數(shù)學(xué)美欣賞-3.2--數(shù)學(xué)中的有限性.doc

數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因為有限才顯得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓銎矫嫔嫌袩o數(shù)個點(diǎn)，而確定一個平面僅需要三個點(diǎn)(當(dāng)然它們不共線)就可以一副撲克牌洗多少次才算最勻凈? 答案是次(并非越多越好，要知道一副撲克可能的排列方式有種，它大約為)美國哈佛大學(xué)的數(shù)學(xué)家戴柯尼斯和哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家貝爾發(fā)現(xiàn)了這一奧秘他們把張牌編上號，先按的遞增順序排列洗牌時分成兩疊，一疊是，另一疊是洗一次后會出現(xiàn)這樣的數(shù)列：，它是兩組遞增數(shù)列：，和，的混合此后再繼續(xù)洗牌，若遞增數(shù)列的組數(shù)多于時，這副牌已完全看不出原來的樣子(順序)計算表明，當(dāng)洗牌次數(shù)為時，可實現(xiàn)上述效果(多于此數(shù)，過猶不及)再如廣告，商家也許以為所做次數(shù)越多，效果越好，其實不然廣告費(fèi)用的投入與效果，遵循經(jīng)濟(jì)活動中著名的曲線(下圖)，從圖上可以看出：投入費(fèi)用在某一段區(qū)間內(nèi)時，廣告最為有效. 另一方面，廣告播出次數(shù)以次左右為最佳美國著名廣告學(xué)家克魯曼認(rèn)為：消費(fèi)者是在漫不經(jīng)心地接觸廣告：第一次只了解信息的大概，第二次開始關(guān)心廣告的內(nèi)容與自己是否有關(guān)，第三次便會對產(chǎn)品加深印象與了解廣告以次為最佳，否則會無效或產(chǎn)生厭倦情緒和逆反心理三角形數(shù)的個數(shù)是無限的，但其中僅有六個是由同一數(shù)字組成的：()，()，()，()，()，() 又如棱錐數(shù)(金字塔數(shù))：中， 僅有()和()是完全平方數(shù)， 這是1875年呂卡斯猜測的，直至1918年才由沃森給出證明 著名的斐波那契數(shù)列，中的完全平方數(shù)僅有，和這三項(由四川大學(xué)的柯召等人于1964年解決) 由前文我們知道，方程僅有一組非平凡的整數(shù)解，；方程, 即有且僅有，和三組正整數(shù)解 1842年，卡塔蘭曾猜想：和是唯一一對都是正整數(shù)冪的相繼自然數(shù)(對于方冪中有一平方數(shù)的情形，被柯召于1962年解決；1976年Tiideman證明：若兩相繼自然數(shù)均為正整數(shù)冪，則每個正整數(shù)的冪均應(yīng)小于常數(shù)，已證得). 是唯一一個夾在兩個方冪52和33之間的整數(shù)，即方程僅有一組整數(shù)解而有兩組整數(shù)解和；僅有一組整數(shù)解 歐拉早就指出：僅有一組整數(shù)解(此與卡塔蘭猜想等價)；有三組整數(shù)解，和；但無整數(shù)解(形如的方程稱為Modell方程，而稱為Pell方程). 多面體千姿百態(tài)、種類繁多，歐拉卻從中找出了它們的共性：對于(單連通面組成的)簡單多面體(表面連續(xù)變形，可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w), 他在其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間建立了一個等式：(歐拉公式)在眾多的場合下，它是適用的(上面括號內(nèi)的文字已給出公式的適用范圍)人們正是依據(jù)這一點(diǎn)證明了：正多面體(各個面都是全等的正多邊形的幾何體)僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體 此外，與它們共軛的多面體(若兩多面體的棱數(shù)相同，且其中一個的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù), 恰好是另一多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù), 則這兩個多面體互稱共軛)也只有種, 它們每面的邊數(shù)和交于一點(diǎn)的棱數(shù)，以及，的關(guān)系如下： 正四面體及其共軛圖形(正四面體) 正六面體及其共軛圖形(正八面體) 正八面體及其共軛圖形 正十二面體及其共軛圖形 正二十面體及其共軛圖形(正六面體) (正二十面體) (正十二面體)我們也知道：平面上與單位圓(半徑為的圓)相切的單位圓最多只能有個(它的證明不難)有人將問題推廣到空間情形 起初(1694年), 英國天文學(xué)家格雷戈里猜測：一個單位球(半徑為1的球)可與個單位球相切, 而牛頓則認(rèn)為這個數(shù)目應(yīng)是大約260年后(1953年)，許特和范德瓦爾登給出“至多可與個單位球相切”的論證1956年, 利奇又給了一個簡化證明 順便講一句, 上述結(jié)論與自然界的某些現(xiàn)象與構(gòu)造是協(xié)調(diào)的十九世紀(jì)，法國結(jié)晶學(xué)家布拉維利用群論的研究成果，確定了晶體僅有種可能的結(jié)構(gòu)(這一點(diǎn)已被現(xiàn)代科學(xué)所證實), 這種有限種類的結(jié)構(gòu)已被無限的自然界所認(rèn)可完美矩形(用規(guī)格完全不同的正方塊拼成的矩形)有無窮多種，但是階數(shù)(即組成它的小正方形個數(shù))最小的完美矩形(階)僅有兩個(見下圖，圖中的數(shù)字表示該正方形邊長) 考慮周長一定的畢達(dá)哥拉斯三角形的個數(shù)問題. 當(dāng)個數(shù)為時，有周長是的情形存在: 三邊分別為、的三角形都是周長為的畢達(dá)哥拉斯三角形；當(dāng)個數(shù)為時，在周長小于的情形中僅有例，其中最小者周長為，三邊分別為、的三角形都是周長為的畢達(dá)哥拉斯三角形 這類問題首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！ 數(shù)學(xué)中的有限性的另一層意思是：“項”與“個數(shù)”最少問題比如，我們前面提到的完美矩形的階數(shù)最小是，完美正方形的最小階數(shù)是等此外，還有許多此類問題，比如： 正方形被剖分成銳角三角形，其個數(shù)不少于(上圖(1)；鈍角三角形被剖分成銳角三角形，其個數(shù)不少于(上圖(2). 數(shù)學(xué)中的唯一性問題，是特殊的有限比如，兩相交直線有唯一一個交點(diǎn); 螺旋式三階反幻方(各行、各列、各對角線上諸數(shù)和皆不相等)，不計其平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換，其解是唯一的用同一種數(shù)字構(gòu)造數(shù)、用同一種圖構(gòu)造圖形，里面也含有單一問題這類問題在數(shù)學(xué)中有很多比如，平面的鑲嵌問題，即問：用什么樣的單一圖形可以鋪滿(無縫隙、無重疊)平面(完美正方形也是一種鑲嵌)?圓顯然不行，因為圓與圓之間會有空隙最簡單的圖形恐怕要數(shù)正多邊形了可是你想過沒有，是否所有的正多邊形都可以? 回答是否定的其實，只有三種正多邊形正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鋪滿平面 通過簡單的計算， 我們不難證實這一點(diǎn)設(shè)正邊形的內(nèi)角為. 若它能鋪滿平面(如圖), 則必有，使得. 由正多邊形的內(nèi)角公式, 代入上式,便有, 即，而只能是整數(shù)，這僅當(dāng)時, 即為，時才可以做到(據(jù)說早在畢達(dá)哥拉斯時代, 人們對這個問題已有研究)我們知道, 平行四邊形可以鋪滿平面, 梯形也可以(兩個梯形可拼成一個平行四邊形). 其實, 任何同樣規(guī)格的四邊形也都可以鋪滿平面 然而, 并非所有五邊形皆可鋪滿平面對五邊形而言，能用它們鋪滿平面的有種(1978年, 由沙特斯奈德發(fā)現(xiàn)). 第1種第2種 第3種第4種第5種第6種第7種 能鋪滿平面的一般六邊形已發(fā)現(xiàn)三種(1918年, 由萊因哈托發(fā)現(xiàn)). 鋪地問題實際上也是用有限去表示無限問題的變形或另一種提法. 無限中的有限是數(shù)學(xué)中的美現(xiàn)象，而有限中的無限，同樣是數(shù)學(xué)特有的美就拿數(shù)來講，前文我們講過：雖然數(shù)的概念不斷擴(kuò)大：但人們只須用這十個數(shù)碼，至多加上某些符號，如“+”、“-”、“”(小數(shù)點(diǎn))，等，就可以將全部數(shù)表達(dá)出來，正如外語中用有限個字母表達(dá)無限的語匯 早在一千多年以前，我國就出現(xiàn)了一種廣泛流傳于民間的數(shù)學(xué)游戲七巧板它是我們的祖先運(yùn)用面積的分割和拼補(bǔ)的方法，以及有相同組成成份的平面圖形等積的原理研究并創(chuàng)造出來的七巧板是由尺寸互相關(guān)聯(lián)的一對大直角三角形、一對小直角三角形、一個中直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形所組成的用七巧板可以拼出形狀不同的人、動物以及其它物體的造型它對于鍛煉人們的智力和培養(yǎng)人們的思維想象能力、審美觀點(diǎn)是十分有益的. 甚至在今天，這種數(shù)學(xué)游戲仍具有很高的品位(比如，它已做成了游戲機(jī)軟件)七巧板的制做步驟如下： (1)在所選材料(如薄紙板)上畫出一個正方形，并作出它的對角線(圖1) (2)分別找出和的中點(diǎn)，連接(圖2) (3)過作的垂線, 與交于，與交于(圖3)(4)過作，過作(圖4). 最后，沿圖中所做的線段依次進(jìn)行分割，即得七巧板七巧板傳到西方后，國外稱之為“唐圖”上個世紀(jì)80年代還有人對它的數(shù)學(xué)原理、性質(zhì)進(jìn)行探討，得出許多結(jié)論例如,“一副七巧板只能拼出種不同的凸多邊形”等. 再回到鋪地問題，其實, 有些不規(guī)則的圖形也能鋪滿平面有意思的是, 下面的圖案也可以鑲嵌(鋪滿)平面(包括前面對稱一節(jié)中給出的騎士圖案也可以鋪滿平面，它是荷蘭畫家埃歇爾的作品)如前所述，這些圖形從拓?fù)渥儞Q觀點(diǎn)看都是等價的 我們想再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里的有限性是指那些貌似無限而實則有限的數(shù)學(xué)現(xiàn)象幾十年前，赫柴德征解字謎算式的解(你也許以為它的解很多)，想不到它僅有一組：但驗證工作(只靠手算進(jìn)行)并不輕松，直到新近才由羅素等人借助于計算機(jī)(在幾分鐘內(nèi))完成 這里, 我們還想講一件有趣的事公元三世紀(jì)，丟番圖在其所著算術(shù)中指出：分?jǐn)?shù), , , 中任何兩數(shù)之積再加，必是某個分?jǐn)?shù)的平方例如, . 大約1400年后, 費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)：整數(shù)，中任意兩數(shù)之積再加都是完全平方數(shù). 例如, . 500多年以后，有人又舊話重提1969年, 英國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)鮑特和馬凱爾證明：使、中的任何兩數(shù)之積再加后是完全平方數(shù)的僅有一個稍后人們發(fā)現(xiàn)：若是斐波那契數(shù)列，,的第項，則，中的任意兩數(shù)之積再加均為完全平方數(shù). 例如，時，于是，. 我們多次講過, 研究丟番圖方程(不定方程)的目的，是研究其整數(shù)解問題. 這類方程盡管有時有許多解，但只有在某些特殊情況下的解才是整數(shù) 1942年，挪威數(shù)學(xué)家利翁格證明：方程僅有兩組整數(shù)解：，和，這個結(jié)論是令人奇怪和吃驚的, 因為早在1657年，費(fèi)馬曾指出另外一類不定方程的解的個數(shù)問題：Pell方程在是正的非完全平方數(shù)時有無窮多個解 真是差之毫厘，繆之千里！再如，前面我們曾提到過卡塔蘭猜想，它的另一種表達(dá)方式是：(，為整數(shù))僅有，一組整數(shù)解 1967年，霍爾提出另一猜想：(，為整數(shù)，為質(zhì)數(shù))僅有，一組解此問題至今未獲證(盡管這些方程模樣相似) 再如，人們僅找到方程的四組整數(shù)解：、和米勒爾和伍萊特對于時的情況進(jìn)行了驗證. 方程僅有、和三組解, 至今也未獲證. 考察下面的等式(我們已說過，它們的形式是自然、順序、流暢和優(yōu)美的):，. 它們的左邊分別是二項和三項連續(xù)自然數(shù)的方冪和, 右邊為左邊的后繼連續(xù)自然數(shù)的方冪. 具有這種性質(zhì)的等式還有嗎? 回答卻是否定的，盡管這個問題尚未完全解決 上世紀(jì)40年代末，鮑文猜測：對于自然數(shù)和來講, 等式僅有自然數(shù)解, , 即. 唯一性在數(shù)學(xué)上有時是很重要的比如，整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解是唯一的例如，可以唯一地分解為. 形如(是自然數(shù))的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù). 當(dāng)時，分別為、和，它們均為質(zhì)數(shù)(稱為費(fèi)馬質(zhì)數(shù)). 費(fèi)馬曾猜想：對所有的自然數(shù)，均為質(zhì)數(shù)1732年，歐拉指出,已不再是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜測1880年, 蘭德利發(fā)現(xiàn)是合數(shù)：且，. 至于有些費(fèi)馬數(shù)，人們僅證明了它是合數(shù)，或只找到其部分因子. 比如:1787年, 俄國一位數(shù)學(xué)家證明：有因子114689(即)，有因子167772161(即)1886年, 澤爾霍夫發(fā)現(xiàn)：有因子2748779069441(即)莫爾罕德和威斯頓早在1905年和1909年便證得和為合數(shù)，但它們的因子直到1971年和1975年才找到1971年, 布端漢特和莫瑞森在IBM36091大型計算機(jī)上, 花了小時, 找到位的的兩個因子：一個位，一個位1981年, 布瑞特和波拉特在IBMll0042計算機(jī)上, 花了小時, 找到的一個位的因子. 此后, 維利亞斯又找到了另一個位的因子1987年, 漢堡大學(xué)的凱利運(yùn)用篩法, 在計算機(jī)的幫助下, 找到了(它有位)的一個因子此后，羅伯遜找到了的一個素因子1990年, 美國數(shù)學(xué)家萊斯特拉和萊斯特拉分解了. 同年，澳州大學(xué)的布瑞特分解了. 1992年，里德學(xué)院的科蘭達(dá)爾和杜尼亞斯證明了是合數(shù)令人費(fèi)解的是, 迄今為止, 人們僅知道上面五個費(fèi)馬質(zhì)數(shù)關(guān)于費(fèi)馬數(shù)的研究現(xiàn)狀見下表.費(fèi)馬數(shù)中是否有無窮多個質(zhì)數(shù)? 或無窮多個合數(shù)? 這一點(diǎn)至今仍未獲解決(迄今為止，人們找到并證明的最大費(fèi)馬合數(shù)為, 它有大約位)令人驚奇的是，高斯證明了：如果是質(zhì)數(shù)，則正(包括它們和的方冪乘積)邊形可用尺規(guī)作圖完成, 同時，他給出了正邊形的尺規(guī)作法此后，黎西羅完成了正邊形的尺規(guī)作圖，過程敘述達(dá)80頁海默斯花了10年完成了正邊形的作圖據(jù)說海默斯的手稿有整整一手提箱，且至今仍保存在哥廷根大學(xué)的圖書館內(nèi) 數(shù)依照某種預(yù)定的程序反復(fù)運(yùn)算的結(jié)果似乎是無限多種, 但有時卻是例外. 任給一個數(shù)，按照某個預(yù)定的模式計算，結(jié)果可以是有限種(這一點(diǎn)可用計算器去核驗，比如敲鍵，無論從哪個數(shù)開始，反復(fù)數(shù)次后結(jié)果必定為)令人覺得不解的是：對于這些結(jié)論中的某些, 至今未能找到它的證明(盡管它們也許看上去很不起眼)，同時也未能給出推翻它的反例. 二次世界大戰(zhàn)前后，在美國的一個叫敘古拉的地方, 流傳著一種數(shù)學(xué)游戲. 后來它被傳到歐洲，曾在那兒風(fēng)靡一時, 后來又被日本數(shù)學(xué)家角谷帶回日本游戲是這樣的：任給一個自然數(shù)，若它是偶數(shù), 則將它除以；若它是奇數(shù)，則將它乘以后再加，如此下去，經(jīng)過有限步驟后，它的結(jié)果必為 (它被稱為問題). 有人用計算機(jī)對小于的自然數(shù)進(jìn)行驗算，結(jié)果無一例外但這個貌似簡單的游戲至今未能為人們證明對上面的游戲稍稍修改：任給一個自然數(shù)，若它是偶數(shù)，則將它除以；若它是奇數(shù)，則將它乘以后再減，如此下去，經(jīng)有限次步驟后，它的結(jié)果必然是，或者落入下面兩個循環(huán)圈之一內(nèi).例如： 這一點(diǎn)至今也未獲證，盡管有人對小于的自然數(shù)一一作了驗算 簡單的數(shù)字運(yùn)算導(dǎo)致的有趣現(xiàn)象(掉進(jìn)“旋渦”或落入“黑洞”，這的確是一種奇妙的美)還有許多，這里不妨再舉幾例.求一個自然數(shù)的各位數(shù)字的平方和，可以得到一個新數(shù)；再求這個新數(shù)的各位數(shù)字的平方和，又得一個新數(shù)，如此下去，經(jīng)有限步驟后，結(jié)果必為或進(jìn)入下列循環(huán)圈.例如：求數(shù)字的立方和運(yùn)算也會出現(xiàn)類似的現(xiàn)象，即數(shù)字立方和運(yùn)算經(jīng)有限步后，結(jié)果為，或，或進(jìn)入下面四個循環(huán)圈中.整數(shù)排序后的簡單減法運(yùn)算同樣會出現(xiàn)數(shù)字黑洞. 任給一個四位數(shù)(它們各位數(shù)字不全一樣)，先將組成它的各位數(shù)按從大到小排成一個數(shù)，然后再減去由這些數(shù)字從小到大排成的四位數(shù)(前面數(shù)的逆序數(shù))，對所得的差仍按上面的方式運(yùn)算，經(jīng)有限次(不超過次)運(yùn)算后，結(jié)果必為比如這個數(shù)，