浙江專版2018年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.4基本不等式學(xué)案新人教A版.docx

3.4預(yù)習(xí)課本P97100，思考并完成以下問題(1)基本不等式的形式是什么？需具備哪些條件？(2)在利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意哪些方面？(3)一般按照怎樣的思路來求解實(shí)際問題中的最值問題？1重要不等式當(dāng)a，b是任意實(shí)數(shù)時，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立2基本不等式(1)有關(guān)概念：當(dāng)a，b均為正數(shù)時，把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)(2)不等式：當(dāng)a，b是任意正實(shí)數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(3)變形：ab2，ab2(其中a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)點(diǎn)睛基本不等式成立的條件：a0且b0；其中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，即若ab時，則，即只能有.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，則a24()(3)若a0，b0，則ab2()解析：(1)錯誤任意a，bR，有a2b22ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時，不等式ab2成立(2)錯誤只有當(dāng)a0時，根據(jù)基本不等式，才有不等式a24成立(3)正確因?yàn)椋詀b2.答案：(1)(2)(3)2若ab0，則下列不等式成立的是()AabBabCabDab解析：選Bab，因此B項(xiàng)正確3若x0，則x2有()A最小值6 B最小值8C最大值8 D最大值3解析：選B由x2228(當(dāng)且僅當(dāng)x，即x3時，取等號)，故選B.4利用基本不等式求最值，下列運(yùn)用正確的是()Ay|x|2240Bysin x24(x為銳角)C已知ab0，22Dy3x24解析：選D在A中，4不是常數(shù)，故A選項(xiàng)錯誤；在B中，sin x時無解，y取不到最小值4，故B選項(xiàng)錯誤；在C中，未必為正，故C選項(xiàng)錯誤；在D中，3x，均為正，且3x時，y取最小值4，故D選項(xiàng)正確利用基本不等式比較大小典例(1)已知ma(a2)，n22b2(b0)，則m，n之間的大小關(guān)系是()AmnBmb1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，則P，Q，R的大小關(guān)系是_解析(1)因?yàn)閍2，所以a20，又因?yàn)閙a(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因?yàn)閍b1，所以lg alg b0，所以Q(lg alg b)P；Q(lg alg b)lg lg lg lg R.所以PQR.答案(1)A(2)PQ0，b0.活學(xué)活用已知a，b，c都是非負(fù)實(shí)數(shù)，試比較與(abc)的大小解：因?yàn)閍2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以 (ab)，同理 (bc), (ca)，所以 (ab)(bc)(ca)，即(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立.利用基本不等式證明不等式典例已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)， 求證：3.證明a，b，c均為正實(shí)數(shù)，2(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時等號成立)，2(當(dāng)且僅當(dāng)a3c時等號成立)，2(當(dāng)且僅當(dāng)2b3c時等號成立)，將上述三式相加得6(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立)，3(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立)，即3(當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c時等號成立)利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事項(xiàng)：多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型再使用活學(xué)活用已知a，b，c為正實(shí)數(shù)， 且abc1，求證：8.證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三個不等式兩邊均為正，相乘得8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取等號.利用基本不等式求最值典例(1)已知lg alg b2，求ab的最小值(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，1，求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0，因此由基本不等式可得ab22 20，當(dāng)且僅當(dāng)ab10時，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，即x，y1時，xy取到最大值.(3)1，xy(xy)1910，又x0，y0，1021016，當(dāng)且僅當(dāng)，即y3x時，等號成立由得即當(dāng)x4，y12時，xy取得最小值16.(1)應(yīng)用基本不等式需注意三個條件：即一正、二定、三相等在具體的題目中，“正數(shù)”條件往往易從題設(shè)中獲得解決，“相等”條件也易驗(yàn)證確定，而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計(jì)為一個難點(diǎn)，它需要一定的靈活性和變形技巧因此，“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性，這是解題成敗的關(guān)鍵(2)常用構(gòu)造定值條件的技巧變換：加項(xiàng)變換；拆項(xiàng)變換；統(tǒng)一變元；平方后利用基本不等式(3)對于條件最值要注意“1”的代換技巧的運(yùn)用活學(xué)活用1已知a0，b0，若不等式2ab9m恒成立，則m的最大值為()A8 B7C6 D5解析：選C由已知，可得61，2ab6(2ab)66(54)54，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，9m54，即m6，故選C.2設(shè)ab0，則a2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：選D因?yàn)閍b0，所以ab0，所以a2a(ab)ab224，當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)且ab，即a，b時等號成立.利用基本不等式解應(yīng)用題典例某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，求：(1)倉庫面積S的最大允許值是多少？(2)為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？解(1)設(shè)鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，而頂部面積為Sxy，依題意得，40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy，12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故10，從而S100，所以S的最大允許值是100平方米，(2)取得最大值的條件是40x90y且xy100，求得x15，即鐵柵的長是15米求實(shí)際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式，當(dāng)基本不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調(diào)性(4)正確寫出答案活學(xué)活用某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，求當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時，年平均利潤最大，最大值是多少解：每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當(dāng)且僅當(dāng)x5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元故當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)5年時，年平均利潤最大，最大值為8萬元層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)x0且x1時，lg x2B當(dāng)x0時，2C當(dāng)x2時，x的最小值為2D當(dāng)0x2時，x無最大值解析：選BA中，當(dāng)0x1時，lg x2xC.1 Dx2解析：選C對于A，當(dāng)x0時，無意義，故A不恒成立；對于B，當(dāng)x1時，x212x，故B不成立；對于D，當(dāng)x0時，不成立對于C，x211，1成立故選C.3設(shè)a，b為正數(shù)，且ab4，則下列各式中正確的一個是()A.1 B.1C. B.2，故.5若x0，y0，且1，則xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64解析：選D由題意xyxy2y8x28，8，即xy有最小值64，等號成立的條件是x4，y16.6若a0，b0，且，則a3b3的最小值為_解析：a0，b0，2，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，a3b3224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，則a3b3的最小值為4.答案：47已知正數(shù)x，y滿足x22xy30，則2xy的最小值是_解析：由題意得，y，2xy2x3，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時，等號成立答案：38若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_解析：因?yàn)閤0，所以x2.當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，所以有，即的最大值為，故a.答案：9(1)已知x3，求f(x)x的最大值；(2)已知x，y是正實(shí)數(shù)，且xy4，求的最小值解：(1)x3，x30，b0，c0，所以2，2，2，所以6，當(dāng)且僅當(dāng)，即abc時，等號成立所以6.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1a，bR，則a2b2與2|ab|的大小關(guān)系是()Aa2b22|ab|Ba2b22|ab|Ca2b22|ab| Da2b22|ab|解析：選Aa2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|時，等號成立)2已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件abc且abc0，abc0，則的值()A一定是正數(shù) B一定是負(fù)數(shù)C可能是0 D正負(fù)不確定解析：選B因?yàn)閍bc且abc0，abc0，所以a0，b0，c0，且a(bc)，所以，因?yàn)閎0，c0，所以bc2，所以，又2，所以20，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值為()A0 B1C2 D4解析：選D由題意，知所以2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立4若實(shí)數(shù)x，y滿足xy0，則的最大值為()A2 B2C42 D42解析：選D，設(shè)t0，原式11.2t2，最大值為142.5若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足1，且不等式xm23m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：因?yàn)椴坏仁絰m23m有解，所以min0，y0，且1，所以x2224，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2，y8時，等號是成立的，所以min4，所以m23m4，即(m1)(m4)0，解得m4.答案：(，1)(4，)6若正數(shù)a，b滿足ab1，則的最小值為_解析：由ab1，知，又ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)，9ab10，.答案：7某廠家擬在2016年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量(即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量)x(單位：萬件)與年促銷費(fèi)用m(m0)(單位：萬元)滿足x3(k為常數(shù))，如果不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件已知2016年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用)(1)將2016年該產(chǎn)品的利潤y(單位：萬元)表示為年促銷費(fèi)用m的函數(shù)；(2)該廠家2016年的促銷費(fèi)用為多少萬元時，廠家的利潤最大？解：(1