核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革ppt.pptx

核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革 1 一 數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù) 十八大提出的 教育的根本任務(wù)在于立德樹人 就是整個教育改革的核心任務(wù) 數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是 數(shù)學(xué)育人 如何把這個要求在數(shù)學(xué)教育中落實下來 抓手在哪里 2 教育部的頂層設(shè)計 數(shù)學(xué)學(xué)科的 立德樹人 是 以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱 義教課標中提出了八個 核心概念 數(shù)感 符號意識 空間觀念 幾何直觀 數(shù)據(jù)分析觀念 運算能力 推理能力 模型思想 高中課標修訂組進一步提煉了六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)運算 直觀想象 數(shù)據(jù)分析 數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 要有具體措施 要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實在數(shù)學(xué)教育的各個環(huán)節(jié) 3 二 關(guān)于落實核心素養(yǎng)的思考 學(xué)科育人 要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量 數(shù)學(xué)育人 要用數(shù)學(xué)的方式 在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源 并使它們在數(shù)學(xué)教育的各個環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用 增強課程意識 把握教改方向 明確數(shù)學(xué)育人目標 提升數(shù)學(xué)育人的實效性 提高教育教學(xué)質(zhì)量 4 問題思考 數(shù)學(xué)課程的育人力量是什么 什么叫 數(shù)學(xué)的方式 一線教師的課程意識是如何表現(xiàn)的 5 一線教師的課程意識 1 我教的是一門怎樣的課 課程性質(zhì) 2 這門課能發(fā)揮怎樣的育人功能 在學(xué)生發(fā)展中的不可替代作用是什么 課程目標 3 如何教這門課 課程實施 4 這樣教在多大程度上實現(xiàn)了它的育人功能 課程評價 6 數(shù)學(xué)是一門怎樣的課 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) 數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象 基于抽象結(jié)構(gòu) 通過符號運算 形式推理 模型構(gòu)建等理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì) 關(guān)系與規(guī)律 課標如是說 7 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué) 具有 追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向 有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號形式 這種結(jié)構(gòu)和符號形式是強大的 富有邏輯 簡明而且精確 是人們可以借助于理解和處理周圍環(huán)境的一種思維方式 包括 抽象化 運用符號 建立模型 邏輯分析 推理 計算 不斷地改進 推廣 更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系 在更大范圍內(nèi)進行概括 建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴謹?shù)?行之有效的科學(xué)方法 這是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論 建立數(shù)學(xué)知識體系的過程中必須使用的思維方式 8 推理是數(shù)學(xué)的命根子 運算是數(shù)學(xué)的 童子功 思維訓(xùn)練的載體就是推理和運算 數(shù)學(xué)是一門語言 與語文有相似的特性 它有自己的一套獨立的符號系統(tǒng)和嚴謹?shù)谋磉_方式 閱讀 表達 交流的工具 9 數(shù)學(xué)學(xué)科的獨特育人功能 主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上 要使學(xué)生學(xué)會思考 特別是學(xué)會 有邏輯地思考 創(chuàng)造性思考 使學(xué)生成為善于認識問題 善于解決問題的人才 學(xué)會嚴格的邏輯推理 學(xué)會運算的方法和技巧 學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言 能用數(shù)學(xué)的方式閱讀 表達和交流 10 以數(shù)學(xué)知識為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng) 完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程 數(shù)學(xué)研究對象的獲得 研究數(shù)學(xué)對象 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題數(shù)學(xué)對象的獲得 要注重數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系 也要注重數(shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致 邏輯連貫性 從 事實 出發(fā) 讓學(xué)生經(jīng)歷歸納 概括事物本質(zhì)的過程 提升數(shù)學(xué)抽象 直觀想象等素養(yǎng) 11 對數(shù)學(xué)對象的研究 要注重以 一般觀念 為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律 獲得猜想 通過數(shù)學(xué)的推理 論證證明結(jié)論 定理 性質(zhì)等 的過程 提升推理 運算等素養(yǎng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題 要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題 體現(xiàn)建模的全過程 學(xué)會分析數(shù)據(jù) 從數(shù)據(jù)中挖掘信息等 12 兩個過程 的合理性 從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性 學(xué)生思維過程的合理性上加強思考 這是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點 前一個的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題 后一個是學(xué)生的思維規(guī)律 認知特點問題 13 以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求 根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律 螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容 特別是要讓重要的 往往也是難以一次完成的 數(shù)學(xué)概念 思想方法得到反復(fù)理解的機會 以 事實 概念 性質(zhì) 關(guān)系 結(jié)構(gòu) 聯(lián)系 應(yīng)用 為明線 以 事實 方法 方法論 數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀 為暗線 14 從數(shù)學(xué)思維 思想或核心素養(yǎng)角度看 事實 概念 主要是 抽象 對典型而豐富的具體事例進行觀察 比較 分析 歸納共性 抽象出共同本質(zhì)特征 并推廣到同類事物中去而得出概念 概念 性質(zhì) 主要是 推理 包括通過歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 通過 邏輯 演繹推理證明性質(zhì) 性質(zhì) 結(jié)構(gòu) 主要也是 推理 是建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好 遷移能力強大的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程 概念 性質(zhì) 結(jié)構(gòu) 應(yīng)用 主要是 建模 是用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題 15 強調(diào)獲得 事實 的教育價值 數(shù)學(xué)事實 是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的 原材料 也是數(shù)學(xué)育人的首要素材 真正的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷 感知 感悟 知識 的過程 以 事實 為支撐的概念理解才是真理解 才能形成對概念本質(zhì)的深刻體悟 教學(xué)應(yīng)從讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)事實開始 16 增加概括概念 發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的素材 提供豐富的 真實的應(yīng)用問題 調(diào)動所有感官參與學(xué)習(xí) 安排動眼觀察 動手操作 動腦思考的實踐活動 使學(xué)生通過自主活動獲取理解概念所需的 事實 增加 悟 的時間 長時間的 悟 然后是有所體驗 有所心得 有所發(fā)現(xiàn) 17 在整個教學(xué)過程中 都要發(fā)揮 一般觀念 的作用 加強 如何思考 如何發(fā)現(xiàn) 的啟發(fā)和引導(dǎo) 特別是在概念的抽象要做什么 幾何性質(zhì) 代數(shù)性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì) 指什么等問題上要及時引導(dǎo) 以使學(xué)生明確思考方向 18 教師的專業(yè)發(fā)展水平和育人能力是落實核心素養(yǎng)的關(guān)鍵 理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)當前的主要問題是教師在 理解數(shù)學(xué) 上不用功 數(shù)學(xué)水平不高導(dǎo)致數(shù)學(xué)課教不好數(shù)學(xué) 甚至數(shù)學(xué)課不教數(shù)學(xué) 使數(shù)學(xué)越來越難學(xué) 使學(xué)生越學(xué)越糊涂 19 理解數(shù)學(xué)知識的三重境界 知其然知其所以然何由以知其所以然 啟發(fā)學(xué)生 示以思維之道耳 20 三 系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué) 系統(tǒng)觀的內(nèi)涵 整體性 把研究對象看成一個整體 從整體出發(fā) 在組成系統(tǒng)的各要素相互關(guān)系中探究研究對象的本質(zhì)和規(guī)律 層次性 系統(tǒng)是由要素組成的整體 每個系統(tǒng)又是它的上位系統(tǒng)的組成要素 由此構(gòu)成具有層級關(guān)系的整體 這就是層次性 先把握基本要素 再看要素組成的子系統(tǒng) 然后再看子系統(tǒng)組成的上位系統(tǒng) 這樣才能具有思想性 觀念性 21 聯(lián)系性 系統(tǒng)和系統(tǒng)之間 各要素之間 系統(tǒng)和要素之間是相互聯(lián)系 相互作用的 任何事物都由若干部分 要素構(gòu)成 各部分 要素相互依存 相互聯(lián)系 只有這樣 事物才能成為有機整體 任何事物都與周圍的其他事物相互聯(lián)系著 包括橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系 22 目的性 數(shù)學(xué)育人目標有一個從宏觀到微觀的層級系統(tǒng) 教學(xué)設(shè)計應(yīng)該把教學(xué)過程看成具有一定發(fā)展規(guī)律和趨勢的系統(tǒng) 在宏觀目標指導(dǎo)下分析具體目標和內(nèi)容 要注意把宏觀目標落實在具體課堂中 使每一堂課都為達到宏觀目標服務(wù) 問題 數(shù)學(xué)育人目標的層級系統(tǒng)是怎樣的 23 宏觀到微觀的目標體系 教育方針課程目標單元目標課時目標課堂教學(xué)中 三維目標融為一體 內(nèi)容為載體 過程中體現(xiàn)思想方法 思維能力 挖掘內(nèi)容所蘊含的育人資源 實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升 24 當前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問題仍然是 碎片化教學(xué) 做題目成為一切 充其量只是培養(yǎng)了做題目的機器 從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點和歸宿看 思維的教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生的理性思維 發(fā)展學(xué)生的理性精神 這是根本 問題是 依靠什么來實現(xiàn) 教學(xué)內(nèi)容的整體性 載體 系統(tǒng)思維 目標 單元教學(xué) 途徑 25 單元教學(xué)的組織要義 整體 局部 整體前一個 整體 是先行組織者 認識的結(jié)構(gòu) 普適性的思想方法 解決問題的策略 等等 局部 是對數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵 要素 概念的定義和表示 分類 性質(zhì) 特例 的研究 在這個過程中加強 如何歸納 抽象概念 如何發(fā)現(xiàn)值得研究的問題 如何研究性質(zhì) 如何找到證明的方法 的引導(dǎo) 26 后一個 整體 在分課時學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的歸納 總結(jié) 不僅完善本單元的知識結(jié)構(gòu) 而且建立與相關(guān)知識的聯(lián)系 形成結(jié)構(gòu)功能良好 遷移能力強的認知結(jié)構(gòu) 27 系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的單元教學(xué)設(shè)計 平面向量起始課課標要求 構(gòu)建研究平面向量的基本線索 了解平面向量的實際背景 理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義 理解平面向量的幾何表示和基本要素 教學(xué)設(shè)計要求 體現(xiàn)先行組織者思想 要在數(shù)學(xué)的整體觀指導(dǎo)下 構(gòu)建研究一個數(shù)學(xué)對象 平面向量 的基本線索 在此基礎(chǔ)上構(gòu)建平面向量的概念 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象 直觀想象素養(yǎng) 28 先行組織者 構(gòu)建研究路徑 平面向量 是高中數(shù)學(xué)中典型的 新對象 既是幾何研究對象 也是代數(shù)研究對象 是溝通幾何與代數(shù)的橋梁 向量理論是描述直線 曲線 平面 曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具 問題思考 幾何對象 指什么 代數(shù)對象 指什么 向量是怎樣的基本工具 如何使它好用 方向很重要 方向如何 運算 是關(guān)鍵 29 研究路徑是什么 如何構(gòu)建 背景引入概念定義 表示 性質(zhì) 要素之間的特殊關(guān)系 運算和運算律 引進一種量就要定義運算 定義一種運算就要研究運算律 向量基本定理及坐標表示應(yīng)用問題思考 章引言怎么用 研究路徑 非出不可 什么時候出 開頭 中間或結(jié)尾 30 獲得向量概念 要做哪些事 獲得研究對象 定義向量概念 認識 平面向量集合 中的元素 現(xiàn)實背景 力 速度 位移等 定義 表示 圖形 符號 方向 大小 特例 零向量 單位向量 性質(zhì) 向量與向量的關(guān)系 相等是最重要的關(guān)系 重點考慮 方向 所以先有平行 共線 相反向量 等等 31 延伸問題 如何定義向量加法 既有大小 又有方向 方向 如何相加 位移 是最好的模型 得到 三角形法則 接下來研究什么問題 定義a 0 0 a a 完備性 向量加法的性質(zhì) 特例 共線 三角形不等式 運算律 32 四 構(gòu)建研究幾何對象的整體思路 立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀 大小與位置關(guān)系 位置關(guān)系 用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行 垂直的性質(zhì)與判定 并對某些結(jié)論進行論證 研究方法 直觀感知 操作確認 推理論證 度量計算等 33 總體目標 認識和探索空間圖形的概念 判定和性質(zhì) 建立空間觀念 提升直觀想象 邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 位置關(guān)系的具體內(nèi)容 點 直線 平面作為 基本圖形 四個基本事實 平面三公理 平行公理 一個等角定理 直線 平面的平行和垂直的判定 性質(zhì) 34 1 平面三公理 課標要求 借助長方體 在直觀認識空間點 直線 平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上 抽象出空間點 直線 平面位置關(guān)系的定義 了解三個公理 教學(xué)設(shè)計要求 要引導(dǎo)學(xué)生體會刻畫空間中點 直線 平面的基本特征 如平面的 平 的方法 要注意 三種語言 的訓(xùn)練 建立空間觀念 提升直觀想象 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 35 問題1 平面三公理 的內(nèi)容是什么 它的數(shù)學(xué)功能是什么 問題2從中能體會刻畫平面的 平 的數(shù)學(xué)思想方法嗎 問題3在理解點 直線 平面位置關(guān)系的過程中 作圖的作用是什么 36 2 關(guān)于位置關(guān)系的性質(zhì) 什么叫 性質(zhì) 只有明白了這個問題 才能使學(xué)生在獨立面對一個數(shù)學(xué)對象時知道從哪里下手研究性質(zhì) 才能使學(xué)生自主探究 才能使發(fā)現(xiàn)問題 提出問題的能力的培養(yǎng)落在實處 這樣 核心素養(yǎng)的落實也就自然而然 水到渠成 37 性質(zhì)就是一類事物共有的特性 正確但過于宏觀 在具體思考中沒有可操作性 需要針對具體內(nèi)容進行歸納 例如 運算中的不變性 規(guī)律性 就是性質(zhì) 研究代數(shù)性質(zhì) 算算看 是基本方法 變化中的不變性 規(guī)律性 就是性質(zhì) 研究函數(shù)的性質(zhì) 在運動變化中進行觀察是基本方法 要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì) 觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系 位置關(guān)系 大小關(guān)系等 是研究幾何性質(zhì)的基本方法 38 幾何性質(zhì)的分類 幾何問題可以分為兩大類 幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征幾何圖形的位置關(guān)系幾何圖形的性質(zhì) 一個幾何圖形的組成要素 相關(guān)要素之間的相互關(guān)系 定性 定量 位置關(guān)系的性質(zhì) 點 直線 平面的位置關(guān)系 核心是平行 垂直 距離 角度 對稱等是刻畫位置關(guān)系的基本方法 39 什么叫 幾何體的結(jié)構(gòu)特征 結(jié)構(gòu)特征就是這類幾何對象 如棱柱 組成要素之間確定的關(guān)系 結(jié)構(gòu)特征有多種表現(xiàn)形式 選刻畫這類對象的充要條件作為定義 包含的要素關(guān)系盡量少 作為研究的出發(fā)點 其他的特征作為性質(zhì) 定義 充要條件 性質(zhì) 必要條件 判定 充分條件 研究直線垂直于平面的判斷 就是探究什么條件能確保垂直 40 思考 位置關(guān)系的性質(zhì)如何表現(xiàn) 例如 兩條直線平行 從 同位角相等 內(nèi)錯角相等 以及 同旁內(nèi)角互補 可以想到 這時的 性質(zhì) 是與 第三條直線 構(gòu)成某種關(guān)系 平行 相交 相交時又形成一些角 然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系 從方法論的高度 研究兩個幾何元素 兩條直線 的某種位置關(guān)系 平行 的性質(zhì) 就是探索在這種位置關(guān)系下的兩個幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定的關(guān)系 具體方法是讓 同類元素 動起來 看 變化中的不變性 41 空間中直線 平面的垂直關(guān)系 課標要求 探索空間直線與平面 平面與平面垂直的性質(zhì) 如 垂直于同一個平面的兩條直線平行 垂直于同一條直線的兩個平面平行 兩個平面垂直 如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線 那么這條直線與另一個平面垂直 等等 42 教學(xué)設(shè)計要求 在明確 什么是圖形的位置關(guān)系的性質(zhì) 的基礎(chǔ)上 通過類比直線 平面 平行關(guān)系 的性質(zhì) 從整體上提出 垂直關(guān)系的性質(zhì) 的猜想 選擇 垂直于同一個平面的兩條直線平行 等典型猜想給出證明 要體現(xiàn)研究幾何問題的 基本套路 提升直觀想象 邏輯推理 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 43 這樣處理有什么好處 完整的 統(tǒng)一的解決方案 立意高 思想性強 數(shù)學(xué)味 濃 反映數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程 是自然而水到渠成的 探索性更強 能更好地落實 發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力 分析和解決問題的能力的培養(yǎng) 創(chuàng)造性也更強 44 符合數(shù)學(xué)思維規(guī)律 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體觀 使性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)具有必然性 能給學(xué)生更多智慧的啟迪 思維的教學(xué)更加到位 更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主性 更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性 45 學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 已經(jīng)了解了研究一種幾何位置關(guān)系的 基本套路 從判定到性質(zhì) 性質(zhì)的內(nèi)容 過程和方法 因此與學(xué)生的認知準備相適應(yīng) 當前的問題是對 什么叫判定 什么叫性質(zhì) 的歸納不夠 導(dǎo)致學(xué)生的盲目探究 無邏輯的猜想 使發(fā)現(xiàn)和提出猜想成為偶然 為什么可以這么做 46 直線與平面垂直的性質(zhì)的問題串 一 復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義及判定定理 請大家回顧一下內(nèi)容和研究思路 二 引入新課研究了直線與平面垂直的判定 你覺得接下來我們研究什么 性質(zhì)追問 具體地 就是要研究什么 以 直線與平面垂直 為條件能推出什么結(jié)論 47 定義既可以作為判定 又可以作為性質(zhì) 此外 還有其它性質(zhì)嗎 如何發(fā)現(xiàn)性質(zhì) 學(xué)生沒有思路時 回顧直線與平面平行性質(zhì)的研究過程 它是從什么角度入手發(fā)現(xiàn)的 類比一下 你覺得如何入手 教師引導(dǎo) 平行性質(zhì)的研究 是以直線a與平面 平行為條件 借助經(jīng)過直線a的平面 發(fā)現(xiàn)a與 的交線b平行 而且這個平行關(guān)系不會隨 的改變而改變 從而得到了一條線面平行的性質(zhì) 仿照上面的歸納 你能說說平面與平面平行的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的嗎 48 你能總結(jié)一下如何研究一種位置關(guān)系的性質(zhì)了嗎 平行關(guān)系的性質(zhì) 就是以線面 面面平行為條件 通過考察它們與另一條直線 另一個平面形成的關(guān)系中 有哪些不變的特性 接下來 類比直線與平面平行性質(zhì)的研究思路和方法 先獨立思考 探究 得出結(jié)果后再相互交流 討論 要求 把你發(fā)現(xiàn)的線面垂直性質(zhì)總結(jié)提煉出來 并用圖形語言和符號語言表達 49 五 認知觀指導(dǎo)下的概念教學(xué) 理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù) 理解概念主要靠歸納思維 概念教學(xué)要用歸納式 概念教學(xué)要遵循一定之規(guī) 這是由數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認知概念的思維過程所決定的 概念課的教學(xué)設(shè)計 主要任務(wù)是 選擇典型豐富的具體實例 設(shè)計歸納具體實例的共同特征 抽象出本質(zhì)特征 并概括到同類事物中去的過程 50 概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 背景引入 借助具體事例 從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念 共性歸納 提供典型豐富的具體例證 進行屬性的分析 比較 綜合 歸納不同例證的共同特征 下定義 明確本質(zhì)屬性 給出準確的數(shù)學(xué)語言描述 文字的 符號的 51 概念的辨析 以實例為載體分析關(guān)鍵詞的含義 恰當使用反例 概念的鞏固應(yīng)用 用概念作判斷的具體事例 形成用概念作判斷的具體步驟 概念的 精致 納入概念系統(tǒng) 建立與相關(guān)概念的聯(lián)系 52 函數(shù)概念的教學(xué) 課標要求 在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上 用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言刻畫函數(shù) 建立完整的函數(shù)概念 體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用 教學(xué)設(shè)計要求 要體現(xiàn)以概念形成的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本環(huán)節(jié) 通過適當?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生體會進一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性 體會用集合對應(yīng)語言刻畫函數(shù)概念的思想方法 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 53 理解數(shù)學(xué) 課標說 函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本概念 是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)模型和工具 有廣泛的實際應(yīng)用 從 刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具 到 實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系 高中函數(shù)概念強調(diào)了定義域和對應(yīng)關(guān)系 對應(yīng)關(guān)系指的是對應(yīng)的結(jié)果 而不是對應(yīng)過程 y f x x A 是一個整體 54 如何設(shè)計歸納過程 以概念形成方式 要完成 實例 共性歸納 定義 辨析 簡單應(yīng)用 的過程 其中 對 事實 的分析 共性歸納是關(guān)鍵之一 辨析 又是一個關(guān)鍵 55 認真講好三個實例 有解析式的 要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注x在哪個范圍取值 例如 炮彈距離地面的高度h隨時間t的變化而變化的規(guī)律是h 130t 5t2 經(jīng)過26s落地 應(yīng)該問 時間t的變化范圍是什么 問題 100s時對應(yīng)的高度是多少 有沒有意義 沒有意義了 因為炮彈發(fā)射的過程在26s時已經(jīng)結(jié)束 你認為如何描述才能真實反映炮彈發(fā)射過程 56 臭氧空洞面積變化圖 57 1 時間的變化范圍是什么 空洞面積s的變化范圍是什么 2 s是t的函數(shù)嗎 為什么 不能僅僅以 因為任意一個時間t都有唯一一個面積s與之對應(yīng) 了事 應(yīng)該讓學(xué)生在圖上找出來 再借助信息技術(shù) 把對于過程表達出來 3 從所給的圖中能回答 2002年對應(yīng)的臭氧空洞面積是多少 嗎 4 這是一個函數(shù) 有解析式嗎 如果讓你表示出這個函數(shù) 你會怎么做 把這個圖搬出來嗎 符號意識 s f t 呼之欲出 58 恩格爾系數(shù)變化表 59 1 這個表格中 時間的變化范圍是什么 能不能用 1991 2001 表示 恩格爾系數(shù)的變化范圍是什么 可以是 0 37 0 54 其實是 0 1 2 由這個表格 能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份的函數(shù) 你能說清楚到底是怎么對應(yīng)的嗎 3 由這個表格 能得到2002年的恩格爾系數(shù)嗎 4 這是一個函數(shù) 有解析式嗎 如果讓你表示出這個函數(shù) 你會怎么做 把這個表搬出來嗎 符號意識 設(shè)恩格爾系數(shù)為w 年份為t w f t 呼之欲出 60 歸納共同特征 它們都是函數(shù) 有什么共同特征 數(shù)集A B 一個對應(yīng)關(guān)系 對應(yīng)關(guān)系的表示形式不同 解析式 圖 表 但本質(zhì)一樣 對于集合A中任意一個數(shù) 在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應(yīng) 怎樣簡捷地表示出來 用符號化表達是數(shù)學(xué)的智慧 數(shù)學(xué)家是這么做的 f A Bx y f x 61 如何辨析概念 不要過快地進入復(fù)雜的解題訓(xùn)練 辨析的重點 對應(yīng)關(guān)系相同但定義域不同 是兩個不同的函數(shù) 應(yīng)該 回到實際中 例如 步行平均速度5km 買商品單價5元 與用什么符號表示無關(guān) 只看自變量對應(yīng)到什么結(jié)果 y x2 x R y u2 u R 是同一個函數(shù) 和函數(shù) 也表示的是同一個函數(shù) 62 還可以讓學(xué)生根據(jù)解析式構(gòu)建實際問題或數(shù)學(xué)問題 如 1 y x2 x R 任意一個實數(shù)對應(yīng)于它的平方 2 y x2 x 0 10 正方形的邊長x對應(yīng)于它的面積 3 y x 10 x x 0 10 長方形的邊長之和為20 一邊長x對應(yīng)于它的面積 63 從函數(shù)到三角函數(shù) 課標要求 借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義 教學(xué)設(shè)計要求 在 函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和變化規(guī)律的最重要數(shù)學(xué)模型 的觀念下 體現(xiàn)用函數(shù)描述周期運動現(xiàn)象 建立三角函數(shù)模型的完整過程 使學(xué)生理解三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的特征 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng) 64 一 三角函數(shù)發(fā)展史概述 三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運而生 到托勒密出版 數(shù)學(xué)匯編 希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達到頂峰 這部著作中有大量三角恒等變形問題 包括和 差 角公式 和差化積公式等 證明采用了初等幾何方法 三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織 且服務(wù)于天文學(xué) 到十六世紀 三角學(xué)開始從天文學(xué)里分離出來 并成為數(shù)學(xué)的一個分支 65 為了應(yīng)付航海 天文 測量等實踐之需 制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作 因為在制作過程中需要大量的三角恒等變形 所以三角恒等變形問題占據(jù)了重要地位 隨著對數(shù)的發(fā)明 特別是微積分的創(chuàng)立 三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉 繁雜的三角恒等變形不再需要 曾經(jīng)重要的三角公式也風光不再 66 二 三角函數(shù)課程的與時俱進 從應(yīng)用的角度看 應(yīng)強調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位 因為 三角函數(shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要 最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系 可以說 它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一 在建立三角函數(shù)的基本概念 認識它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上 對y Asin x 的研究很重要 實用且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力 67 正弦 余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動 密切配合的周期函數(shù) 它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù) 而正弦 余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì) 主要是其對稱性 的直接反映 所以 要充分發(fā)揮單位圓的作用 借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容 這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化 直觀想象能力 68 在思想 方法上 要強調(diào)函數(shù)的變換 映射 與坐標系的變換及其關(guān)系 對稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法 有些放正文 有些可以作為拓展 這樣認識和處理內(nèi)容 體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性 可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用 69 要強調(diào)三角函數(shù)與向量 復(fù)數(shù) 解析幾何等的聯(lián)系與綜合 這可以通過加強三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來體現(xiàn) 也可以通過用向量 復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來實現(xiàn) 總之 定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標系中的單位圓 抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型 這就真正抓住了要領(lǐng) 就能以簡馭繁 70 三 課標對三角函數(shù)的定位 三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù) 整體要求 借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念 體會引入弧度制的必要性 能夠用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性 對稱性 單調(diào)性和最值等性質(zhì) 能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系 能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 解決實際問題 提升數(shù)學(xué)抽象能力 直觀想象和運算能力以及數(shù)學(xué)建模能力 71 加強單位圓的作用 進一步突出主線和核心概念 體現(xiàn)研究一個數(shù)學(xué)對象的內(nèi)容 過程和方法 概念 圖像 基本性質(zhì) 直接由定義推出 要素的關(guān)系 其他性質(zhì) 聯(lián)系層面 應(yīng)用 把y Asin x 作為應(yīng)用 建模的結(jié)果 72 四 學(xué)生認知分析 認知基礎(chǔ) 學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念 表示與性質(zhì)等 掌握了研究函數(shù)的一般方法 通過冪 指 對函數(shù)的學(xué)習(xí) 已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu) 內(nèi)容 過程與方法 這些函數(shù)的一個共同特點是它們的表達式都是代數(shù)式 是代數(shù)運算規(guī)律的反映 學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識 對圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握 但對 圓的旋轉(zhuǎn)對稱性 強調(diào)不夠 73 學(xué)習(xí)困難分析 三角函數(shù)不以 代數(shù)運算 為媒介 是幾何量 角與有向線段 之間的直接對應(yīng) 不是通過對 計算得到函數(shù)值 這是一個復(fù)雜 不良結(jié)構(gòu)情境 是主要的學(xué)習(xí)難點 在 對應(yīng)關(guān)系 的認識上必須采取措施破除定勢 幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的 三要素 特別是要在落實 給定一個角 如何得到對應(yīng)的函數(shù)值 的操作過程的基礎(chǔ)上再給定義 74 三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同 主要表現(xiàn)在豐富的對稱性上 以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián) 例如 由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 結(jié)合單位圓上點的運動及其坐標的變化規(guī)律 非常直觀 由定義可直接推出單調(diào)性 周期性 75 研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法也有特殊性 即利用三角函數(shù)的定義 將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系 如單位圓關(guān)于原點成中心對稱 關(guān)于坐標軸成軸對稱 關(guān)于y 成軸對稱 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)之間的關(guān)系 就是誘導(dǎo)公式 因此 研究三角函數(shù)性質(zhì)時所使用的數(shù)形結(jié)合 與前面已有的通過觀察函數(shù)圖像而得出性質(zhì) 有較大的不同 總之 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的基本性質(zhì)于圓的幾何性質(zhì)的直接反映 這種研究方法是學(xué)生不熟悉的 76 五 三角函數(shù)的定義 研究對象的獲得 從事實到概念 注重數(shù)學(xué)化的過程 通過數(shù)學(xué)抽象 從勻速圓周運動到單位圓上點以單位速率運動時運動規(guī)律的刻畫 概念及其表示 注重認知過程的完整性 認真解決四個問題 1 函數(shù)的現(xiàn)實背景是什么 刻畫了哪類運動變化現(xiàn)象 2 決定這類運動變化現(xiàn)象的要素是什么 3 要素之間的依賴關(guān)系是什么 4 可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫 77 通過對運動過程涉及的量及其關(guān)系的分析 析出點的坐標隨任意角的變化而變化的規(guī)律 數(shù)與形的表示 與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系 在銳角范圍內(nèi)的一致性 78 六 理解教學(xué) 教之道在于 度 道而弗牽 強而弗抑 開而弗達 為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維 必須讓學(xué)生有實質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué) 概念是思維的細胞 數(shù)學(xué)思維更是用概念思維 因此數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力的最佳載體 從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展 自然拓展過程 數(shù)學(xué)性質(zhì)的合理猜想與論證過程出發(fā) 通過適當?shù)膯栴}引領(lǐng) 就能實現(xiàn)這樣的目標 79 具體怎么做 加強一般觀念 bigidea 的指導(dǎo)作用 提升思想性 通過具體事例的歸納概括 特別是讓學(xué)生自主 探究 交流 給學(xué)生表達的機會 從表達中把握學(xué)生的思維過程 捕捉生成性教學(xué)資源 并用 你是怎么想的 你是怎么想到的 能把你的想法說得更清楚一些嗎 等促進思考 逐步培養(yǎng)學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對象 通過歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力與習(xí)慣 是促使學(xué)生深層次參與課堂教學(xué)的有力舉措 要把實質(zhì)性的歸納機會留給學(xué)生 例如具體實例共同特征的歸納就應(yīng)該讓學(xué)生完成 80 二項式定理 課標要求 能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明 教學(xué)設(shè)計要求 從特殊到一般 探索二項式定理及其證明 體會運算規(guī)則的作用 運算是嚴格的邏輯推理 通過運算可以發(fā)現(xiàn)