高中數學選修2-2主要內容.doc

.第一章 導數及其應用1.1 變化率與導數問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率若設, (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣)則平均變化率為在前面我們解決的問題：1、求函數在點（2，4）處的切線斜率。，故斜率為4 2、直線運動的汽車速度V與時間t的關系是，求時的瞬時速度。，故斜率為4 二、知識點講解上述兩個函數和中，當()無限趨近于0時，()都無限趨近于一個常數。歸納：一般的，定義在區(qū)間（，）上的函數，當無限趨近于0時，無限趨近于一個固定的常數A，則稱在處可導，并稱A為在處的導數，記作或，函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數在出的導數，記作或，即 說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 （2），當時，所以當點沿著曲線無限接近點P即x0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線. 函數y=f(x)在x=x0處的導數等于在該點處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:求出P點的坐標;求出函數在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率；利用點斜式求切線方程.由函數f(x)在x=x0處求導數的過程可以看到,當時, 是一個確定的數，那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f(x)的導函數.記作：或，即: 。函數在點處的導數、導函數、導數 之間的區(qū)別與聯系。1）函數在一點處的導數，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數f(x)的導函數 3）函數在點處的導數就是導函數在處的函數值，這也是 求函數在點處的導數的方法之一。1函數的導數 根據導數定義，因為所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態(tài)2函數的導數因為所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動3函數的導數因為所以函數導數表示函數圖像（圖3.2-3）上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，表明：當時，隨著的增加，函數減少得越來越慢；當時，隨著的增加，函數增加得越來越快若表示路程關于時間的函數，則可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為4函數的導數因為所以（2）推廣：若，則1.2 導數的計算函數導數 導數的運算法則導數運算法則123 復合函數的概念 一般地，對于兩個函數和，如果通過變量，可以表示成的函數，那么稱這個函數為函數和的復合函數，記作。復合函數的導數 復合函數的導數和函數和的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積若，則 13 導數在研究函數中的應用在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減特別的，如果，那么函數在這個區(qū)間內是常函數求解函數單調區(qū)間的步驟：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩”一些一般地，在閉區(qū)間上函數的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數在上必有最大值與最小值“最值”與“極值”的區(qū)別和聯系最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數值得出的，具有相對性從個數上看，一個函數在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值 利用導數求函數的最值步驟:由上面函數的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數所有的極值與定義區(qū)間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了一般地，求函數在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；將的各極值與端點處的函數值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數在上的最值1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當的函數關系，并確定函數的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數取值的情境，即核心問題是建立適當的函數關系。再通過研究相應函數的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數是一個有力的工具1.5 定積分的概念回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問題的解決方法，解決步驟：分割近似代替(以直代曲)求和取極限（逼近） 定積分的概念一般地，設函數在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數，那么稱該常數為函數在區(qū)間上的定積分。記為：，其中積分號，積分上限，積分下限，被積函數，積分變量，積分區(qū)間，被積式。說明：（1）定積分是一個常數，即無限趨近的常數（時）記為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數的圖形以及直線之間各部分面積的代數和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號。分析：一般的，設被積函數，若在上可取負值?？疾旌褪讲环猎O于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）思考：根據定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？3定積分的性質根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1；性質2（定積分的線性性質）；性質3（定積分的線性性質）；性質4（定積分對積分區(qū)間的可加性）(1) ； (2) ； 說明：推廣： 推廣: 性質解釋：性質4性質1第二章 推理與證明2.1 合情推理與演繹推理把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).注:歸納推理的特點;簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：（部分整體，個別一般）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質 從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）類比推理的一般步驟：（特殊特殊） 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想。即觀察、比較聯想、類推猜想新結論歸納推理和類比推理是常用的合情推理。演繹推理的定義（一般特殊）：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理；“三段論”是演繹推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情況；結論-據一般原理，對特殊情況做出的判斷2.2 直接證明與間接證明分析法和綜合法（直接證明）：是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執(zhí)果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 2.3 數學歸納法第3章 數系的擴充與復數的引入3.1數系的擴充和復數的概念因生產和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾.但是，數集擴到實數集R以后，像x2=1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數，叫做虛數單位.并由此產生的了復數講解新課：1.虛數單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.2. 與1的關系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是!3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.復數的定義：形如的數叫復數，叫復數的實部，叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示*3. 復數的代數形式: 復數通常用字母z表示，即，把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式4. 復數與實數、虛數、純虛數及0的關系：對于復數，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、bR)是實數a；當b0時，復數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0.5.復數集與其它數集之間的關系：NZQRC.6. 兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等這就是說，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d幾何意義：復平面、實軸、虛軸：復數z=a+bi(a、bR)與有序實數對(a，b)是一一對應關系這是因為對于任何一個復數z=a+bi(a、bR)，由復數相等的定義可知，可以由一個有序實數對(a，b)惟一確定，如z=3+2i可以由有序實數對(3，2)確定，又如z=2+i可以由有序實數對(2，1)來確定；又因為有序實數對(a，b)與平面直角坐標系中的點是一一對應的，如有序實數對(3，2)它與平面直角坐標系中的點A，橫坐標為3，縱坐標為2，建立了一一對應的關系由此可知，復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應的關系.點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi(a、bR)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應的有序實數對為(0，0)， 它所確定的復數是z=0+0i=0表示是實數.故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數在復平面內的原點(0，0)表示實數0，實軸上的點(2，0)表示實數2，虛軸上的點(0，1)表示純虛數i，虛軸上的點(0，5)表示純虛數5i非純虛數對應的點在四個象限，例如點(2，3)表示的復數是2+3i，z=53i對應的點(5，3)在第三象限等等.復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數復平面內的點這是因為，每一個復數有復平面內惟一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有惟一的一個復數和它對應.這就是復數的一種幾何意義.也就是復數的另一種表示方法，即幾何表示方法.復平面內的點平面向量3.2復數代數形式的四則運算復數代數形式的加減運算復數z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 復數z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 復數的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R).z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1.即復數的加法運算滿足交換律.4. 復數的加法運算滿足結合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)證明：設z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復數的加法運算滿足結合律復數加法的幾何意義：設復數z1=a+bi，z2=c+di，在復平面上所對應的向量為、，即、的坐標形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應的向量是，= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i復數減法的幾何意義：復數減法是加法的逆運算，設z=(ac)+(bd)i，所以zz1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量就與復數zz1的差(ac)+(bd)i對應由于，所以，兩個復數的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.乘法運算規(guī)則：規(guī)定復數的乘法按照以下的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數.2.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b