《高等數(shù)學(xué)》(專科升本科)復(fù)習(xí)資料.pdf

高等數(shù)學(xué) ?？粕究?復(fù)習(xí)資料 1 復(fù)習(xí)參考書 全國各類專科起點(diǎn)升本科教材 高等數(shù)學(xué) 一 第3版 本書編寫組 高等教育出版社 2 復(fù)習(xí)內(nèi)容及方法 第一部分 函數(shù) 極限 連續(xù) 復(fù)習(xí)內(nèi)容 函數(shù)的概念及其基本性質(zhì) 即單調(diào)性 奇偶性 周期性 有界性 數(shù)列的極限與函數(shù)的極限概念 收斂數(shù)列的基本性質(zhì)及函數(shù)極限的四則 運(yùn)算法則 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則與兩個重要的函數(shù)極限 無窮小量與無 窮大量的概念及其基本性質(zhì) 常見的求極限的方法 連續(xù)函數(shù)的概念及 基本初等函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類與連續(xù)函數(shù)的基本運(yùn)算 性質(zhì) 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 即最值定 理 介值定理與零點(diǎn)存在定理 復(fù)習(xí)要求 會求函數(shù)的定義域與判斷函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性 周期性 有界 性 掌握數(shù)列極限的計(jì)算方法與理解函數(shù)在某一點(diǎn)極限的概念 同時會 利用恒等變形 四則運(yùn)算法則 兩個重要極限等常見方法計(jì)算函數(shù)的極 限 掌握理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關(guān)系 在求函數(shù)極限的 時候能使用等價代換 理解函數(shù)連續(xù)性的定義 會求給定函數(shù)的連續(xù)區(qū) 間及間斷點(diǎn) 能運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些基本的命題 重要結(jié)論 1 兩個奇 偶 函數(shù)之和仍為奇 偶 函數(shù) 兩個奇 偶 函 數(shù)之積必為偶函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù)之積必為奇函數(shù) 奇 偶 函數(shù)的復(fù)合必為偶函數(shù) 2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 3 若一個數(shù)列收斂 則其任一個子列均收斂 但一個數(shù)列的子 列收斂 該數(shù)列不一定收斂 4 若一個函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于零 則一定存在該點(diǎn)的一個鄰 域 函數(shù)在其上也大于零 5 無窮小 大 量與無窮小 大 量的乘積還是無窮小 大 量 但無窮小量與無窮大量的乘積則有多種可能 6 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù) 7 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值與最小值 重要公式 1 若則 2 兩個重要極限公式 1 2 3 在求極限的運(yùn)算中注意使用等價無窮小量的代換 常見的等價無 窮小量代換有 當(dāng)時 第二部分 一元函數(shù)微積分 復(fù)習(xí)內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何 物理意義 基本求導(dǎo)公式與各種求導(dǎo)法則 微分的概念及計(jì)算 羅爾定理 拉格朗日中值定理 洛必達(dá)法則 函數(shù) 增減性的判定 函數(shù)的極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值 函數(shù)的凹凸性 及拐點(diǎn) 曲線的漸近線 復(fù)習(xí)要求 理解導(dǎo)數(shù)的定義 同時掌握幾種等價定義 即 掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義 了解導(dǎo)數(shù)的物理意義 掌握連續(xù)與可導(dǎo)的 關(guān)系 即連續(xù)不一定可導(dǎo) 而可導(dǎo)一定連續(xù) 熟練掌握基本初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 隱函數(shù) 由參數(shù) 方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則 掌握對數(shù)求導(dǎo)法與高階導(dǎo)數(shù)的求法 理解 微分的定義 明確一個函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系 即可微一定可導(dǎo) 反之 一樣 熟練掌握微分的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的微分 理解羅爾中值定理 與拉格朗日中值定理 了解其幾何意義 能熟練運(yùn)用洛必達(dá)法則求極 限 必須記住使用洛必達(dá)法則的條件 同時應(yīng)注意以下幾個問題 1 如 果使用洛必達(dá)法則后 問題仍然是未定型極限 且仍滿足洛必達(dá)法則的 條件 則可再次使用洛必達(dá)法則 2 如果在 0 0 型或 型極限中含有非 零因子 該非零因子可以單獨(dú)求極限 不必參與洛必達(dá)法則運(yùn)算 以達(dá) 到簡化運(yùn)算的目的 3 如果能進(jìn)行等價無窮小量代換或恒等變形配合使 用洛必達(dá)法則 也可以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求 已知曲線的切線方程與法線方程 會利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減 性 熟練掌握函數(shù)的極值與最值的求法即需掌握以下步驟 1 求出函數(shù) 的定義域 2 求出 并在函數(shù)的定義域內(nèi)求出導(dǎo)數(shù)等于零與導(dǎo)數(shù)不存在 的點(diǎn) 駐點(diǎn) 3 判定駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號 4 如果駐點(diǎn)處函數(shù)的二階導(dǎo) 數(shù)易求 可再次求導(dǎo)通過在該點(diǎn)的符號來判斷極值 5 求最值時 只需 求出所有的極值點(diǎn)與端點(diǎn)的值 最大 小 者即為最大 小 值 掌握 判斷曲線的拐點(diǎn) 凹凸性的一般方法 1 求出該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 并求 出其二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn) 2 同時求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 3 判定上 述各點(diǎn)兩側(cè) 該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是否異號 如果在的兩側(cè)異號 則 為曲線的拐點(diǎn) 4 在的的取值范圍內(nèi) 曲線是弧是下凹的 在的的取值 范圍內(nèi) 曲線弧是上凸的 了解漸近線的定義 并會求水平漸近線與 鉛直漸近線 即 則為曲線的水平漸近線 若 則稱為曲線的鉛直漸近 線 重要結(jié)論 1 如果函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 則在幾何上表明曲線在點(diǎn) 處存在 切線 且切線的斜率為 且切線方程為 當(dāng)時 法線方程為 2 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo) 那么函數(shù)在點(diǎn)處必定連續(xù) 反之不一定 3 函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo) 且有 4 羅爾定理 若函數(shù)滿足以下條件 1 在閉區(qū)間上連續(xù) 2 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 3 則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 5 拉格郎日中值定理 若函數(shù)滿足以下條件 1 在閉區(qū)間上連續(xù) 2 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 重要公式 1 設(shè)與在點(diǎn)可導(dǎo) 則 2 設(shè)復(fù)合函數(shù) 若點(diǎn)處可導(dǎo) 在相應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處 可導(dǎo) 且有鏈?zhǔn)椒▌t 3 設(shè)是由所確定 其中都為可導(dǎo)函數(shù) 且 則 4 在求導(dǎo)數(shù)時 有時要注意對數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用 5 洛必達(dá)公式 當(dāng)滿足一定條件時 有 同時應(yīng)注意可轉(zhuǎn)化為 0 0 型或 型的極限 第三部分 一元函數(shù)積分學(xué) 復(fù)習(xí)內(nèi)容 不定積分的概念與性質(zhì) 不定積分的基本公式 積分第一換元法與 第二換元法 分部積分公式與應(yīng)用分部積分公式時應(yīng)注意的一般原則 定積分的基本概念與基本性質(zhì) 牛頓 萊布尼茨公式 定積分的換元積 分法與分部積分法 無窮區(qū)間上的廣義積分 求平面圖形的面積 求旋 轉(zhuǎn)體體積 復(fù)習(xí)要求 理解原函數(shù)與不定積分定義 了解不定積分的幾何意義與隱函數(shù)存 在定理 熟練掌握不定積分的性質(zhì)與不定積分的基本公式 理解積分第 一換元法 即設(shè)具有原函數(shù)存在連續(xù)導(dǎo)函數(shù) 則有換元公式 了解積分第二換元法 掌握分部積分公式 同時應(yīng)注意在使用時應(yīng) 遵循的一般原則 理解定積分的定義與定積分的幾何意義 熟練掌握定 積分的性質(zhì)與牛頓 萊布尼茨公式 熟練運(yùn)用定積分的換元積分法與分 部積分法 了解無窮區(qū)間上的廣義積分的求法 會用定積分的性質(zhì)求平 面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積 重要結(jié)論 1 若為在某區(qū)間上的一個原函數(shù) 則為的所有原函數(shù) 稱 為的不定積分 記為 2 定積分表示一個數(shù)值 它只取決于函數(shù)與積分區(qū)間 與 積分變量無關(guān) 即 3 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 則定積分必定存在 4 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于 5 如果在區(qū)間上連續(xù) 則在上至少存在一點(diǎn) 使得 6 如果在區(qū)間上連續(xù) 則積分上限函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 且 7 若是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 則 重要公式 1 先積分后求導(dǎo) 作用抵消 即 先求導(dǎo)后積分 相差一個常數(shù) 即 2 分部積分公式 3 牛頓 萊布尼茨公式 1 如果在區(qū)間上連續(xù) 2 為在內(nèi)的 一個原函數(shù) 則 4 定積分的換元公式 設(shè)在區(qū)間上連續(xù) 函數(shù)滿足以下條 件 1 2 在上為單值 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 則有 第四部分 空間解析幾何 復(fù)習(xí)內(nèi)容 平面方程的基本概念 直線方程的基本概念 簡單的二次曲面 復(fù)習(xí)要求 了解平面的點(diǎn)法式方程與一般式方程 了解特殊的平面方程 兩個 平面之間的關(guān)系 垂直 平行 重合 會通過已知條件建立平面方程 掌握直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程與一般方程 了解直線之間的關(guān)系以及直線與平 面之間的關(guān)系 會根據(jù)已知條件建立直線方程 了解常見的二次曲面 即柱面方程 球面方程 橢球面方程 錐面方程 旋轉(zhuǎn)拋物面方程 重要結(jié)論 1 設(shè)有平面 平面與相互垂直的充分必要條件是 平面與平行的充分必要條件是 平面與重合的充分必要條件是 2 建立平面方程常用平面點(diǎn)法式 1 過點(diǎn)作平行于的平面方程 取及即可 2 過點(diǎn)作垂直于向量的平面方程 只需取平面法線向量及點(diǎn)即 可 3 過點(diǎn) 作平面方程 利用平面的一般式方程 設(shè)所求的平 面為 將已給的三點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程 可以得到一個以 為未知量的方程組 求出即可 3 設(shè)有直線 直線與平行的充分必要條件為 直線與垂直的充分必要條件為 4 設(shè)直線與平面的方程為 1 直線與平面垂直的充分必要條件是 2 直線與平面平行的充分必要條件是 3 直線落在平面上的充分必要條件是 5 建立直線方程 常用直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程 只需確定直線上的 一點(diǎn)及直線的方向向量 即 1 作過點(diǎn) 且垂直與平面的直線方程 取及方向向量即可 2 作過點(diǎn) 的直線方程 取 及方向向量即可 第五部分 多元函數(shù)微積分學(xué) 復(fù)習(xí)內(nèi)容 二元函數(shù)的概念及幾何意義 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限與 連續(xù)性以及連續(xù)性的基本性質(zhì) 偏導(dǎo)數(shù)的定義 全微分的概念與基本性 質(zhì) 二階偏導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)微分法 隱函數(shù)微分法 二元函數(shù)的極值與 條件極值 二重積分的概念與基本性質(zhì) 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì) 算 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 二重積分的應(yīng)用 復(fù)習(xí)要求 了解二元函數(shù)的定義 會求二元函數(shù)的定義域 掌握二元函數(shù)的連 續(xù)性與連續(xù)的基本性質(zhì) 理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義 掌握 全微分的定義極其存在的基本性質(zhì) 會求二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)與復(fù)合 函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 理解隱函數(shù)微分法 熟練掌握二元函數(shù)極值的求法 了解二元函數(shù)的條件極值 理解二重積分的概念 掌握二重積分的基本 性質(zhì) 熟練掌握在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算問題 了解 二重積分的應(yīng)用 重要結(jié)論 1 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)域上必能取得最大值與最小值 2 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 在區(qū)域上必能取得介于最大值與最小 值之間的任何值 3 如果在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)函數(shù)則在點(diǎn)處可微分 且 4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù) 又 記 則 1 當(dāng)時 在點(diǎn)處取得極值 且當(dāng)時 取得極大值 時取得極小 值 2 當(dāng)時 不是極值點(diǎn) 3 當(dāng) 點(diǎn)是否為極值點(diǎn)需進(jìn)一步判定 5 在D上若 且D的面積為 則有 重要公式 1 鏈?zhǔn)椒▌t 設(shè) 在一定條件下 有 2 一元隱函數(shù)求導(dǎo) 設(shè)對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且 則由確定的函數(shù)對 的導(dǎo)數(shù)為 3 二元隱函數(shù)求導(dǎo) 設(shè) 其中為的二元函數(shù) 對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且 則 4 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 1 若 則 2 若 則 3 若 則 5 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 1 若 則 2 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上 積分區(qū)域可表為 則 3 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部 積分區(qū)域可表為 則二重積分可化為 第六部分 無窮級數(shù) 復(fù)習(xí)內(nèi)容 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 級數(shù)的收斂與發(fā)散 級數(shù)的基本性質(zhì) 級數(shù)收斂 的必要條件 正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法與任意項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法 冪級數(shù)的概念與基本性質(zhì) 復(fù)習(xí)要求 理解級數(shù)收斂 發(fā)散的概念 掌握級數(shù)收斂的必要條件 了解級數(shù) 的基本性質(zhì) 會熟練使用比較判別法與比值判別法判別正項(xiàng)級數(shù)的收斂 性 掌握幾何級數(shù) 調(diào)和級數(shù) 與級數(shù)的收斂性 了解級數(shù)絕對收斂與 條件收斂的概念 會使用萊布尼茨判別法 了解冪級數(shù)的概念及在其收 斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 會求冪級數(shù)的收斂半徑 收斂區(qū)間 會利用常見 函數(shù)的麥克勞林公式 將一些簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù) 重要結(jié)論 1 在一個級數(shù)的前面去掉或添加有限項(xiàng) 不改變級數(shù)的收斂 性 2 若收斂 則必有 但反之不一定 3 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分 求導(dǎo) 且積分 求 導(dǎo) 后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑不變 重要公式 1 三個常用的標(biāo)準(zhǔn)級數(shù) 1 2 發(fā)散 調(diào)和級數(shù) 3 級數(shù) 2 比值判別法 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù) 且 則1 當(dāng)時 收斂 2 當(dāng)時 發(fā)散 3 當(dāng)時 收斂性需進(jìn)一步判定 3 收斂半徑的求法 設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)有 則1 當(dāng)時 有 2 當(dāng) 時 定義 3 當(dāng) 定義 第七部分 常微分方程 復(fù)習(xí)內(nèi)容 微分方程的定義 初始條件 特解 可分離變量的方程 一階線性 方程 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二 階常系數(shù)非齊次線性微