全國數(shù)學(xué)競賽綜合試題分類篇.doc

. 全國數(shù)學(xué)競賽綜合試題分類篇第一類：一元二次方程的整數(shù)根問題試題1. 求實數(shù)，使得關(guān)于的方程的根都是整數(shù)（中等數(shù)學(xué)1999年第5期）試題2.在正實數(shù)范圍內(nèi)，只存在一個數(shù)是關(guān)于的方程的解，求實數(shù)的取值范圍。（中等數(shù)學(xué)2001年第3期）試題3. 試求出所有這樣的正整數(shù)，使得二次方程至少有一個整數(shù)根。（中等數(shù)學(xué)2003年第5期）試題4. 設(shè)是質(zhì)數(shù)，是正整數(shù)。求證方程至少有一個整數(shù)根的充分必要條件是。（中等數(shù)學(xué)2003年第6期）試題5. 設(shè)為互不相等的實數(shù)，且，已知關(guān)于的方程有一個公共根，方程有一個公共根，試求的值。（中等數(shù)學(xué)2002年第6期）試題6. 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根。試題7. 求出所有的實數(shù)，使得關(guān)于的一元二次方程的兩個根都是整數(shù)。（中等數(shù)學(xué)2005年第3期）試題8. 已知關(guān)于的一元二次方程與若方程的兩個實數(shù)根的平方和等于方程的一個整數(shù)根，求的值。（中等數(shù)學(xué)2006年第10期）試題9.已知方程的兩個為，方程的兩根為。（1）若為整數(shù)，且，求的值。（2）若。（中等數(shù)學(xué)2007年第5期）試題9.已知方程與方程有且只有一個公共根。求證：這兩個方程的另外兩個根是方程的兩個根。（中等數(shù)學(xué)2000年第4期）試題10. 若關(guān)于的方程只有一個解，求的值。（中等數(shù)學(xué)2000年第4期3）試題11. 已知關(guān)于的一元二次方程有不相等的實數(shù)根，則滿足條件的有序正整數(shù)有多少對？（中等數(shù)學(xué)2006年第8期）試題12. 已知關(guān)于的方程的根都是某個等腰直角三角形的邊長，求的值。（中等數(shù)學(xué)2011年第5期）試題13. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根，求實數(shù)的值。（中等數(shù)學(xué)2011年第7期）試題14.已知為整數(shù),且,方程的兩個根滿足關(guān)系式試求所有的整數(shù)點對().（1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）試題15.已知是正整數(shù)，如果關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根.（2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽）試題15.已知一元二次方程有兩個連續(xù)的整數(shù)根，一元二次方程要整數(shù)根，求的值。（中等數(shù)學(xué)2004年第5期）第二類：二次函數(shù)（拋物線）類問題試題1 在直角坐標系中，拋物線與軸交于A,B兩點，已知點A在軸的負半軸上，點B在軸的正半軸上，BD的長是AO的2倍（即)點C為拋物線的頂點。（2）求拋物線的解析式;(2)若點P在拋物線的對稱軸上且P與軸，直線BC都相切，求點P的坐標。（中等數(shù)學(xué)2001年第6期）試題2 如圖，開口向下的拋物線與正半軸交于A,B兩點，（點A在點B的左側(cè)），拋物線上另一點C在第一象限，且使。（1）求OC的長及的值。（2）設(shè)直線BC與軸交于點P，當C點是BP的中點時，求直線BC和拋物線 的解析式。（中等數(shù)學(xué)2000年第6期）試題3 二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2，-1）且與半軸交于不同的兩點。設(shè)圖像的頂點為M。求使面積最小時的二次函數(shù)的解析式。（中等數(shù)學(xué)2002年第5期）試題4 如圖拋物線若有兩點在軸下方，則拋物線與軸有兩個交（其中），（1）請對上述直觀結(jié)論給出嚴格的證明。（2）當且均為整數(shù)時，求二次函數(shù)的解析式。（中等數(shù)學(xué)2006年第2期）試題5 已知是大于2005的正整數(shù)，為整數(shù)，拋物線在軸上方，且過點兩點，求的最小值。（中等數(shù)學(xué)2005年第5期）試題6 已知一個兩位數(shù)，其十位數(shù)字與個位數(shù)字分別為二次函數(shù)的圖像與軸交于不同的兩點A,B頂點為C，且1。（1）求的值；（2）求出所有這樣的兩位數(shù)。（中等數(shù)學(xué)2004年第1期）試題7 求二次函數(shù)繞點旋轉(zhuǎn)后所得拋物線的解析式。（中等數(shù)學(xué)2006年第3期）試題8 二次函數(shù)的頂點為P，過點的直線AB與拋物線相切，且直線AB經(jīng)過第一，二，四象限與軸軸分別交于A,B兩點，求點P到直線AB的距離。（中等數(shù)學(xué)2007年第9期）試題9 方程的兩個根為。試求二次函數(shù)，滿足（中等數(shù)學(xué)1998年第6期）試題10 已知是實數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍。（中等數(shù)學(xué)2011年第12期）試題11 已知二次函數(shù)，當時，恒有；關(guān)于的方程兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于，求的取值范圍。（中等數(shù)學(xué)2012年第5期）試題12 已知拋物線與軸交于點且是方程的兩個實數(shù)根，C為拋物線與軸的交點。（1）求拋物線的對稱軸；（2）求直線AC,BC的解析式；（3）如果動直線與線段AC,BC分別交于D,E兩點，那么在軸上是否存在點P，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由。（中等數(shù)學(xué)2012年第8期）試題13設(shè)為正整數(shù)，且，如果對一切實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個