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3.4預(yù)習(xí)課本P97100,思考并完成以下問題(1)基本不等式的形式是什么?需具備哪些條件?(2)在利用基本不等式求最值時,應(yīng)注意哪些方面?(3)一般按照怎樣的思路來求解實(shí)際問題中的最值問題?1重要不等式當(dāng)a,b是任意實(shí)數(shù)時,有a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,等號成立2基本不等式(1)有關(guān)概念:當(dāng)a,b均為正數(shù)時,把叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),把叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)(2)不等式:當(dāng)a,b是任意正實(shí)數(shù)時,a,b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù),即,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,等號成立(3)變形:ab2,ab2(其中a0,b0,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)點(diǎn)睛基本不等式成立的條件:a0且b0;其中等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號,即若ab時,則,即只能有.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)對任意a,bR,a2b22ab,ab2均成立()(2)若a0,則a24()(3)若a0,b0,則ab2()解析:(1)錯誤任意a,bR,有a2b22ab成立,當(dāng)a,b都為正數(shù)時,不等式ab2成立(2)錯誤只有當(dāng)a0時,根據(jù)基本不等式,才有不等式a24成立(3)正確因?yàn)椋詀b2.答案:(1)(2)(3)2若ab0,則下列不等式成立的是()AabBabCabDab解析:選Bab,因此B項(xiàng)正確3若x0,則x2有()A最小值6 B最小值8C最大值8 D最大值3解析:選B由x2228(當(dāng)且僅當(dāng)x,即x3時,取等號),故選B.4利用基本不等式求最值,下列運(yùn)用正確的是()Ay|x|2240Bysin x24(x為銳角)C已知ab0,22Dy3x24解析:選D在A中,4不是常數(shù),故A選項(xiàng)錯誤;在B中,sin x時無解,y取不到最小值4,故B選項(xiàng)錯誤;在C中,未必為正,故C選項(xiàng)錯誤;在D中,3x,均為正,且3x時,y取最小值4,故D選項(xiàng)正確利用基本不等式比較大小典例(1)已知ma(a2),n22b2(b0),則m,n之間的大小關(guān)系是()AmnBmb1,P,Q(lg alg b),Rlg ,則P,Q,R的大小關(guān)系是_解析(1)因?yàn)閍2,所以a20,又因?yàn)閙a(a2)2,所以m224,由b0,得b20,所以2b22,n22b2n.(2)因?yàn)閍b1,所以lg alg b0,所以Q(lg alg b)P;Q(lg alg b)lg lg lg lg R.所以PQR.答案(1)A(2)PQ0,b0.活學(xué)活用已知a,b,c都是非負(fù)實(shí)數(shù),試比較與(abc)的大小解:因?yàn)閍2b22ab,所以2(a2b2)(ab)2,所以 (ab),同理 (bc), (ca),所以 (ab)(bc)(ca),即(abc),當(dāng)且僅當(dāng)abc時,等號成立.利用基本不等式證明不等式典例已知a,b,c均為正實(shí)數(shù), 求證:3.證明a,b,c均為正實(shí)數(shù),2(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時等號成立),2(當(dāng)且僅當(dāng)a3c時等號成立),2(當(dāng)且僅當(dāng)2b3c時等號成立),將上述三式相加得6(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立),3(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立),即3(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立)利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略:從已證不等式和問題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后轉(zhuǎn)化為所求問題,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”(2)注意事項(xiàng):多次使用基本不等式時,要注意等號能否成立;累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時注意使用;對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合,形成基本不等式模型再使用活學(xué)活用已知a,b,c為正實(shí)數(shù), 且abc1,求證:8.證明:因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),且abc1,所以1.同理,1,1.上述三個不等式兩邊均為正,相乘得8,當(dāng)且僅當(dāng)abc時,取等號.利用基本不等式求最值典例(1)已知lg alg b2,求ab的最小值(2)已知x0,y0,且2x3y6,求xy的最大值(3)已知x0,y0,1,求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2,即ab100,且a0,b0,因此由基本不等式可得ab22 20,當(dāng)且僅當(dāng)ab10時,ab取到最小值20.(2)x0,y0,2x3y6,xy(2x3y)22,當(dāng)且僅當(dāng)2x3y,即x,y1時,xy取到最大值.(3)1,xy(xy)1910,又x0,y0,1021016,當(dāng)且僅當(dāng),即y3x時,等號成立由得即當(dāng)x4,y12時,xy取得最小值16.(1)應(yīng)用基本不等式需注意三個條件:即一正、二定、三相等在具體的題目中,“正數(shù)”條件往往易從題設(shè)中獲得解決,“相等”條件也易驗(yàn)證確定,而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計(jì)為一個難點(diǎn),它需要一定的靈活性和變形技巧因此,“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性,這是解題成敗的關(guān)鍵(2)常用構(gòu)造定值條件的技巧變換:加項(xiàng)變換;拆項(xiàng)變換;統(tǒng)一變元;平方后利用基本不等式(3)對于條件最值要注意“1”的代換技巧的運(yùn)用活學(xué)活用1已知a0,b0,若不等式2ab9m恒成立,則m的最大值為()A8 B7C6 D5解析:選C由已知,可得61,2ab6(2ab)66(54)54,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,9m54,即m6,故選C.2設(shè)ab0,則a2的最小值是()A1 B2C3 D4解析:選D因?yàn)閍b0,所以ab0,所以a2a(ab)ab224,當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)且ab,即a,b時等號成立.利用基本不等式解應(yīng)用題典例某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元,求:(1)倉庫面積S的最大允許值是多少?(2)為使S達(dá)到最大,而實(shí)際投資又不超過預(yù)算,那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長?解(1)設(shè)鐵柵長為x米,一堵磚墻長為y米,而頂部面積為Sxy,依題意得,40x245y20xy3 200,由基本不等式得3 200220xy12020xy,12020S.所以S61600,即(10)(16)0,故10,從而S100,所以S的最大允許值是100平方米,(2)取得最大值的條件是40x90y且xy100,求得x15,即鐵柵的長是15米求實(shí)際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意,設(shè)出變量,理清思路,列出函數(shù)關(guān)系式(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題(3)在定義域內(nèi),求函數(shù)的最大值或最小值時,一般先考慮基本不等式,當(dāng)基本不等式求最值的條件不具備時,再考慮函數(shù)的單調(diào)性(4)正確寫出答案活學(xué)活用某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關(guān)系為yx218x25(xN*),求當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時,年平均利潤最大,最大值是多少解:每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18,而x0,故1828,當(dāng)且僅當(dāng)x5時等號成立,此時年平均利潤最大,最大值為8萬元故當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)5年時,年平均利潤最大,最大值為8萬元層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)x0且x1時,lg x2B當(dāng)x0時,2C當(dāng)x2時,x的最小值為2D當(dāng)0x2時,x無最大值解析:選BA中,當(dāng)0x1時,lg x2xC.1 Dx2解析:選C對于A,當(dāng)x0時,無意義,故A不恒成立;對于B,當(dāng)x1時,x212x,故B不成立;對于D,當(dāng)x0時,不成立對于C,x211,1成立故選C.3設(shè)a,b為正數(shù),且ab4,則下列各式中正確的一個是()A.1 B.1C. B.2,故.5若x0,y0,且1,則xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64解析:選D由題意xyxy2y8x28,8,即xy有最小值64,等號成立的條件是x4,y16.6若a0,b0,且,則a3b3的最小值為_解析:a0,b0,2,即ab2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號,a3b3224,當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號,則a3b3的最小值為4.答案:47已知正數(shù)x,y滿足x22xy30,則2xy的最小值是_解析:由題意得,y,2xy2x3,當(dāng)且僅當(dāng)xy1時,等號成立答案:38若對任意x0,a恒成立,則a的取值范圍是_解析:因?yàn)閤0,所以x2.當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號,所以有,即的最大值為,故a.答案:9(1)已知x3,求f(x)x的最大值;(2)已知x,y是正實(shí)數(shù),且xy4,求的最小值解:(1)x3,x30,b0,c0,所以2,2,2,所以6,當(dāng)且僅當(dāng),即abc時,等號成立所以6.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1a,bR,則a2b2與2|ab|的大小關(guān)系是()Aa2b22|ab|Ba2b22|ab|Ca2b22|ab| Da2b22|ab|解析:選Aa2b22|ab|(|a|b|)20,a2b22|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|時,等號成立)2已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件abc且abc0,abc0,則的值()A一定是正數(shù) B一定是負(fù)數(shù)C可能是0 D正負(fù)不確定解析:選B因?yàn)閍bc且abc0,abc0,所以a0,b0,c0,且a(bc),所以,因?yàn)閎0,c0,所以bc2,所以,又2,所以20,y0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值為()A0 B1C2 D4解析:選D由題意,知所以2224,當(dāng)且僅當(dāng)xy時,等號成立4若實(shí)數(shù)x,y滿足xy0,則的最大值為()A2 B2C42 D42解析:選D,設(shè)t0,原式11.2t2,最大值為142.5若兩個正實(shí)數(shù)x,y滿足1,且不等式xm23m有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:因?yàn)椴坏仁絰m23m有解,所以min0,y0,且1,所以x2224,當(dāng)且僅當(dāng),即x2,y8時,等號是成立的,所以min4,所以m23m4,即(m1)(m4)0,解得m4.答案:(,1)(4,)6若正數(shù)a,b滿足ab1,則的最小值為_解析:由ab1,知,又ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立),9ab10,.答案:7某廠家擬在2016年舉行某產(chǎn)品的促銷活動,經(jīng)調(diào)查,該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x(單位:萬件)與年促銷費(fèi)用m(m0)(單位:萬元)滿足x3(k為常數(shù)),如果不舉行促銷活動,該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用)(1)將2016年該產(chǎn)品的利潤y(單位:萬元)表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù);(2)該廠家2016年的促銷費(fèi)用為多少萬元時,廠家的利潤最大?解:(1
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