正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別為A1B1，CD，B1C1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()AAM與PC是異面直線BAMPCCAM平面BC1ND四邊形AMC1N為正方形答案C解析連接MP，AC，A1C1，AM，C1N，由題易知MPA1C1AC，且MPAC，所以AM與PC是相交直線，假設(shè)AMPC，BC平面ABB1A1，BCAM，AM平面BCC1B1，又AB平面BCC1B1矛盾，AM與PC不垂直因?yàn)锳MC1N，C1N平面BC1N，所以AM平面BC1N.又易得四邊形AMC1N為菱形而不是正方形，故選C.4(文)對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面，使得()Aa，b Ba，bCa，b Da，b答案B解析a、b異面時(shí)，A錯(cuò)，C錯(cuò)；若D正確，則必有ab，故排除A、C、D，選B.(理)設(shè)a、b為兩條直線，、為兩個(gè)平面下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A若a、b與所成的角相等，則abB若a，b，則abC若a，b，ab，則D若a，b，則ab答案D解析若直線a、b與成等角，則a、b平行、相交或異面；對(duì)選項(xiàng)B，如a，b，則a、b平行、相交或異面；對(duì)選項(xiàng)C，若a，b，ab，則、平行或相交；對(duì)選項(xiàng)D，由a或a，無(wú)論哪種情形，由b都有ba.，故選D.5一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：ABEFAB與CM成60EF與MN是異面直線MNCD其中正確的是()ABCD答案D解析本題考查學(xué)生的空間想象能力，將其還原成正方體如圖所示，ABEF，EF與MN是異面直線，ABCM，MNCD.只有正確，故選D.6(文)(2010山東濰坊)已知m、n是兩條不同的直線，、是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A若，則B若mn，m，n，則C若mn，m，則nD若mn，m，n，則答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，兩平面、同垂直于平面，平面與平面可能平行，也可能相交；對(duì)于選項(xiàng)B，平面、可能平行，也可能相交；對(duì)于選項(xiàng)C，直線n可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)D，mn，m，n，又n，故選D.(理)(2010曲師大附中)已知兩個(gè)不同的平面，和兩條不重合的直線a，b，則下列四個(gè)命題中為真命題的是()A若ab，b，則aB若，b，ab，則aC若a，b，a，b，則D若，a，a，a，則a答案D解析選項(xiàng)A中，直線a可能在平面內(nèi)；選項(xiàng)B中，直線a可能在平面內(nèi)；選項(xiàng)C中，直線a，b為相交直線時(shí)命題才成立7(2010江蘇南通)在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q分別是棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B、P、Q的截面是()A鄰邊不等的平行四邊形B菱形但不是正方形C鄰邊不等的矩形D正方形答案B解析設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，連結(jié)D1P，D1Q，則易得PBPQD1PD1Q，取D1D的中點(diǎn)M，則D1P綊AM綊BQ，故截面為四邊形PBQD1，它是一個(gè)菱形，又PQAC，PBQ不是直角，故選B.8(文)(2010山東日照、聊城模考)已知直線l、m，平面、，且l，m，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若lm，則；若，則lm；若lm，則；其中真命題是()A B C D答案C解析點(diǎn)評(píng)如圖，m，則lm，故(2)假；在上述圖形中，當(dāng)時(shí)，知假(理)(2010福建福州市)對(duì)于平面和共面的直線m，n，下列命題是真命題的是()A若m，n與所成的角相等，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，n，則mn答案D解析正三棱錐PABC的側(cè)棱PA、PB與底面成角相等，但PA與PB相交應(yīng)排除A；若m，n，則m與n平行、相交或異面，應(yīng)排除B；若m，mn，則n或n，應(yīng)排除C.m、n共面，設(shè)經(jīng)過(guò)m、n的平面為，m，m，n，nm，故D正確9(文)(2010北京順義一中月考)已知l是直線，、是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是()A若l，l，則B若，l，則lC若l，l，則D若l，則l答案C解析如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，取平面ABD1A1為，平面ABCD為，B1C1為l，則排除A、B；又取平面ADD1A1為，平面BCC1B1為，B1C1為l，排除D.(理)(2010廣東羅湖區(qū)調(diào)研)已知相異直線a，b和不重合平面，則ab的一個(gè)充分條件是()Aa，b Ba，b，Ca，b， D，a，b答案C解析a，b時(shí)，a與b可相交可異面也可平行，故A錯(cuò)；a，b，時(shí)，a與b可異面，故B錯(cuò)；由，a得，a或a，又b，此時(shí)a與b可平行也可異面，排除D.10(2010日照實(shí)驗(yàn)高中)如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng)，且始終保持MN平面DCC1D1，設(shè)BNx，MNy，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()答案C解析過(guò)M作MEAD于E，連接EN，則平面MEN平面DCC1D1，所以BNAEx(0x1)，ME2x，MN2ME2EN2，則y24x21，y24x21(0x0)，圖象應(yīng)是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一部分故選C.二、填空題11(文)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件_時(shí)，有MN平面B1BDD1.答案M線段FH解析因?yàn)镠NBD，HFDD1，所以平面NHF平面B1BDD1，又平面NHF平面EFGHFH.故線段FH上任意點(diǎn)M與N相連，有MN平面B1BDD1，故填M線段FH.(理)(2010南充市模擬)已知兩異面直線a，b所成的角為，直線l分別與a，b所成的角都是，則的取值范圍是_答案，12在四面體ABCD中，M、N分別是ACD、BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是_答案面ABC和面ABD解析連結(jié)AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，M為ACD的重心，E為CD的中點(diǎn)，又N為BCD的重心，B、N、E三點(diǎn)共線，由得MNAB，因此MN平面ABC，MN平面ABD.13如圖是一正方體的表面展開(kāi)圖，B、N、Q都是所在棱的中點(diǎn)，則在原正方體中，AB與CD相交；MNPQ；ABPE；MN與CD異面；MN平面PQC.其中真命題的序號(hào)是_答案解析將正方體還原后如圖，則N與B重合，A與C重合，E與D重合，、為真命題14如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是棱AD上一點(diǎn)，且AP，過(guò)B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ_.答案a解析B1D1平面ABCD，平面B1D1P平面ABCDPQ，B1D1PQ，又B1D1BD，BDPQ，設(shè)PQABM，ABCD，APMDPQ，2，即PQ2PM，又APMADP，PMBD，又BDa，PQa.三、解答題15(文)(2010南京調(diào)研)如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BEEC，AEBE，M為CE上一點(diǎn)，且BM平面ACE.(1)求證：AEBC；(2)如果點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN平面ADE.解析(1)因?yàn)锽M平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE.因?yàn)锳EBE，且BEBMB，BE、BM平面EBC，所以AE平面EBC.因?yàn)锽C平面EBC，所以AEBC.(2)解法1：取DE中點(diǎn)H，連接MH、AH.因?yàn)锽M平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因?yàn)锽EBC，所以M為CE的中點(diǎn)所以MH為EDC的中位線，所以MH綊DC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC綊AB.故MH綊AB.因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以MH綊AN.所以四邊形ANMH為平行四邊形，所以MNAH.因?yàn)镸N平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE.解法2：取EB的中點(diǎn)F，連接MF、NF.因?yàn)锽M平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC.因?yàn)锽EBC，所以M為CE的中點(diǎn)，所以MFBC.因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以NFAE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以ADBC.所以MFAD.因?yàn)镹F、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NF平面ADE，MF平面ADE.因?yàn)镸FNFF，MF、NF平面MNF，所以平面MNF平面ADE.因?yàn)镸N平面MNF，所以MN平面ADE.(理)(2010廈門(mén)市質(zhì)檢)如圖所示的幾何體中，ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2，CD1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)(1)若點(diǎn)G在AB上，試確定G點(diǎn)位置，使FG平面ADE，并加以證明；(2)在(1)的條件下，求三棱錐DABF的體積解析(1)當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，GF平面ADE.G是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，GFAE，又GF平面ADE，AE平面ADE，GF平面ADE.(2)連接CG，由(1)可知：GFAE，且GFAE.又AE平面ABC，CD平面ABC，CDAE，又CDAE，GFCD，GFCD，四邊形CDFG為平行四邊形，DFCG，且DFCG.又AE平面ABC，CG平面ABC，AECG.ABC為正三角形，G為AB的中點(diǎn)，CGAB，又ABAEA，CG平面ABE.又CGDF，且CGDF，DF為三棱錐DABF的高，且DF.又AE平面ABC，AB平面ABC，AEAB.在RtABE中，ABAE2，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，SABFSABE221.VDABFSABFDF1，三棱錐DABF的體積為.16(文)(2010安徽合肥質(zhì)檢)如圖，PO平面ABCD，點(diǎn)O在AB上，EAPO，四邊形ABCD為直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD.(1)求證：BC平面ABPE；(2)直線PE上是否存在點(diǎn)M，使DM平面PBC，若存在，求出點(diǎn)M；若不存在，說(shuō)明理由解析(1)PO平面ABCD，BC平面ABCD，BCPO，又BCAB，ABPOO，AB平面ABP，PO平面ABP，BC平面ABP，又EAPO，AO平面ABP，EA平面ABP，BC平面ABPE.(2)點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)，即點(diǎn)M與點(diǎn)E重合取PO的中點(diǎn)N，連結(jié)EN并延長(zhǎng)交PB于F，EA1，PO2，NO1，又EA與PO都與平面ABCD垂直，EFAB，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，NFOB1，EF2，又CD2，EFABCD，四邊形DCFE為平行四邊形，DECF，CF平面PBC，DE平面PBC，DE平面PBC.當(dāng)M與E重合時(shí)即可(理)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面正方形的中心，過(guò)A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1及其三視圖(1)求證：D1O平面A1BC1；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)A1與直線DC1垂直的平面A1PQ，與線段BC1交于點(diǎn)P，與線段CC1交于點(diǎn)Q？若存在，求出線段PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析要證D1O平面A1BC1，O為DB的中點(diǎn)，取A1C1中點(diǎn)E，只須證D1E綊OB，或利用長(zhǎng)方體為正四棱柱的特性，證明平面ACD1平面A1C1B，假設(shè)存在平面A1PQDC1，利用正四棱柱中，BC平面DCC1D1，故有BCDC1，從而平面A1PQ與平面BCC1的交線PQDC1，故只須在面DCC1D1的邊CC1上尋找點(diǎn)Q，使D1QDC1即可解析(1)連接AC，AD1，D1C，易知點(diǎn)O在AC上根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得四邊形ABC1D1、四邊形A1D1CB均為平行四邊形，AD1BC1，A1BD1C，又AD1平面A1C1B，BC1平面A1C1B，AD1平面A1C1B，同理D1C平面A1BC1，又D1CAD1D1，根據(jù)面面平行的判定定理知平面ACD1平面A1BC1.D1O平面ACD1，D1O平面A1BC1.(2)假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A1與直線DC1垂直的平面A1PQ，與線段BC1交于點(diǎn)P，與線段CC1交于點(diǎn)Q.連接C1D，過(guò)點(diǎn)D1作C1D的垂線交C1C于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作PQBC交BC1于點(diǎn)P，連接A1P，A1Q.C1DD1Q，C1DA1D1，D1QA1D1D1，C1D平面A1D1Q.A1Q平面A1D1Q，C1DA1Q.PQBCA1D1，C1DPQ，A1QPQQ，C1D平面A1PQ.存在過(guò)點(diǎn)A1與直線DC1垂直的平面A1PQ，與線段BC1交于點(diǎn)P，與線段CC1交于點(diǎn)Q.在矩形CDD1C1中，RtD1C1QRtC1CD，結(jié)合三視圖得，C1Q1.PQBC，PQBC.17(文)(2010東北師大附中)如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C；(3)求三棱錐B1EFC的體積解析(1)證明：連結(jié)BD1，在DD1B中，E、F分別為D1D，DB的中點(diǎn)，則EFD1B，又EF平面ABC1D1，D1B平面ABC1D1，