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教學(xué)時(shí)間第二課時(shí)課 題7.1.2 直線的傾斜角和斜率(二)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)1.斜率公式2.斜率的簡單應(yīng)用.(二)能力訓(xùn)練要求1.熟記過兩點(diǎn)的直線的斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍2.熟練掌握斜率公式3.了解斜率的簡單應(yīng)用4.進(jìn)一步了解向量作為數(shù)學(xué)工具在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的特殊作用.(三)德育滲透目標(biāo)1.認(rèn)識事物之間的普遍聯(lián)系與一定條件下的相互轉(zhuǎn)化2.學(xué)會用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.教學(xué)重點(diǎn)斜率公式教學(xué)難點(diǎn)斜率公式的應(yīng)用教學(xué)方法啟發(fā)式本節(jié)課首先通過適當(dāng)?shù)恼n堂練習(xí),使學(xué)生熟悉斜率公式的直接應(yīng)用,把握斜率公式的形式特點(diǎn),啟發(fā)學(xué)生能根據(jù)斜率公式的形式特點(diǎn)構(gòu)造斜率公式,并注意數(shù)形結(jié)合解題思想的應(yīng)用,并利用斜率證明有關(guān)三點(diǎn)共線的證明問題.教具準(zhǔn)備投影片兩張第一張:斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍(記作7.1.2 A)第二張:本節(jié)例題(記作7.1.2 B)教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師上一節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率,并推導(dǎo)了過已知兩點(diǎn)的斜率公式,這一節(jié),我們將進(jìn)一步熟悉斜率公式并掌握其應(yīng)用.下面,請大家嘗試給出斜率公式的形式特點(diǎn).生(1)斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān),即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時(shí)顛倒;(2)斜率公式表明,直線對于x軸的傾斜程度,可以通過直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)表示,而不需要求出直線的傾斜角;(3)斜率公式中,當(dāng)x1x2時(shí)不適用,此時(shí)直線和x軸垂直,直線的傾斜角等于90.師這位同學(xué)回答得很好,大家要明確,斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ),必須熟記,并且要能夠達(dá)到靈活運(yùn)用的程度.這節(jié)課,我們將以例題講評和課堂訓(xùn)練為主展開本節(jié)的學(xué)習(xí)活動(dòng).講授新課例3求經(jīng)過A(2,0),B(5,3)兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角.分析:此題為斜率公式的直接應(yīng)用,意在使學(xué)生逐步熟悉斜率公式.解:k1即a1010135因此,這條直線的斜率為1,傾斜角是135.評述:此題在強(qiáng)調(diào)表達(dá)方面應(yīng)向?qū)W生指出說理的充分性,比如在指出傾斜角的變化范圍后,才能得到相應(yīng)的傾斜角.例4直線l過點(diǎn)A(m,2),B(3,),求l的斜率與傾斜角.分析:此題在例3的基礎(chǔ)上將點(diǎn)A坐標(biāo)中的橫坐標(biāo)換為字母m,意在訓(xùn)練學(xué)生的分類討論的意識,同時(shí)進(jìn)一步熟悉斜率公式的應(yīng)用.解:(1)先考慮此直線斜率不存在的情形,此時(shí)m3,l的傾斜角為;(2)若斜率存在,設(shè)此直線斜率為k,傾斜角為.此時(shí),m3,ktan當(dāng)m3時(shí),k0,傾斜角arctan當(dāng)m3時(shí),k0,傾斜角arctan評述:在分類討論時(shí),應(yīng)要求學(xué)生注意分類的合理性與全面性,特別地,對于tan0的情形,應(yīng)注意反三角形式的正確表示.例5如果三點(diǎn)A(5,1),B(a,3),C(,2)在同一直線上,確定常數(shù)a的值.分析:此題屬于斜率的應(yīng)用,根據(jù)在同一直線上,任意兩點(diǎn)的斜率相等,可以先表示出過A、B的直線斜率,然后表示出過A、C兩點(diǎn)的直線斜率,最后根據(jù)兩斜率相等建立方程,達(dá)到求解a的目的.解:直線AB的斜率kAB直線AC的斜率kACA、B、C三點(diǎn)在同一直線上,kABkAC,5a1,a13評述:此題的解答方法可啟示學(xué)生,根據(jù)斜率相等,可以證明有關(guān)三點(diǎn)共線的問題.讓學(xué)生注意加以總結(jié).課堂練習(xí)課本P37練習(xí)3.求經(jīng)過下列每兩個(gè)點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角:(1)C(10,),D(,);(2)P(0,0),Q(1,);(3)M(,),N(,).解:(1)k2,arctan26326;(2)k,120;(3)k1,5.4.已知a、b、c是兩兩不等的實(shí)數(shù),求經(jīng)過下列每兩個(gè)點(diǎn)的直線的傾斜角:(1)A(a,c),B(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,bc),Q(a,ca).解:(1)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,故直線AB與x軸平行,傾斜角為0;(2)C、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,故直線CD與x軸垂直,傾斜角為90;(3)k1,5.5.已知三點(diǎn)A、B、C,且直線AB、AC的斜率相同,求證這三點(diǎn)在同一條直線上.證明:由kABkAC,可知AB的傾斜角與AC的傾斜角相等,而兩個(gè)角有共同的始邊和頂點(diǎn),所以終邊AB與AC重合.因此A、B、C三點(diǎn)共線.課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率的斜率公式,并能根據(jù)斜率求直線的傾斜角,由斜率相同怎樣判定三點(diǎn)共線.課后作業(yè)(一)課本P37習(xí)題7.13.已知直線斜率的絕對值等于1,求此直線的傾斜角.解:由題意,可得tan1tan1或1.010,5或135.4.四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是A(2,3),B(1,1),C(1,2),D(2,2),求四條邊所在的直線的斜率和傾斜角.解:kAB,arctan755直線AB的斜率為4,傾斜角為755.kBCarctan263直線BC的斜率為,傾斜角為263.kCD,arctan()102直線CD的斜率為,傾斜角為102.kDA,arctan12直線DA的斜率為,傾斜角為12.5.(1)當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,6),B(1,3m)的直線的斜率是12?(2)當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí),經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,2),B(m,2m1)的直線的傾斜角是60?解:(1)k當(dāng)k12時(shí),123m61212m9m1,m2.(2)ktan60.,32m2mm.(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:P3392.預(yù)習(xí)提綱:(1)試總結(jié)點(diǎn)斜式與斜截式直線方程的特點(diǎn).(2)直線方程的點(diǎn)斜式與斜截式有何聯(lián)系?(3)試說出直線方程的點(diǎn)斜式與斜截式的適用范圍.板書設(shè)計(jì)7.1.2 直線的傾斜角和斜率1.斜率公式的 2.例3 3.學(xué)生練習(xí)形式特點(diǎn)及適 例4 練習(xí)1用范圍 例5 練習(xí)2練習(xí)3備課資料一、參考例題例1(1993年全國文)若直線axbyc0,在第一、二、三象限,則( )A.ab0,bc0 B.ab0,bc0C.ab0,bc0D.ab0,bc0分析:此題考查學(xué)生對于直線中含有參數(shù)的情形的處理能力,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解:由題意,直線的斜率一定大于0,所以k0,即ab0;并且根據(jù)直線的縱截距大于0,可得:0即bc0.故選D.例2(1995年全國)在圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則( )A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2分析:此題屬于圖象信息題,要求學(xué)生根據(jù)傾斜角的大小與斜率的正負(fù)來比較k1,k2,k3的大小關(guān)系.解:由圖可知直線l1的傾斜角為鈍角,故k10,直線l2,l3的傾斜角為銳角,故k2,k30,又直線l2的傾斜角大于l3的傾斜角,故k2k3.故選D.例3(1996年上海高考試題)過點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(0,3)的直線的傾斜角為( )A.arctan B.arctanC.arctan() D.arctan()分析:此題中直線的斜率可由斜率公式直接求得,由于所得結(jié)果不是特殊值,故在用反正切函數(shù)表示時(shí),應(yīng)注意傾斜角的取值范圍.若tana(a0),則arctan;若tana(a0),則arca.解:過點(diǎn)(4,0)和點(diǎn)(0,3)的直線的斜率k,即tan0.故是鈍角.arctan.故選B.例4(1997年高考應(yīng)用題)甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地,勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米小時(shí),已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米小時(shí))的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元.(1)把全部運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米小時(shí))的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?解:(1)ys(bv),v(0,c(2)據(jù)1998年高考試題分析知:很多考生在求函數(shù)ys(bv)取得最小值時(shí),利用基本不等式,由于忽略了函數(shù)的定義域,根據(jù)s(bv)2s,得出當(dāng)且僅當(dāng)bv,即v時(shí),全程運(yùn)輸成本最小的結(jié)論,結(jié)果漏掉了另外一種情況.如果運(yùn)用斜率求解,可避免漏解.請看:記ky故求此函數(shù)的最值可轉(zhuǎn)化為求一定點(diǎn)A(0,as)與動(dòng)點(diǎn)B(v,bsv2)構(gòu)成的直線的斜率的最值.動(dòng)點(diǎn)B在拋物線ybx2,x(0,c)上運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)B(c,bsc2).如圖所示:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B在拋物線弧OB(不包括B點(diǎn))上時(shí),過定點(diǎn)A且與拋物線弧相切的切線斜率即所求函數(shù)的最小值.設(shè)直線AB的方程為:yakx聯(lián)立消去y得bx2kxas0(*)由k2abs20得k2s或k2s (舍去),將k2s代入(*)式得x.換句話說,當(dāng)速度v時(shí),運(yùn)輸成本y的最小值為2s.當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)B時(shí),kAB的值只有一個(gè),顯然就是所求函數(shù)的最小值.此時(shí),kABbc).也就是說,當(dāng)vc時(shí),運(yùn)輸成本y的最小值為s(bc). 二、直線的斜率在解題中的應(yīng)用1.證明不等式例1已知a、b、m*,且ab,求證:.分析:觀察所證不等式的左邊,結(jié)構(gòu)與斜率公式k完全相似,故此式可看作點(diǎn)(b,a)與點(diǎn)(m,m)的連線的斜率.解:如圖,0ab,點(diǎn)P(b,a)在第一象限且必位于直線yx的下方.又m0點(diǎn)M(m,m)在第三象限且必在yx上,連接OP、PM,則:kOP,kMP.直線MP的傾斜角大于直線OP的傾斜角,kMPkOP即有.2.用斜率確定某些參數(shù)的取值范圍例2已知兩點(diǎn)P(2,3),Q(3,2),直線axy20與線段PQ相交,求a的取值范圍.分析:已知直線axy20是一條過定點(diǎn)(0,2)的動(dòng)直線,若與線段PQ相交,則如圖所示直線PM、QM是其變化的邊界直線,所以只須求出直線PM、QM的斜率即可確定已知直線的斜率a的變化范圍,從而得到a的變化范圍.
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