高中數(shù)學(xué)《不等式與不等關(guān)系》學(xué)案5 新人教A版必修5

用心 愛心 專心1 不等式不等式 考試內(nèi)容 考試內(nèi)容 不等式 不等式的基本性質(zhì) 不等式的證明 不等式的解法 含絕對(duì)值的不等式 考試要求 考試要求 1 理解不等式的性質(zhì)及其證明 2 掌握兩個(gè) 不擴(kuò)展到三個(gè) 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理 并會(huì) 簡(jiǎn)單的應(yīng)用 3 掌握分析法 綜合法 比較法證明簡(jiǎn)單的不等式 4 掌握簡(jiǎn)單不等式的解法 5 理解不等式 a b a b a b 不不不不 等等等等 式式式式 知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn) 1 不等式的基本概念 1 不等 等 號(hào)的定義 0 0 0babababababa 2 不等式的分類 絕對(duì)不等式 條件不等式 矛盾不等式 3 同向不等式與異向不等式 4 同解不等式與不等式的同解變形 2 不等式的基本性質(zhì) 1 abba 對(duì)稱性 2 cacbba 傳遞性 3 cbcaba 加法單調(diào)性 4 dbcadcba 同向不等式相加 5 dbcadcba 異向不等式相減 6 bcaccba 0 7 bcaccba 0 乘法單調(diào)性 8 bdacdcba 0 0 同向不等式相乘 9 0 0 ab abcd cd 異向不等式相除 11 10 0ab ab ab 倒數(shù)關(guān)系 用心 愛心 專心2 11 1 0 nZnbaba nn 且 平方法則 12 1 0 nZnbaba nn 且 開方法則 3 幾個(gè)重要不等式 1 0 0 2 aaRa則若 2 2 2 2 2222 ababbaabbaRba 或則 若 當(dāng)僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào) 3 如果a b都是正數(shù) 那么 2 ab ab 當(dāng)僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào) 極值定理 若 x yRxyS xyP 則 如果 P 是定值 那么當(dāng)x y時(shí) S 的值最小 1 如果 S 是定值 那么當(dāng)x y時(shí) P 的值最大 2 利用極值定理求最值的必要條件 一正 二定 三相等 3 3 abc abcRabc 4 若 則 當(dāng)僅當(dāng) a b c 時(shí)取等號(hào) 0 2 ba ab ab 5 若則 當(dāng)僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào) 2222 6 0 axaxaxaxaxaxaaxa 時(shí) 或 7 bababaRba 則 若 4 幾個(gè)著名不等式 1 平均不等式 如果a b都是正數(shù) 那么 22 2 11 22 abab ab ab 當(dāng)僅當(dāng) a b 時(shí)取等號(hào) 即 平方平均 算術(shù)平均 幾何平均 調(diào)和平均 a b為正數(shù) 特別地 22 2 22 abab ab 當(dāng)a b時(shí) 22 2 22 abab ab 33 2 222 時(shí)取等cbaRcba cbacba 冪平均不等式 2 21 22 2 2 1 1 nn aaa n aaa 注 例如 22222 acbdabcd 常用不等式的放縮法 2 1111111 2 1 1 1 1 n nnn nnn nnn 111 11 1 121 nnnnn nnnnn 用心 愛心 專心3 2 柯西不等式 時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 則若 n n nnnn nn b a b a b a b a bbbbaaaababababa RbbbbRaaaa 3 3 2 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 2 332211 321321 3 琴生不等式 特例 與凸函數(shù) 凹函數(shù) 若定義在某區(qū)間上的函數(shù) f x 對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn) 1212 x x xx 有 12121212 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 則稱 f x 為凸 或凹 函數(shù) 5 不等式證明的幾種常用方法 比較法 綜合法 分析法 換元法 反證法 放縮法 構(gòu)造法 6 不等式的解法 1 整式不等式的解法 根軸法 步驟 正化 求根 標(biāo)軸 穿線 偶重根打結(jié) 定解 特例 一元一次不等式ax b解的討論 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 解的討論 2 分式不等式的解法 先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化 則 0 0 0 0 0 f x g x f xf x f x g x g xg xg x 3 無理不等式 轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 0 0 f x f xg xg x f xg x 定義域 1 0 0 0 0 2 xg xf xgxf xg xf xgxf或 2 0 0 xgxf xg xf xgxf 2 3 4 指數(shù)不等式 轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 1 01 0 0 lglg f xg xf xg x f x aaaf xg xaaaf xg x ab abf xab 5 對(duì)數(shù)不等式 轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 0 0 log log 1 0 log log 01 0 aaaa f xf x f xg x ag xf xg xag x f xg xf xg x 用心 愛心 專心4 6 含絕對(duì)值不等式 應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值 應(yīng)用數(shù)形思想 1 2 應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化 3 0 0 0 0 xgxfxgxf xg xgxfxgxgxf xgxfxg xg xgxf 或 或不同時(shí)為 注 常用不等式的解法舉例 x為正數(shù) 23 11 24 1 2 1